Библиографическое описание:

Егодуров Г. С., Батуев Ц. А. Математическое моделирование процесса удара в шестимассовой системе с четырьмя степенями свободы // Молодой ученый. — 2014. — №5. — С. 46-56.

Выполнено математическое моделирование процесса удара батанного механизма ткацких станков типа АТ в обе замочные пружины. Рассмотрена модель, в которой коленчатый вал и брус батана считаются упругими телами. Приведены результаты расчетов и сравнительные экспериментальные данные.

Ключевые слова: математическое моделирование; батанный механизм; пружина замка; упругость; коленчатый вал; брус батана; масса; степень свободы.

В работе [1] исследован установившийся режим движения батанного механизма ткацких станков типа АТ с учетом упругости коленчатого вала и бруса батана, а в настоящей работе рассматривается удар батана в замки (рис.1,a) — мгновенный останов машины на полном ходу при максимальной скорости батана по требованиям технологии ткачества [2]. При этом из-за упругости звеньев механизма удар начинается с левой замочной пружины механизма (см.рис.1,б). Этот процесс условно можно разделить на следующие основные этапы: 1) движение механизма при сопротивлении левой замочной пружины до начала удара в правую замочную пружину; 2) движение механизма при сопротивлении обеих замочных пружин: а) до крайнего переднего положения механизма; б) в обратном направлении до нарушения контакта с правой пружиной; 3) последующее движение механизма, состоящее из ряда этапов, носящее затухающий характер в силу рассеивания энергий.

Наибольшие усилия в звеньях механизма при ударе в замки появляются во время второго этапа в крайнем переднем положении механизма, поэтому здесь исследуются только первые два этапа. Начальными условиями при рассмотрении этих этапов соответственно являются конечные условия установившегося движения перед началом удара батана в замки и конечные условия первого этапа. При решении задачи удара местные деформации соударяющихся звеньев механизма считаются малыми и не учитываются, учитываются только общие деформации упругих звеньев: коленчатого вала, бруса батана и замочных пружин.

Рассмотрим процесс удара батанного механизма в обе замочные пружины с учетом крутильной упругости коленчатого вала между кривошипами и изгибной упругости бруса батана между шатунами [1,3]. Принятая динамическая модель механизма приведена на рис.1,б,в и представляет собой шестимассовую систему с четырьмя упругими звеньями, имеющую четыре степени свободы и отличающуюся от расчетной схемы установившегося движения тем, что на неё дополнительно наложены две упругие связи — замочные пружины и отключен двигатель станка.

Рис.1. Принципиальная схема (а), динамическая модель (б,в) и деформация лопасти (г) батанного механизма в момент начала удара в замки

Если в расчетной схеме (см.рис.1,б) положить , то в этом случае получим расчетную схему для первого этапа удара в замки. Хотя система имеет четыре степени свободы и её положение в любой момент времени вполне определяется четырьмя обобщенными координатами, удобно при выводе уравнений, описывающих движения масс системы, пользоваться шестью координатами по количеству масс. Поскольку установившееся движение и удар батана в замки являются непрерывным процессом, то для математического описания удара используется та же система координат, что и в работе [1]: х1, х2, х3, х4 — перемещение соответствующей массы от ее заднего крайнего положения 0–0 в момент начала движения (см.рис.1,б,в); - угол поворота левого кривошипа; - упругий угол поворота правого кривошипа относительно левого за счет упругости коленчатого вала. Массы  и  являются приведенными массами при рассмотрении свободных колебаний рамы батана [3].

Остальная масса рамы батана с соответствующим приведением включена в массы  и ;  и  соответственно приведенный момент инерции деталей механизма, связанных с левым и правым концом коленчатого вала; F1 и F2 — приведенные к оси бруса батана силы упругости пружин и лопастей;  — коэффициент крутильной жесткости коленчатого вала между кривошипами;  — изгибная жесткость бруса батана;  — радиус кривошипа;  — длина шатуна;  — пролёт бруса;  — длина консоли бруса. Принято .

Ударная нагрузка воспринимается замочной пружиной, которая имеет предварительную затяжку [2]. Для вывода уравнений движения механизма необходимо предварительно найти приведенную к оси бруса силы упругости пружин и лопастей  и . Перемещения точек приложения сил F1 и F2 (см.рис.1,г) равны , где  — заданная величина перемещения точек F1 и F2 за счет предварительной затяжки пружины . Динамические деформации лопасти и пружины  определяются как

а выражения для определения перемещений точек приложения сил F1 и F2 имеют вид:

Силы упругости пружин F1 и лопастей F2, приведенные к оси бруса батана, определяются по формулам:

Жесткость замочной пружины и лопасти , приведенные к оси бруса батана, определяется выражением:

где - изгибная жесткость лопасти; - жесткость замочной пружины.

Движения масс  и  (см.рис.1,б,в) от крайнего заднего положения описываются уравнениями:

                                   (1)

Рассмотрев движения приведенных масс коленчатого вала (см.рис.2,б) с моментами инерции  и  получаем следующие уравнения:

                                                                                         (2)

где  и  — скручивающие моменты коленчатого вала.

Рис.2. Расчетная схема кривошипно-шатунного механизма (а) и коленчатого вала (б) батанного механизма в момент начала удара в замки

Моменты  и  выражаются через реактивные силы  и  бруса батана на четырехзвенник (см.рис.2,а) на основании принципа возможных перемещений следующим образом:

                                                                             (3)

Реакции  и  определяются из условия равновесия бруса батана, находящегося под действием сил инерции приведенных масс и приведенных к оси бруса сил сопротивления замочных пружин и лопастей F1 и F2 (см.рис.2,а):

                                  (4)

где - расстояние точки приложения силы F1 и F2 от крайнего заднего положения 0–0 до положения в момент начала удара; - величина предварительной затяжки замочной пружины (рис.1,г).

После подстановки выражений (3) в соотношения (2) с учетом (4) уравнения движения масс коленчатого вала принимают вид:

                     (5)

где

Уравнения движения масс  и составляем следующим образом. Как видно из рис.1, брус батана под действием приложенных сил деформируется. Перемещение массы  можно записать в виде:

                                                                   (6)

где  — перемещение массы  под действием силы , - перемещение массы  под действием силы . Перемещения  и  считаются положительными, а единичные силы направлены вдоль этих перемещений.  и - соответственно перемещение массы  под действием силы  и  (направления сил показаны на рис.1,б). Соответствующая величина  находится из геометрических соотношений

                                                                                           (7)

Приравнивая выражения (6) и (7) с учетом (4), получаем уравнение движения массы :

                                                                (8)

где

 (9)

Аналогично находим уравнение движения массы :

                                                             (10)

где

Из выражений (1) имеем:

      (11)

После преобразования выражений (5), (8), (10) с учетом (1) и (11) получаем следующую систему нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами [4], описывающих движения масс расчетной схемы механизма при ударе в обе пружины замка:

         (12)

Начальные условия при  (получены в работе [1]):

Общее решение такой системы неизвестно [4], и поэтому для ее решения воспользуемся численными методами интегрирования на ЭВМ. Сведём систему (12) к нормальной форме Коши, введя новые неизвестные функции        и  по следующим формулам:

При этой замене система (1) переходит в систему восьми уравнений первого порядка, разрешённых относительно производных всех восьми искомых функций:

где коэффициенты суть данные непрерывные функции от :

в частности некоторые из них — постоянные.

Таблица 1

Рис. 3. Графики изменения угловых перемещений, скоростей и ускорений масс коленчатого вала с моментами инерции  и

Уравнения решены численными методами [5] с использованием данных табл.1, соответствующих батанному механизму ткацкого станка АТ-127. Результаты решения представлены на рис.3 и 4. На рис.3,а,б приведены графики изменения угловых перемещений, скоростей и ускорений масс коленчатого вала с моментами инерции  и , а на рис.4,a,б,в,г приведены графики изменения линейных перемещений, скоростей и ускорений масс . Как видно из рис.3,а и рис.4,а, время движения массы с моментом инерции  и массы  от момента начала удара до момента остановки масс при  составляет 0,01475с. и за все это время угол  растет от нуля до .

На рис.5 представлены схема расположения балочки на механизме для записи силы удара и осциллограмма удара батана в замки. Как видно из рис.5,б, длительность нарастания силы удара составляет 0,018с. Длительность нарастания силы удара, полученная в результате решения системы (12) составляет 0,01475с. и отличается от экспериментальных данных примерно на 18 %, что говорит о достаточно удовлетворительном согласовании результатов теории и эксперимента.

Рис. 4. Графики изменения линейных перемещений, скоростей и ускорений масс

Рис. 5. Схема записи удара (а), осциллограмма силы удара батана в замки (б) и расчетная схема механизма при абсолютно жестких звеньях (в)

На рис. 3,б представлены законы относительно движения массы коленчатого вала с моментов инерции . Как видно, диск  совершает крутильные колебания, обусловленные наличием в кинематической цепи передачи упругого элемента. К моменту начала удара масса  была повернута относительно массы  на угол рад. Эта величина пренебрежимо мала и, следовательно, можно считать, что батан при ударе в замки одновременно касается обеих пружин, что достаточно хорошо согласовывается с экспериментом (см.рис.5,б).

С момента начала удара батана в замки правая масса коленчатого вала  начинает поворачиваться (отставать) относительно левой массы  и в момент времени  упругий угол  достигает максимального значения rad (φ2=4˚). В этот момент относительная скорость  и массы  и  имеют одну и ту же скорость . При дальнейшем движении батана упругий угол  уменьшается, скорость  становится отрицательной, т. е. масса  движется в направлении вращения массы , и соответственно растет скорость движения массы . В момент остановки масс  и  () массы  и  продолжают свое движение , (рис.3,б и рис.4,б).

Из рис.4,в и 4,г видно, что массы  и , достигают крайнего положения соответственно в моменты времени  и , т. е. раньше масс  и . Следовательно, при ударе батана в замки концы консолей заносятся вперед и раньше чем пальцы лопастей начинают обратное движение, т. е. брус совершает изгибные колебания.

Из рис.4 видно, что законы движения масс  имеют явно выраженный колебательный характер. Если колебательный процесс слабо выражен в изменениях перемещений масс, то скорости и ускорения колебательного движения достигают заметной величины. Процесс колебательного движения масс объясняется наличием в кинематической цепи передачи упругих элементов.

Как видно из рис.4,а и 4,б при ударе батана в замки массы  и  перемещаются на разные величины: масса  перемещается на большую величину (), чем масса  (). Расчётная схема механизма при абсолютно жёстких звеньях, представлена на рис.5,в, где  — начальная скорость удара; - приведённая масса механизма; ,  — податливость и предварительная затяжка пружины. Линейные перемещения, скорости и ускорения массы определяются по формулам:

                                                                                (13)

где  — круговая частота собственных колебаний массы на пружине.

Расчётная схема рис. 5,в и выражения (13) заимствованы нами из работы [6]. Постоянные, входящие в (13), соответствуют батанному механизму станка . Графики «идеальных» законов движения батанного механизма станка представлены на рис.6.

Рис. 6. Графики «идеальных» законов движения батанного механизма

Сравнивая рис.4 с рис.6 видим, что законы движения масс , рассчитанные с учетом упругости звеньев, значительно отличаются от законов движения массы , рассчитанной по «идеальным» законам. Если изменения в перемещенных массах слабо выражены, то изменения скорости и ускорения достигают заметной величины. Максимальные значения ускорений масс m1 иm2 превышают «идеальное» ускорение массы примерно в 1,38 раза, а ускорения масс  — в десять раз.

Выводы.

1.                  Выполнено математическое моделирование процесса удара батана в замки с учетом упругости звеньев.

2.                  Результаты численного решения полученных уравнений показывают, что законы движения механизма, рассчитанные с учетом упругости звеньев, значительно отличаются от «идеальных» законов движения.

3.                  Результаты теоретического исследования процесса удара в замки показывают, что длительность нарастания силы удара . Экспериментально установлено, что время нарастания силы удара . Таким образом, результаты теоретического исследования подтверждаются экспериментальными данными.

4.         Результаты теоретического и экспериментального исследования удара батана в замки показывают, что а) сила удара батана левую пружину в 1,3…1,5 раза больше силы удара в правую пружину; б) величины максимальных динамических усилий в замочных пружинах  и , рассчитанные с учетом упругости звеньев, значительно отличаются от сил удара , полученных по «идеальным» формулам. Для левой пружины эта разница составляет 15 %, а для правой — 45 %. В заключение следует обратить внимание на то, что при расчете с учетом упругости звеньев представляется возможность более полно изучить происходящие в них явления и, следовательно, полнее учесть при проектировании механизма факторы, влияющие на выбор его параметров.

Литература:

1.         Егодуров Г. С., Пнёв А. Г. К численной реализации дифференциальных уравнений с периодически изменяющимися параметрами // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 2. — С. 58–64.

2.         Малышев А. П., Воробьев. П. А. Механика и конструктивные расчеты ткацких станков. — М.: Машгиз, 1960. — 552 с.

3.         Коритысский Я. И. Колебания в текстильных машинах.– М.: Машиностроение, 1973. — 320 с.

4.         Агафонов С. А., Муратова Т. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Издательский дом «Академия», 2008. — 240 с.

5.         Турчак Л. И. Основы численных расчетов. — М.: Наука, 1987. -320 с.

6.         Мартынов И. А. Некоторые вопросы динамики высокоскоростных ткацких станков в нестационарный период работы: Дис. канд. техн. наук. — МТИ, 1959. — 128 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle