Библиографическое описание:

Пушкарев Г. А., Воронцова В. А. Разрешимость одной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения второго порядка с монотонной нелинейностью // Молодой ученый. — 2014. — №5. — С. 4-7.

Рассматривается вопрос о разрешимости краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения         в предположениях: оператор Немыцкого , определенный равенством , непрерывен; ,  — измеримая функция, такая, что существует ограниченная в существенном на  производная Радона-Никодима  функция множества .

Ключевые слова: краевая задача, линейный оператор, функционально-дифференциальное уравнение.

Рассмотрим вопрос о разрешимости краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения

в следующих предположениях: оператор Немыцкого , определенный равенством , непрерывен; ,  — измеримая функция, такая, что существует ограниченная в существенном на  производная Радона-Никодима  функция множества .

Будем пользоваться следующими обозначениями:

 — пространство -мерных вектор-столбцов с нормой ;

- пространство суммируемых в –ой степени на отрезке

вектор-функций  с нормой , ();

 — пространство ограниченных в существенном  на вектор-функций  с нормой ;

 — пространство непрерывных на  вектор-функций  с нормой ;

 — пространство таких абсолютно-непрерывных функций , что , ;

 — показатель степени, сопряженный с : ;

 — банаховы пространства с нормами ,  соответственно;

 — скалярное произведение в , определенное равенством , где , ;

 — скалярное произведение в , определенное равенством  и согласованное с нормой в ;

 — билинейная форма, заданная на , , ;

 — шар в  радиуса  с центром в нуле;

 — носитель суммируемой функции ;

 — оператор, сопряженный к .

Рассмотрим уравнение:

                                                                                                                          (1)

с непрерывным оператором .

Определение 1.[3, с. 21]. Оператор  называется коэрцитивным, если для любого  выполняется неравенство , где  — некоторая функция, удовлетворяющая условию .

Отметим, что для случая линейного ограниченного оператора, из сильной монотонности следует его коэрцитивность.

Определение 2.[3]. Оператор называется усиленно непрерывным, если он отображает слабо сходящиеся последовательности в сходящиеся.

В частности, всякий вполне непрерывный оператор является усиленно непрерывным. Обратное, вообще говоря, неверно.

В некоторых случаях утверждения, справедливые для монотонных операторов, остаются справедливыми для более широкого класса операторов, описанных в следующем определении.

Определение 3.[3, с. 267]. Оператор называется полу монотонным, если он представлен в виде суммы монотонного и усиленно непрерывного операторов.

Отметим, что полу монотонные операторы называются также монотонными в главной части [6, c. 181].

Пусть  — линейный оператор.

Определение 4. [3, с. 22]. Оператор  называется -монотонным, если для любых  выполнено неравенство .

Определение 5. Оператор  называется -коэрцитивным, если для любого  выполнено условие , где .

Нам потребуется следующее распространение теоремы Браудера о полу монотонном операторе, применимое и в тех случаях, когда оператор  не является полу монотонным или коэрцитивным.

Лемма 1. Пусть выполнены предположения:

а) – линейный обратимый оператор;

б) - непрерывный оператор;

в) оператор  — полу монотонен;

г) оператор  - коэрцитивен.

Тогда уравнение (1) имеет хотя бы одно решение для любого .

Уравнение (1) эквивалентно уравнению                                              (2)

Рассмотрим далее краевую задачу

                                                                                (3)

в следующих предположениях:

 — измеримая функция, такая, что существует ограниченная в существенном на  производная Радона-Никодима  функция множества   удовлетворяет условиям Каратеодори и оператор Немыцкого , определенный равенством , непрерывен; .

Будут получены признаки разрешимости задачи (3), основанные на теореме Браудера [3].

Определение 6.1–6.2. Будем говорить, что функция  на множестве : удовлетворяет условию /6А, /, если существует такое число , что для всех  выполнено неравенство ; удовлетворяет условию /6Б, /, если существует такое число , что для всех  выполнено неравенство .

Обозначим через  оператор Грина краевой задачи

                                                                                (4)

Отметим некоторые свойства оператора  [6, с. 79, 88]. Имеем представление

                     (5)

Оператор  положителен, т. е. для любого  имеет место неравенство

                                                                                                           (6)

Рассмотрим семейство операторов , где  — тождественный оператор,  — действительный параметр и . Предварительно докажем вспомогательное утверждение.

Лемма 2. Для любого  имеет место неравенство.                                                                                                                                                    (7)

Определим оператор  равенством  и рассмотрим уравнение

                                                                                                                          (8)

Приведем одно вспомогательное утверждение.

Лемма 4. Для любого  имеет место неравенство .

Приводимое ниже утверждение позволит нам заменить исследование краевой задачи (3) исследованием уравнение (8).

Предложение 5. [1]  является решение уравнения (8) тогда и только тогда, когда  является решением задачи (3).

Исследуем свойства оператора .

Лемма 6. Пусть выполнены предположения:

а) функция  удовлетворяет условиям /6А, /, /6Б, /, на множестве ;

б) выполнено неравенство                                            (9)

где , .

Тогда оператор  -коэрцитивен и для любого  имеет место неравенство                                                                                                          (10)

где.

Следствие 7. Пусть выполнены предположения:

а) функция  удовлетворяет условиям /6А, /, /6Б, /, на множестве ;

б) выполнены неравенства (7) и (9).

Тогда все решения задачи (3) удовлетворяют оценке

                                                                                                                  (11)

где .

Теорема 8. Пусть существует такое . что выполнены условия:

а) функция  удовлетворяет условиям /6А, /, /6Б, /, на множестве ;

б) выполнены неравенства (7), (9).

Тогда краевая задача (3) имеет решение , которое удовлетворяет оценке (11).

Доказательство. Ввиду выполнения всех предположений следствия 7 будем доказывать существование решения вспомогательной краевой задачи

                                                                                         (12)

удовлетворяющего оценке (11), где каратеодорева функция  совпадает с  на множестве ,  удовлетворяет условиям /6А, /, /6Б, / на и оператор Немыцкого , определяемый равенством , непрерывен.

Рассмотрим оператор , определенный равенством .

Из леммы 6 следует -коэрцитивность оператора , при этом оператор  обратим (см. лемму 3). Из (9) следует, что . Оператор полу монотонен. Действительно, непосредственно получаем представление                                           (13)

Здесь  монотонен по лемме 6. Оператор  вполне непрерывен, а значит, усиленно непрерывен. Итак, (13) есть представление оператора  в виде суммы монотонного и усиленно непрерывного, т. е. оператор  является полу монотонным.

Итак, выполнены все условия леммы 1, поэтому уравнение  имеет решение , а краевая задача (12) имеет решение , удовлетворяющее оценке (11). Тогда это является решением задачи (3). Доказательство закончено.

Литература:

1.         Азбелев Н. В., Исламов Г. Г. Об одном классе функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. — 1976. — Т. 12. — № 3. — с. 417–427.

2.         Азбелев Н. В., Максимов В. П. Априорные оценки решений задачи Коши и разрешимость краевых задач для уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1979. — Т. 15. — № 10. — с. 1731–1747.

3.         Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов., М., Наука, 1972, — 416 с.

4.         Забрейко П. П., Кошелев А. И., Красносельский М. А. и др. Интегральные уравнения., М: Наука, 1968, — 448, /Сер. «Справочная математическая библиотека»/.

5.         Кигурадзе И. Т., Шехтер Б. Л. Сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. // Современные проблемы математики. Новейшие достижения. — М.: ВИНИТИ, 1987. — Т. 30. — с. 105–201. — /Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР/.

6.         Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. Пер. с англ. А. Ф. Жукова. — М.: Наука, 1988. -304 с.

7.         Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства, ЛКИ, 3 издание, 2008, — 456 с.

Основные термины: краевой задачи, производная Радона-Никодима функция, Радона-Никодима функция множества, определенный равенством, о разрешимости краевой задачи, нелинейного функционально-дифференциального уравнения, линейный оператор, ограниченная в существенном, непрерывный оператор, оператор Немыцкого, вопрос о разрешимости краевой, монотонных операторов, линейный обратимый оператор, Похожая статья, оператор Грина краевой, функциональной краевой задачи, полу монотонным, свойства оператора, признаки разрешимости задачи, Шехтер Б. Л. Сингулярные краевые задачи

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle