Библиографическое описание:

Пушкарев Г. А., Воронцова В. А. Разрешимость одной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения второго порядка с монотонной нелинейностью // Молодой ученый. — 2014. — №5. — С. 4-7.

Рассматривается вопрос о разрешимости краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения         в предположениях: оператор Немыцкого , определенный равенством , непрерывен; ,  — измеримая функция, такая, что существует ограниченная в существенном на  производная Радона-Никодима  функция множества .

Ключевые слова: краевая задача, линейный оператор, функционально-дифференциальное уравнение.

Рассмотрим вопрос о разрешимости краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения

в следующих предположениях: оператор Немыцкого , определенный равенством , непрерывен; ,  — измеримая функция, такая, что существует ограниченная в существенном на  производная Радона-Никодима  функция множества .

Будем пользоваться следующими обозначениями:

 — пространство -мерных вектор-столбцов с нормой ;

- пространство суммируемых в –ой степени на отрезке

вектор-функций  с нормой , ();

 — пространство ограниченных в существенном  на вектор-функций  с нормой ;

 — пространство непрерывных на  вектор-функций  с нормой ;

 — пространство таких абсолютно-непрерывных функций , что , ;

 — показатель степени, сопряженный с : ;

 — банаховы пространства с нормами ,  соответственно;

 — скалярное произведение в , определенное равенством , где , ;

 — скалярное произведение в , определенное равенством  и согласованное с нормой в ;

 — билинейная форма, заданная на , , ;

 — шар в  радиуса  с центром в нуле;

 — носитель суммируемой функции ;

 — оператор, сопряженный к .

Рассмотрим уравнение:

                                                                                                                          (1)

с непрерывным оператором .

Определение 1.[3, с. 21]. Оператор  называется коэрцитивным, если для любого  выполняется неравенство , где  — некоторая функция, удовлетворяющая условию .

Отметим, что для случая линейного ограниченного оператора, из сильной монотонности следует его коэрцитивность.

Определение 2.[3]. Оператор называется усиленно непрерывным, если он отображает слабо сходящиеся последовательности в сходящиеся.

В частности, всякий вполне непрерывный оператор является усиленно непрерывным. Обратное, вообще говоря, неверно.

В некоторых случаях утверждения, справедливые для монотонных операторов, остаются справедливыми для более широкого класса операторов, описанных в следующем определении.

Определение 3.[3, с. 267]. Оператор называется полу монотонным, если он представлен в виде суммы монотонного и усиленно непрерывного операторов.

Отметим, что полу монотонные операторы называются также монотонными в главной части [6, c. 181].

Пусть  — линейный оператор.

Определение 4. [3, с. 22]. Оператор  называется -монотонным, если для любых  выполнено неравенство .

Определение 5. Оператор  называется -коэрцитивным, если для любого  выполнено условие , где .

Нам потребуется следующее распространение теоремы Браудера о полу монотонном операторе, применимое и в тех случаях, когда оператор  не является полу монотонным или коэрцитивным.

Лемма 1. Пусть выполнены предположения:

а) – линейный обратимый оператор;

б) - непрерывный оператор;

в) оператор  — полу монотонен;

г) оператор  - коэрцитивен.

Тогда уравнение (1) имеет хотя бы одно решение для любого .

Уравнение (1) эквивалентно уравнению                                              (2)

Рассмотрим далее краевую задачу

                                                                                (3)

в следующих предположениях:

 — измеримая функция, такая, что существует ограниченная в существенном на  производная Радона-Никодима  функция множества   удовлетворяет условиям Каратеодори и оператор Немыцкого , определенный равенством , непрерывен; .

Будут получены признаки разрешимости задачи (3), основанные на теореме Браудера [3].

Определение 6.1–6.2. Будем говорить, что функция  на множестве : удовлетворяет условию /6А, /, если существует такое число , что для всех  выполнено неравенство ; удовлетворяет условию /6Б, /, если существует такое число , что для всех  выполнено неравенство .

Обозначим через  оператор Грина краевой задачи

                                                                                (4)

Отметим некоторые свойства оператора  [6, с. 79, 88]. Имеем представление

                     (5)

Оператор  положителен, т. е. для любого  имеет место неравенство

                                                                                                           (6)

Рассмотрим семейство операторов , где  — тождественный оператор,  — действительный параметр и . Предварительно докажем вспомогательное утверждение.

Лемма 2. Для любого  имеет место неравенство.                                                                                                                                                    (7)

Определим оператор  равенством  и рассмотрим уравнение

                                                                                                                          (8)

Приведем одно вспомогательное утверждение.

Лемма 4. Для любого  имеет место неравенство .

Приводимое ниже утверждение позволит нам заменить исследование краевой задачи (3) исследованием уравнение (8).

Предложение 5. [1]  является решение уравнения (8) тогда и только тогда, когда  является решением задачи (3).

Исследуем свойства оператора .

Лемма 6. Пусть выполнены предположения:

а) функция  удовлетворяет условиям /6А, /, /6Б, /, на множестве ;

б) выполнено неравенство                                            (9)

где , .

Тогда оператор  -коэрцитивен и для любого  имеет место неравенство                                                                                                          (10)

где.

Следствие 7. Пусть выполнены предположения:

а) функция  удовлетворяет условиям /6А, /, /6Б, /, на множестве ;

б) выполнены неравенства (7) и (9).

Тогда все решения задачи (3) удовлетворяют оценке

                                                                                                                  (11)

где .

Теорема 8. Пусть существует такое . что выполнены условия:

а) функция  удовлетворяет условиям /6А, /, /6Б, /, на множестве ;

б) выполнены неравенства (7), (9).

Тогда краевая задача (3) имеет решение , которое удовлетворяет оценке (11).

Доказательство. Ввиду выполнения всех предположений следствия 7 будем доказывать существование решения вспомогательной краевой задачи

                                                                                         (12)

удовлетворяющего оценке (11), где каратеодорева функция  совпадает с  на множестве ,  удовлетворяет условиям /6А, /, /6Б, / на и оператор Немыцкого , определяемый равенством , непрерывен.

Рассмотрим оператор , определенный равенством .

Из леммы 6 следует -коэрцитивность оператора , при этом оператор  обратим (см. лемму 3). Из (9) следует, что . Оператор полу монотонен. Действительно, непосредственно получаем представление                                           (13)

Здесь  монотонен по лемме 6. Оператор  вполне непрерывен, а значит, усиленно непрерывен. Итак, (13) есть представление оператора  в виде суммы монотонного и усиленно непрерывного, т. е. оператор  является полу монотонным.

Итак, выполнены все условия леммы 1, поэтому уравнение  имеет решение , а краевая задача (12) имеет решение , удовлетворяющее оценке (11). Тогда это является решением задачи (3). Доказательство закончено.

Литература:

1.         Азбелев Н. В., Исламов Г. Г. Об одном классе функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. — 1976. — Т. 12. — № 3. — с. 417–427.

2.         Азбелев Н. В., Максимов В. П. Априорные оценки решений задачи Коши и разрешимость краевых задач для уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1979. — Т. 15. — № 10. — с. 1731–1747.

3.         Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов., М., Наука, 1972, — 416 с.

4.         Забрейко П. П., Кошелев А. И., Красносельский М. А. и др. Интегральные уравнения., М: Наука, 1968, — 448, /Сер. «Справочная математическая библиотека»/.

5.         Кигурадзе И. Т., Шехтер Б. Л. Сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. // Современные проблемы математики. Новейшие достижения. — М.: ВИНИТИ, 1987. — Т. 30. — с. 105–201. — /Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР/.

6.         Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. Пер. с англ. А. Ф. Жукова. — М.: Наука, 1988. -304 с.

7.         Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства, ЛКИ, 3 издание, 2008, — 456 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle