Библиографическое описание:

Сорокин Д. С., Данилов А. М. Целочисленные модели в строительстве // Молодой ученый. — 2014. — №8. — С. 259-262.

Разработанные лауреатом Нобелевской премии Л. В. Канторовичем методы линейного программирования до сих пор не потеряли свою актуальность, в том числе целочисленные модели [1…6]. Последние широко используются и в строительном производстве, прежде всего в задачах оптимального раскроя материалов и использования оборудования.

1.Задача оптимального раскроя материалов. На предприятии производится раскрой m различных партий материалов соответственно в количестве единиц одинакового размера в каждой партии. Из материалов всех партий требуется изготовить максимальное число комплектов Z, в каждый из которых входит p различных видов деталей соответственно в количестве  единиц, если известно, что каждую единицу материала можно раскроить на детали n различными способами, причем при раскрое единицы -й партии j-м способом получается  деталей r-го вида.

Для составления математической модели задачи обозначим через  число единиц материала i-й партии, которые будут раскроены j-м способом. Тогда из i-й партии при j-м способе раскроя получим  деталейr-го вида. Из всей же i-й партии при применении к ней всех n способов раскроя получим деталей r- го вида , а из всех m партий их будет получено .В каждый комплект должно входить  деталей, поэтому отношения определяют количество комплектов, которые можно составить из деталей r-го вида. Количество полных комплектов по всем видам деталей определится наименьшим из этих отношений, и оно должно быть целым.

В случае полной комплектности выполняется равенство отношений: , откуда  отношений можно выразить через любое из них, например, через  или через .

Заменяя  и их значениями, получим ограничений по комплектности:

или

.

Учитывая имеющееся количество единиц материала в партиях, получим m ограничений по ресурсам:

.

Все удовлетворяют условию неотрицательности:

 .

Таким образом, требуется определить наибольшее значение функции

при ограничениях

 ,- целые.

Рассмотрим практическую задачу, возникшую при разработке проекта домов из бруса.

Определить способы распила двух партий бревен для получения максимального числа комплектов, состоящих из двух брусьев длиной 2,2 м и одного длиной 1,3 м. Первая партия состоит из 99 бревен длиной 6,6 м, вторая — 60 бревен по 4,8 м.

Составимвозможные способы распила, определим значение , где i=1,2; r=1,2 (табл.1).

Таблица 1

Способы распила

Партия

Размер брусьев

j=1

j=2

j=3

j=4

f1

I (i=1)

(6,6 м)

2,2 м (r=1)

1,3 м (r=2)

3

2

1

1

3

5

f1

f2

II (i=2)

(4,8 м)

2,2 м (r=1)

1,3 м (r=2)

2

1

2

3

f1

f2

Обозначим через  (i=1,2; j=1,2,3,4) количество бревен в первой и второй партиях, распиленных 1,…,4 способами, и составим математическую модель задачи.

Выражение для целевой функции определим из условия комплектности. Имеем  то ; .

Ограничение по комплектности получим из равенства :

или

С учетом ограничений по материальным ресурсам, получим искомую математическую модель:

найти максимальное значение линейной функции

при ограничениях

,

- целые;

Принимая за базисные переменные , получим

при ограничениях

.

Далее примем за базисные переменные . Получили искомый оптимальный план:  (90 бревен по 6,6 м распилить на 3 части по 2,2 м; 9 бревен по 6,6 м — на 5 частей по 1,3 м; 60 бревен по 4,8 м — на 5 частей по 1,3 м; 60 бревен по 4,8 м — на 3 части (один имеет длину 2,2 м; а два других -1,3 м)). При этом максимальное количество комплектов.

2. Задача оптимального использования оборудования. На домостроительном комбинате имеется m видов оборудования соответственно в количестве единиц. На каждом виде оборудования можно изготавливать n видов деталей, которые входят в комплект соответственно в количестве  единиц.

Пусть aij-производительность i-го вида оборудования при изготовлении j-го вида детали. Необходимо составить план использования оборудования, который обеспечит максимальный выпуск комплектной продукции. Обозначим через количество i-го оборудования, на котором изготавливаются детали j-го вида. За единицу времени их будет произведено  единиц, а на всех видах оборудования -

Так как в каждый комплект должно входить k деталей, то отношения  определяют количество комплектов, которое можно составить из деталей j-го вида. Количество полных комплектов по всем видам деталей определяется наименьшим из этих отношений. Для соблюдения условия полной комплектности, очевидно, должно выполняться равенство отношений  Отсюда получим  ограничений по комплектности:

Так как предполагается, что оборудование используется полностью, то получим дополнительные m ограничений:

Таким образом, требуется найти наибольшее значение функции

при ограничениях

целые.

Как видим, задача является частным случаем задачи оптимального раскроя материалов.

С математической точки зрения задачи целочисленного программирования нередко обладают повышенной сложностью. Даже в простых задачах введение дополнительных требований целочисленности неизвестных приводит к невозможности их решения обычными методами. Поэтому используются приближенные методы; методы отсечения (вводятся дополнительные ограничения, «отсекающие» нецелочисленный план); метод перебора (отбрасываются варианты, заведомо не являющиеся оптимальными).

Литература:

1.                 Данилов А. М., Гарькина И. А., Домке Э. Р. Математическое и компьютерное моделирование сложных систем. — Пенза: ПГУАС. — 2011. — 296 с.

2.                 Будылина Е. А.,Гарькина И. А., Данилов А. М. Декомпозиция динамических систем в приложениях / Региональная архитектура и строительство.– 2013. — № 3(17). — C. 95–100.

3.                 Будылина Е. А., Гарькина И. А., Данилов А. М. Моделирование с позиций управления в технических системах / Региональная архитектура и строительство. –2013. — № 2 (16). — С. 138–142.

4.                 Будылина Е. А., Гарькина И. А., Данилов А. М., Махонин А. С. Основные принципы проектирования сложных технических систем в приложениях/ Молодой ученый. –2013. — № 5. — С. 42–45.

5.                 Гарькина И. А., Данилов А. М., Жегера К. В. Математическое программирование в управлении качеством материалов / Региональная архитектура и строительство. –2014. –№ 1. –С. 30–36.

6.                 Гарькина И. А., Данилов А. М., Пылайкин С. А. Из опыта математического моделирования при решении прикладных задач / Альманах современной науки и образования. –2014. –№ 2 (81). — С. 35–37.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle