Библиографическое описание:

Потёмин Г. В. Дифференциально-геометрические скобки Пуассона третьего порядка в скалярном случае // Молодой ученый. — 2014. — №4. — С. 34-36.

В работе изучены дифференциально-геометрические скобки Пуассона третьего порядка на одномерном многообразии M.

Ключевые слова: скобка Пуассона, метрика, связность, кручение, кривизна

Homogeneous differential-geometric Poisson brackets define a certain geometric structure on manifold . The complete classification of such brackets of the order p=1 and p=2 is known.

The conditions for Poisson brackets of the third order in scalar case are given.

Современные представления о физически осмысленных системах состоят в том, что консервативные системы должны быть гамильтоновы. Однако, как показывают примеры, гамильтонов формализм может быть нетривиальным, не сводящимся к лагранжеву формализму. В основе теоретико-полевого гамильтонова формализма лежит понятие скобки Пуассона. Рассмотрим функциональные пространства, состоящие из -гладких функций , не уточняя их области определения и граничных условий. При этом будем считать, что интеграл по всему пространству от полной производной всегда равен нулю.

Скобка Пуассона определяется для функционалов от полей  Но, следуя принятому в теоретической физике формализму, её удобно записывать через «точечные функционалы», сосредоточенные на одном из полей в одной точке. Для одной пространственной переменной дифференциально-геометрическая скобка Пуассона третьего порядка на многообразии M имеет вид [1]:

         (1)

Здесь коэффициенты  зависят только от координат , но не от их производных. Каждое слагаемое имеет степень однородности три относительно естественной градуировки

  .

Рассмотрим общий случай: . При локальных преобразованиях переменных вида  коэффициенты  преобразуются как компоненты тензора типа (2,0), а величины

преобразуются как компоненты дифференциально-геометрических связностей.

В работах [2], [3] была доказана теорема о том, что «последняя связность»  в скобке Пуассона (1) симметрична и имеет нулевую кривизну. Тогда существует такая система координат, в которой компоненты «последней связности» равны нулю. Такие локальные координаты определены с точностью до аффинных преобразований. В специальных координатах выполнены также условия:

 .

Скобка Пуассона (1) принимает вид:

.                                                                                                          (2)

Коэффициенты в (2) должны удовлетворять условиям:

                                                              (3)

                                                                                                              (4)

                                                                                              (5)

                                                                                       (6)

Скобку Пуассона (1) можно записать тогда в виде:

 .

Условия (3)-(6) выглядят значительно проще для дифференциально-геометрических объектов с нижними индексами :

                                                                                                       (7)

                                                                                                                  (8)

                                                                                                    (9)

                                                                                                      (10)

Отсюда, в частности, следует, что метрика  квадратично зависит от :

.

Тензор кручения , удовлетворяющий соотношениям (7)–(10) и постоянная матрица  полностью определяют невырожденную однородную дифференциально-геометрическую скобку Пуассона третьего порядка. Полная классификация таких скобок для произвольной размерности пока не найдена.

Такие пуассоновы структуры имеют важные и интересные нетривиальные приложения для некоторых нелинейных систем, например, уравнений Монжа-Ампера и уравнений ассоциативности двумерной топологической теории поля [4].

В доказательстве теоремы в работе [2] был пропущен случай N=1, т. е. когда соответствующий гамильтонов оператор является скалярным. Здесь этот пробел будет восполнен.

В скалярном случае скобку Пуассона можно записать:

- функции только переменной u.

Из условия кососимметричности скобки Пуассона получаем такие соотношения вместо (3):

 

                                                                            (11)

Непосредственная проверка тождества Якоби даёт условия вместо (4)-(6):

 и                                                                                       (12)

Тогда из (11) и (12) следует, что:

,  ,  

Окончательно, коэффициенты в скобке Пуассона третьего порядка в скалярном случае получаются:

 ,  ,

где g–произвольная функция от u(x).

Скобка Пуассона (1) в этом случае принимает вид:

Литература:

1.                  Б. А. Дубровин, С. П. Новиков Гидродинамика слабо деформированных солитонных решёток. Дифференциальная геометрия и гамильтонова теория // УМН, 1989, т.44, вып.6, с.29–98

2.                  Г. В. Потёмин Некоторые вопросы дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии в теории солитонов // Диссертация на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук. М.:МГУ, 1991

3.                  Г. В. Потёмин О дифференциально-геометрических скобках Пуассона третьего порядка // УМН, 1997, т.52, вып.3, с.173–174

4.                  E. V. Ferapontov, G. A. P.Galvao, O. I. Mokhov, Y. Nutku Bi-Hamiltonian Structure of Equations of Associativity in 2-d Topological Field Theory // Comm.Math.Phys. 1997, v.186, p.649–669

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle