Библиографическое описание:

Атамуратов А. Ж. О би-ортогональности системы функций на отрезке // Молодой ученый. — 2014. — №6. — С. 10-12.

Исследуется тригонометрическая система функций, которая получается при решении задачи гашения колебаний балки. Определяется на каком отрезке эта система функций является би-ортогональной.

Ключевые слова: би-ортогональные системы, уравнение колебаний балки, задача гашения.

On bi-orthogonality of the system of functions  on the

Atamuratov Andrey Zhienbaevich

MATI — Russian State Technological University of K. E. Tsiolkovsky, Moscow, Postgraduate of Applied Mathematics and Computer Science department

Постановка проблемы. Колебания балки описываются следующим уравнением

, ,,                                           (1)

Начальные отклонения и скорость перемещения балки , , будем рассматривать как начальные условия. На концах балки наложим условия нежёсткого закрепления , . При решении задачи гашения колебаний балки [1–6], которая состоит в том, что требуется найти управляющую функцию  из , позволяющую за минимальное время  перевести балку из возмущённого состояния в состояние покоя , , решая её аналитическим способом (Фурье и проблема моментов) [7], мы приходим к следующей системе моментов

,                                                  (2)

где собственные числа и коэффициенты Фурье задаются так

,

 , .                                           (3)

Дальнейшее же решение полностью зависит от того можем ли мы найти для системы функций  би-ортогональную и для какого , то есть на каком отрезке .

Основное определение. Система функций  является би-ортогональной [8] к системе  на отрезке , если выполняется следующее

                                (4)

Теорема. Система функций  на промежутке , где , является би-ортогональной сама к себе.

Рассмотрим основные соотношения между этими функциями. Пусть, тогда для некоторого промежутка

Пусть , тогда

Взаимное соотношение

Тогда, если положить , то равенства (4) будут выполняться.

Литература:

1.         Атамуратов А. Ж., Михайлов И. Е., Муравей Л. А.. О гашении колебаний балки. // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. Том 50(1). — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. — С. 53–58.

2.         Атамуратов А. Ж., Михайлов И. Е., Муравей Л. А. О гашении колебаний сложных механических структур // Авиакосмическая техника и технология, 2012, № 4. С. 54–59.

3.         Atamuratov A., Mikhailov I., Muravey L. On the numerical damping of beam's vibrations. VII International Aerospace Congress IAC’12, August 25–31, 2012, Moscow, Russia, Proceedings. Электронный вид. Зарегистрировано в ВГУП НГЦ в ИНФОРМ-РЕГИСТР. Гос. рег. № 0321303652. 2013. C. 103–106.

4.         Атамуратов А. Ж. Решение уравнения колебаний балки при шарнирном закреплении на границах. // Молодой ученый. 2014. № 2. С. 1–7. http://www.moluch.ru/archive/61/8996/

5.         Атамуратов А. Ж. Численный метод решения уравнения колебаний балки при разных типах граничных условий. // Молодой ученый. 2014. № 2. С. 7–12. http://www.moluch.ru/archive/61/9146/

6.         Muravey L., Mikhailov I., Atamuratov A., The damping problem of vibrations for large mechanical systems // ICIAM2011, Abstracts, Vancouver, Canada, July 18–22, 2011. P. 87.

7.         Atamuratov A., Mikhailov I., Muravey L. On the numerical damping of beam’s vibrations // VII International Aerospace Congress IAC’12. Abstracts. Moscow, Russia. 26–31 August, 2012. P. 31–32.

8.         Атамуратов А. Ж. Приведение к тригонометрической проблеме моментов на примере задачи гашения колебаний прямоугольной мембраны, балки и прямоугольной пластины. // Молодой ученый. № 11. 2013. С. 6–10. http://www.moluch.ru/archive/58/8092/

9.         Lagness J. E. Control of wave process with distributed controls supported on a subregion // SIAM Journ. Control and Optim. 1983. Vol. 1, no. 1. Pp. 68–85.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle