Библиографическое описание:

Максимов В. В., Фомин А. Н. Ослабление поверхностных волн течением, вызываемым помещенным в жидкость источником // Молодой ученый. — 2014. — №7. — С. 142-146.

В данной работе рассматривается задача о воздействии течения, создаваемого источником, на распространение поверхностных волн. Указывается теоретическая возможность полного гашения волн подбором соответствующих характеристик источника.                         

Ключевые слова: поверхностные волны, гашение, источник.

Рассмотрим плоское потенциальное движение идеальной несжимаемой жидкости, ограниченной сверху свободной поверхностью, снизу – непроницаемым дном. Исследуем изменение интенсивности исходного волнения за счет создания течения от источника, помещенного под свободной поверхностью на пути распространения волн. Известно [1], что эта задача – нелинейна. Для получения решения в замкнутой форме будем рассматривать ее учетом традиционной линеаризации.

1.      Постановка задачи. Требуется найти потенциал скорости  , удовлетворяющий уравнению Лапласа

 и краевым условиям:

а также некоторым условиям на бесконечности, которые будут указаны ниже. Здесь ось  направлена вдоль невозмущенного уровня свободной поверхности вправо, ось  – вертикально вверх;  – ускорение свободного падения;  – глубина жидкости.

            Ордината свободной поверхности определяется выражением [1]:

Для дальнейшего положим:

где  – потенциал скорости и ордината свободной поверхности исходного волнения;  – интенсивность источника;   - величина заглубления источника;  – возмущенная часть свободной поверхности. Поставим и условия на бесконечности:

Пусть

где  – амплитуда, волновое число, частота и фаза исходных волн;  – амплитуда, частота и фаза колебаний источника. Положим [2]

и сформулируем задачу для :

где величины  - искомые.

Поставленная задача определяет потенциал скорости при волнообразовании от источника. Это решение симметрично по  относительно .

2.      Решение поставленной задачи. Приведем краткое изложение метода, предложенного Л. Н. Сретенским[1], с использованием прямого пути построения решения.

В силу свойства симметрии решения, гармоническую функцию  представим в виде:

Удовлетворяя граничным условиям, получаем:

Отсюда, применяя свойства интеграла Фурье и пользуясь равенством

получаем

Ордината свободной поверхности определяется выражением:

в котором подынтегральная функция обращается в бесконечность при

Корнями этого уравнения являются:

причем  есть корень уравнения

В этом случае предыдущий интеграл следует понимать в смысле главного значения по Коши [3].

Вычислим его. Представим

где

Продолжим аналитически подынтегральную функцию на область плоскости комплексного переменного , ограниченную сверху полуокружностью , снизу – отрезками вещественной оси  и полуокружностями расположенными ниже вещественной оси. Согласно теореме Коши [3], интеграл от аналитической функции

по указанному контуру будет  равен  умноженному на сумму вычетов в точках

Отсюда получаем после перехода к пределу при  что

Следовательно

Чтобы удовлетворить условиям на бесконечности, надо к полученному частному решению неоднородной задачи присоединить решение однородной задачи:

При этом:

Тогда будем иметь:

Итак, ордината свободной поверхности при больших  принимает вид:

Пусть  Найдем  доставляющее максимум величины  Затем следует подобрать параметры  с тем, чтобы минимизировать В общем случае    максимум выражения для ординаты свободной поверхности по  находится численным решением трансцендентного уравнения; последующая минимизация также осуществляется численно.

3.      Частный случай. В случае  получается аналитическое  решение задачи. Тогда:

где

Таким образом, амплитуда прошедшей волны явно выражается через параметры источника. Нетрудно видеть в этом случае, что минимум выражения для амплитуды прошедшей волны достигается при   и равен

Отсюда, проходящая волна исчезает при  Подставляя это  условие в выражение для амплитуды проходящей волны, получаем необходимую величину расхода источника, находящегося на глубине :

Литература:

1.                  Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. - М.: Наука, 1977.

2.                  Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля. – М.: Наука, 1973.

3.                  Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.  – Изд. 5-е, испр. – М.: Наука, 1987.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle