Библиографическое описание:

Маркелова И. В., Гарькина И. А. Приложения линейного программирования к решению архитектурно-строительных задач // Молодой ученый. — 2014. — №6. — С. 183-185.

Метод решения рассматриваемых ниже задач связан с именем российского Лауреата Нобелевской премии по экономике Л. В. Канторовича (за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов; 1975 г.; взгляд на математику как на единую дисциплину, все разделы которой взаимосвязаны, взаимозависимы; универсализация математического мышления, взаимопроникновение математики, науки, техники, технологии, экономики и производства).

При их решении осуществляется перенос методов исследования из одной отрасли в другую, что позволяет организацию междисциплинарных исследований [1…6].

Проектирование строительных смесей. Задачи этого вида, известны также под названием задач «о диете». Они состоят в определении оптимального состава смеси, удовлетворяющего определённым требованиям.

Пусть смесь образуется из компонентов, которые могут входить в её состав в различных пропорциях. Допустим, что свойства каждого компонента и всей смеси в целом можно характеризовать m показателями (содержание питательного вещества, калорийность и т. д.). Обозначим через  содержание -го показателя (в единице i-го компонента( и через   — содержание того же показателя в единице смеси. Заданием матрицы  определяются свойства всех компонентов по указанным m признакам. Обозначим через  количество -го компонента, входящего в состав данной смеси.

Во многих случаях можно полагать, что свойства смеси зависят линейно от свойств, входящих в неё компонентов. Это условие линейности выражается соотношениями , . Так, например, если  -й показатель характеризует содержание какого-то вещества, то, очевидно, это условие будет выполняться.

Введём в рассмотрениеnвеличин  (), оценивающих единицу соответствующегоi-го компонента (например, цена, себестоимость и т. д.). Оценка смеси будет определяться линейной функцией .

Возникает задача определения состава смеси (значения ), для которой оценкаzпринимает наивыгоднейшее (наибольшее или наименьшее) значение. При этом на переменные  обычно накладываются нижеприводимые условия.

1.         Ограничения, вытекающие из требуемых свойств смеси по каждому из m показателей. Для каждого показателя  это условие может быть задано в одном из следующих видов: , , , или, наконец, . Поставив в каждое из таких условий в развёрнутое выражение для , получим окончательно систему линейных неравенств и уравнений, которым должны удовлетворять искомые величины .

2.         Ограничения, налагаемые на количество единиц i-го компонента, входящего в состав смеси. Эти ограничения могут диктоваться либо ограниченными ресурсами данного компонента, либо другими соображениями. Как правило, они будут выражаться в виде неравенств .

3.         Условия не отрицательности .

Таким образом, мы приходим к следующей задаче линейного программирования: максимизировать (или минимизировать) линейную функцию z в области решений системы неравенств вида

 или .

Можно указать и ряд других практических задач, укладывающихся в описанную общую схему (например, задача определения оптимального состава композиционного строительного материала, обладающего необходимыми физико-химическими характеристиками

[4,7,8]). Большую актуальность приобретают указанные задачи и в связи с утилизацией промышленных отходов при производстве строительных материалов и конструкций.

Транспортная задача. Имеющийся в пунктах  однородный груз в количестве   единиц необходимо перевести в пункты  в количествах  так, чтобы общая стоимость перевозок была минимальна. Предполагается, что количество требуемого груза равно имеющимся запасам (). В задаче имеются следующие ограничения:

-          количество груза , отправляемого из пункта  на все пункты назначения , должно быть равно имеющимся запасам  ();

-          количество груза, прибывающего в  со всех пунктов отправления, должно равняться потребности  ().

Целевая функция определяет полную стоимость перевозки всех грузов:,  — стоимость перевозки единицы груза.

Формулировка задачи остаётся прежней, если количество имеющегося груза превышает потребности. Для этого вводится фиктивная станция назначения , на которую отправляется излишек груза  со стоимостью перевозок .

Размещение сети культурно-бытового обслуживания. Пусть известны численность  населения города и численность В населения, обслуживаемого культурно-бытовыми учреждениями. Должны иметь B=A. Пусть далее: n — число жилых районов города, j — номера районов,  — население j-го района, m — число культурно-бытовых учреждений,  — численность населения, обслуживаемого культурно-бытовым центром, (),  — минимальные затраты времени на передвижение из каждого j-го населённого места в каждый i-й центр культурно-бытового обслуживания.Требуется определить численность  населения j-го жилого района, обслуживаемого i-м культурно-бытовым центром, обеспечивающую суммарный минимум времени на передвижение населения к центрам культурно-бытового обслуживания. Снова пришли к задаче линейного программирования: из условий минимума  требуется определить значения при ограничениях.

Модульное строительство. Пусть для строительства архитектурных сооружений двух типов имеется 100 модулей. На строительство сооружений первого типа расходуется 2 модуля, а на второй тип — 4 модуля. Составить план производства, обеспечивающий получение наибольшей прибыли, если прибыль от строительства сооружений первого типа составляет 300 тыс. рублей, а от строительства второго типа — 200 тыс. рублей. Причем сооружений первого типа требуется не более 40, а сооружений второго типа — не более 20.

Пусть  — количество сооружений первого и второго типа соответственно. Тогда .

Выберем за базисные переменные . Получим

.

Так что будем иметь

Первое допустимое решение ;.

Увеличения  можно достичь путем увеличения  за счет увеличения . Но увеличивать  можно лишь до тех пор, пока  или  не обратятся в нуль ( при увеличении  в нуль не обратится). Из  следует, что  при ;  при ; то есть  можно увеличивать до . При этом . Получим второе допустимое решение.

Введем в базис , исключив . Имеем . Откуда . При этом . Таким образом,

; . Коэффициент при  отрицателен. Увеличение  лишь уменьшает . Поэтому оптимальным решением является  ; тыс.руб.

Распределение выпуска продукции по предприятиям. Предполагается за время Т выпуск l видов продукции  на r однородных предприятиях  соответственно в количествах  штук. При этом ни одно предприятие не может одновременно выпускать несколько видов продукции. Пусть известны: — количество, продукции , выпускаемой на предприятии  в единицу времени;  — стоимость единицы продукции вида , выпущенной на предприятии .  — время работы предприятия  по выпуску продукции . Время работы каждого предприятия не должно превышать Т: . Количество выпускаемой продукции должно соответствовать номенклатуре:.Требуется найти такие значения , при которых стоимость выпускаемой продукции будет минимальной. Здесь целевая функция представляет собой общую стоимость выпущенной продукции. С учетом, что величина  представляет собой стоимость часть продукции , выпускаемой предприятием , общая стоимость выпускаемой продукции .

По условиям задачи эта величина должна быть минимизирована при выполнении ограничений: ; . Как и выше задача свелась к задаче линейного программирования.

Решение указанных задач может производиться известными методами; наиболее распространенным является симплекс-метод (существуют стандартные программы)

Литература:

1.         Гарькина И. А., Данилов А. М. Современная общая методология идентификации систем: моделирование свойств материалов / Региональная архитектура и строительство. — 2010. — № 1. — С. 11–13.

2.         Гарькина И. А., Данилов А. М. Формализованная оценка качества сложных систем: состояние и перспективы / Региональная архитектура и строительство. — 2012. — № 2. — С. 34–37.

3.         Будылина Е. А., Гарькина И. А., Данилов А. М. Моделирование с позиций управления в технических системах / Региональная архитектура и строительство. –2013. — № 2 (16). — С. 138–142.

4.         Гарькина И. А., Данилов А. М. Опыт разработки композиционных материалов: некоторые аспекты математического моделирования / Известия ВУЗов. Строительство. — 2013. –№ 8 (656). –С.28–33.

5.         Будылина Е. А., Гарькина И. А., Данилов А. М., Махонин А. С. Основные принципы проектирования сложных технических систем в приложениях / Молодой ученый. –2013. — № 5. — С. 42–45.

6.         Гарькина И. А., Данилов А. М., Домке Э. Р. Промышленные приложения системных методологий, теорий идентификации и управления / Вестник Московского автомобильно-дорожного государственного технического университета (МАДИ). — 2009. — № 2. — С. 77–81.

7.         Гарькина И. А., Данилов А. М., Королев Е. В., Смирнов В. А. Преодоление неопределенностей целей в задачах многокритериальной оптимизации на примере разработки сверхтяжелых бетонов для защиты от радиации / Строительные материалы.– 2006. — № 8. — С.23–26.

8.         Гарькина И. А., Данилов А. М., Смирнов В. А. Флокуляция в дисперсных системах/ Системы управления и информационные технологии. — 2008. — № 2.3(32). — С.344–347.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle