Библиографическое описание:

Тешаев М. Х., Сайфуллаев С. С. О явной форме сил реакций сервосвязей // Молодой ученый. — 2014. — №4. — С. 66-69.

В работе получены уравнения движения механических систем, стесненных геометрическими и кинематическими сервосвязями, а также рассматриваются вопросы их устойчивости.

Пусть механическая система, положение которой определяется обобщенными координатами q1, …,qn, стеснена неголомными идеальными связями:    

                                                                           (1)

а также сервосвязями вида

                          (2)

Предполагается, что среди возможных перемещений, допускаемых связями (1) имеются такие, определяемые уравнениями:

                                                                (3)

на которых реакции сил реакций связей второго рода работы не производят /1/. Имея в виду параметрическое освобождение системы от сервосвязей /2, 3/ введем дополнительные независимые параметры hр, , соответствующие преобразованию системы с сервосвязями (2) к виду:

               (4)

где hp,  — параметры, характеризирующие освобождение системы от первой и второй групп сервосвязей (2)

Обозначив через Np и Ps принуждения реакций, отнесенные к параметрам hр, , будем предполагать, что последние вынужденно изменяются согласно дифферинциальным уравнениям /3/.

,  (р=1,…,а, =1,…,с)                                                            (5)

С учетом первых групп уравнений (2), (4) вместо обобщенных координат  введем параметры . Соотношениями, тождественно удовлетворяющими уравнениям (1) и второй группе (4) введем скоростные параметры ev /5/:

                                                                                                      (6)

где

и за а+с=к скоростных параметров ev выберем hр, . Тогда уравнения (3) в неголономных координатах будут иметь вид

                                                                                                 (7)

где pn — квазикоордината, соответствующая квазискорости en/5/. Из преобразованного общего уравнения динамики /5/

на (А) — перемещениях (7) получим уравнения движения с множителями сервосвязей:

                                                                                                  (8)

где S — энергия ускорений системы; lq — множители сервосвязей.

Предположим, что все связи, налагаемые на систему, стационарны. Тогда энергия ускорений параметрически освобожденной системы будет иметь вид

,

где [n, m, m]- символы Кристоффеля первого рода /5/.

Записывая последнее выражение в развернутом виде через а квазискоростей ha, с квазискоростей  и n-k-bквазискоростей еk+rиформируя реакция связей второго рода по законам:

где  — положительные постоянные; нолик наверху соответствует невозмущенному движению. Подставляем их в уравнения (8). Далее из п-к-в уравнений полученной системы определяя  и подставляя их в (а+с) уравнений полученной системы, получим уравнения возмущенного движения:

                     (9)

где Aap, Ba,а+б, Сaр, Da,а+б, Еaр, Аа+б,р, Ва+б,а+р, Са+б,р, Dа+б, а+р, Еа+б, р -некоторые функции hр, zб, ек+р. Устойчивость невозмущенного движения hр=0, =0 будем исследовать используя методы исследований устойчивости неустановившихся систем /7/. Эти условия имеют вид

                                                                      (10)

где  — главные диагональные миноры квадратичной формы

Так как eik (i,k=1,…,c1) являются переменными, то для определенной отрицательности (dv/dt), вообще говоря, недостаточно выполнения условий (9). Неравенства Сильвестра должны выполнятся равномерно по всем Xi, t, т. е. следует потребовать выполнения неравенств:

                                                 (11)

Условия (10) и (11) выражают условия асимптотической устойчивости системы (9).

Пример. Рассмотрим задачу о качении без скольжения однородного шара радиуса R по материальной плоскости Р. Сохраняя обозначения ([1], п. 21), будем предполагать, что плоскость Р, на которую действуют силы реакции сервосвязей, имеет массу m1.

На систему, движение которой стеснено связями первого рода

        (12)

должны быть наложены сервосвязи

                                                                                      (13)

Наряду с (13) в системе удовлетворяются соотношения

                                                                                   (14)

где z1×z2 — параметры, характеризующие освобождение системы от сервосвязей (13). Соотношениями

,

,

тождественно удовлетворяющими условиями (12) и (14), введем скоростные параметры . Преобразуя энергию ускорений к этим переменным и составляя уравнения движения в форме (8), получим

,

,

                                                                             (15)

где l1,l2 — силы реакций сервосвязей.

К системе (15) присоединяем уравнения

z1= — К1z12z2, z2= — К3z14z2

где К1, К2, К3, К4 — некоторые постоянные.

Если реакции сервосвязей l1 и l2 формировать по законам:

l1=m2p1 — mw2x — k 1z1– k2z2,l2=m2p2 — mw2h — k 3z1– k4z2

то, поставляя их в (15) относительно z1, z2, получим систему

,                  (16)

где

Так как система (16) представляет собой систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, то условия устойчивости ее нулевого решения z1=0, z2=0 могут быть найдены теоремой Гурвица [6].

Эти условия имеют вид:

Ќ4>0                                                            (17)

Условия (17) показывают, что необходимые и достаточные условия устойчивого осуществления сервосвязей (13) зависят лишь от выбора постоянных Ḱ1, Ḱ2, Ḱ3 и Ќ4..

Литература:

1.   Беген А. Теория гигроскопических компасов. М.Наука, 1967.

2.   Азизов А. Г. Об уравнениях динамики систем с сервосвязями. Научные труды. ТашГУ. 1975. вып. 476.

3.   Азизов А. Г. Прикладные задачи динамики управляемых систем. Учебное пособие, Ташкент, 1980.

4.   Румянцев В. В. О движении некоторых систем с неидеальными связями. Вестник МГУ. Сер. Матем. Механ. 1961.

5.   Лурье А. И. Аналитическая механика. М. Физматгиз. 1961.

6.   Маркен Г. Д. Введение в теорию устойчивости. — М.: Наука, 1987.

7.   Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle