Библиографическое описание:

Ластивка И. А. К вопросу о проверке параметрических статистических гипотез в схемах Бернулли // Молодой ученый. — 2014. — №6. — С. 19-23.

Показано, что проверка гипотез о числовом значении вероятности «успеха» в схеме Бернулли и равенстве вероятностей «успеха» в двух независимых схемах Бернулли с использованием критерия  равносильна проверке тех же гипотез с использованием двустороннего критерия, основанного на нормальном приближении относительных частот «успеха».

Ключевые слова: испытания Бернулли, вероятности «успеха», критерий  Пирсона, двусторонний критерий.

1. Вступление

Наряду с традиционной методикой, основанной на нормальном приближении относительной частоты, гипотезу о числовом значении вероятности «успеха» в схеме Бернулли можно проверить с использованием критерия Пирсона как гипотезу о распределении индикатора события. Однако в учебной литературе данная возможность почему-то не освещается. В связи с этим возникает потребность в сравнении обоих подходов.

То же самое касается и проверки гипотезы о равенстве вероятностей «успеха» в двух независимых схемах Бернулли, которую можно трактовать как гипотезу об однородности, и возможности использования для ее проверки критерия  Пирсона.

Сказанное и побудило автора к написанию данной статьи.

2. Постановка задачи

В данной работе ставится задача продемонстрировать «хи»-квадрат методику к проверке гипотез о числовом значении вероятности «успеха» в схеме Бернулли и равенстве вероятностей «успеха» в каких-либо двух независимых схемах Бернулли, и ее сравнение с традиционной методикой, основанной на нормальном приближении относительных частот.

Математическая постановка задач приводится в пунктах 3, 4.

3. Проверка гипотезы о числовом значении вероятности «успеха» в схеме Бернулли

Пусть в  испытаниях Бернулли «успех» имел место  раз. Необходимо проверить нулевую гипотезу , где —  вероятность «успеха» в отдельном испытании,  — фиксированное число ().

В стандартном учебном курсе математической статистики [1] критерий проверки этой гипотезы строится на сравнении заданного числа  с относительной частотой «успеха» . Если  достаточно большое, а  заметно отличается от 0 и 1, то в качестве статистики критерия берут статистику [1, с. 318, 2, с. 305]

.                                                                                                    (1)

В формуле (1)  — случайная величина.

При условии правильности нулевой гипотезы  статистика (1) имеет распределение, близкое к нормальному распределению  [1, с. 317, 2, с. 305].

Критическая область для уровня значимости  выбирается в зависимости от вида альтернативной гипотезы. В частности, для альтернативной гипотезы  критическая область определяется неравенством [2, с. 306, 3, с. 208]

,                                                                                                                      (2)

где  — выборочное значение статистики (1),  — квантиль нормального распределения  порядка .

Для альтернативных гипотез  и  критические области определяются неравенствами  и  соответственно.

Эту же гипотезу  можно проверить с использованием критерия  Пирсона. В связи с этим рассмотрим случайную величину  — индикатор «успеха» ( приобретает значение 1 в случае «успеха» и значение 0 в случае «неудачи»). Это позволяет сформулировать нашу гипотезу  в равносильном виде

случайная величина  имеет распределение

                                                                           (3)

и воспользоваться критерием  Пирсона.

Пусть для проверки нулевой гипотезы (3) проведено  испытаний Бернулли и «успех» наступил  раз.

Результаты испытаний относительно случайной величины  представим в виде:

Таблица 1

Результаты испытаний

0

1

Область возможных значений  разбита на  множества: , . При условии, что гипотеза  правильная,

, .

Для выборочного значения статистики критерия  получаем

.                                                             (4)

Это значение сравнивается с квантилем . Здесь  — квантиль -распределения с одной степенью свободы порядка . В случае  гипотеза  отклоняется.

Теперь покажем, что критерий проверки гипотезы о числовом значении вероятности «успеха» с использованием соотношения (4) равносилен двустороннему критерию (1), (2).

Действительно, квадрат выборочного значения статистики критерия  (4) равен квадрату выборочного значения статистики (1), то есть . Кроме того, справедливо равенство квантилей

.                                                                                                                (5)

В результате получаем равносильность неравенств

 ().

Таким образом, нулевая гипотеза  с использованием критерия  отклоняется тогда и только тогда, когда она отклоняется в случае использования двустороннего критерия (1), (2).

Осталось доказать равенство квантилей (5). Для этого рассмотрим случайную величину  с нормальным распределением  и воспользуемся равенством

.

Учитывая, что по определению -распределения , получим

,

откуда следует равенство (5).

Следует помнить, что в отличие от первого подхода методика с использованием критерия  Пирсона не дает возможности строить двусторонние критерии проверки гипотезы .

Кроме того, в соответствии с доказанным методика  предусматривает те же условия нормального приближения относительной частоты «успеха». Если эти условия не выполняются, следует пользоваться критериями, основанными на точном (биномиальном) распределении относительной частоты.

4. Проверка гипотезы о равенстве значений вероятностей «успеха» в двух независимых схемах Бернулли

Рассмотрим независимо друг от друга две последовательности испытаний Бернулли. Пусть в  испытаниях первой последовательности событие  появляется  раз, а в  испытаниях второй последовательности —  раза. Обозначим через  и  вероятности наступления события  («успеха») в отдельном испытании соответственно первой и второй последовательностей. Необходимо проверить гипотезу . Критерий этой проверки основывается на сравнении относительных частот «успеха»  и .

В качестве статистики критерия принимают статистику [2, с. 324, 3, с. 222]

.                                                                                                (6)

При условии правильности гипотезы  распределение этой статистики близко к нормальному распределению . При вычислении выборочного значения  статистики (6) в качестве неизвестного параметра  принимают оценку

,                                                                                                                (7)

где  и  — выборочные значения величин  и  соответственно.

Критическая область определяется неравенствами:

 — для альтернативной гипотезы ;

 — для альтернативной гипотезы ;

 — для альтернативной гипотезы .

Гипотезу о равенстве вероятностей «успеха» можно проверить с помощью критерия  Пирсона.

Предположим, что независимо друг от друга проводятся две последовательности испытаний Бернулли. Пусть в  испытаниях первой последовательности «успех» появляется  раз. Обозначим через  вероятность «успеха» в отдельном испытании первой последовательности. Пусть в  испытаниях второй последовательности «успех» появляется  раза. Вероятность «успеха» в отдельном испытании второй последовательности обозначим через .

Необходимо проверить гипотезу. Поскольку эта гипотеза эквивалентна гипотезе об однородности двух выборок с объемами  и , можно воспользоваться критерием .

С учетом обозначений

выборочное значение статистики этого критерия приобретает вид

.

Поскольку легко убедиться в справедливости равенств

,

получаем

                                                                                            (8)

Проверка гипотезы  сводится к сравнению (8) с квантилем

.

Сопоставляя (8) с выборочным значением статистики (6) при , видим, что . Кроме того, справедливо равенство (5)

Поэтому критерий  Пирсона при проверке гипотезы  дает тот же результат, что и приведенный выше критерий (6) при альтернативной гипотезе .

5. Выводы

На рассматриваемых в статье вопросах целесообразно акцентировать внимание в учебной литературе, а также использовать их в учебном процессе.

Литература:

1.         Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для вузов. 9-е изд., стер. М.: Высш. шк. — 2003. — 479 с.

2.         Михайленко, В. В., Ластівка, І. О. Теорія ймовірностей і математична статистика: підручник. К.: НАУ. — 2013. — 564 с.

3.         Ластівка, І. О., Михайленко, В. В. Математика для економістів: навч. посіб. у 3-х ч. Ч. 3. Теорія ймовірностей і математична статистика. К.: НАУ. — 2012. — 272 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle