Библиографическое описание:

Хнаев О. А., Данилов А. М. Методы планирования эксперимента в аппроксимации функций многих переменных // Молодой ученый. — 2014. — №4. — С. 295-297.

Приводится практическая реализация методов планирования эксперимента при составлении аппроксимационной модели функций многих переменных.

Ключевые слова:имитаторы динамики полета, аэродинамические коэффициенты функции многих переменных, аппроксимационные модели, методы планирования эксперимента.

При разработке авиационных тренажеров используется таблично-графическое представление функций многих переменных, в частности, аэродинамических коэффициентов [1…4]. Для уплотнения данных можно воспользоваться аппроксимационными моделями. Ниже приводится один из возможных методов аппроксимации с использованием методов планирования эксперимента [5].

Рассмотрим функцию . В результате анализа представленной информации удалось выявить переменные , принимающие только два значения (нижний и верхний уровни; используются индексы «н» и «в» соответственно).

Введем

, , ;

, , ;

, , .

Предполагается:

, ; , ; , ;

, ; , ;, .

Кодированные значения нижних и верхних уровней переменных будут равны , , а для центра эксперимента — .

Будем искать аппроксимационную модель в виде

.

Воспользуемся ортогональной матрицей планирования (вид в натуральных переменных — табл.1). Следствием ротатабельности матрицы является равная точность линейной модели во всех направлениях относительно центра ().

Таблица 1

Матрица планирования

№ опыта

1

0,15

20

0

2

0,4

20

0

3

0,15

35

0

4

0,4

35

0

5

0,15

20

32

6

0,4

20

32

7

0,15

35

32

8

0,4

35

32

В кодированных переменных получим модель вида

,

,

,

Переходя к натуральным переменным, получим

;

,

.

При фиксированных значениях p и n коэффициенты модели будут функциями одной переменной y (табл. 2).

Таблица 2

Значения коэффициентов при p=40 и n=20.

y

0,5

0,7

1,0

1,1

0,0697

0,0620

0,0543

0,0354

0,0100

0,00650

0,0110

0,0380

-0,00063

-0,00036

0,00025

0,0013

0,00033

0,000707

0,00128

0,00136

В дальнейшем после аппроксимации коэффициентов  полиномами Лагранжа была получена модель

,

,

,

,

.

Если полученные модели в выбранных интервалах варьирования факторов окажутся не адекватными, то возможны их уточнения с учетом эффектов взаимодействия (табл.3):

.

Таблица 3

Значения коэффициентов при p=25 и n=20.

y

0,3

0,5

0,8

1,0

0,0368

0,0392

0,0570

0,0840

0,00025

-0,00025

-0,0015

0,0010

-0,00425

-0,00325

-0,0025

0,0015

0,00225

0,00575

0,0125

0,0170

0,00225

0,00225

0,00175

0,0065

0,00075

0,00025

0,00025

0

0,00025

0,00025

0

0,0005

Таким образом, для фиксированных значений p и n по матрицам планирования будет осуществлена аппроксимация функции , как функции четырех переменных.

Если используются полиномы Лагранжа второго порядка, то аппроксимационные модели для случая p=0, n=20 имеют вид:

,

,

,

,

,

,

.

Приведенная методика эффективно использовалась для подготовки баз данных имитаторов динамики полета (уточнение на каждом шаге интегрирования начальных условий задачи Коши при решении уравнений динамики полета методом Рунге-Кутта).

Литература:

1.                 Andreev A. N., Danilov A. M., Klyuev B. V., Lapshin E. V., Blinov A. V., Yurkov N. K. Information models for designing conceptual broad-profile flight simulators / Measurement Techniques. August 2000. — Vol.43. Issue 8. — P.667–672.

2.                 Гарькина И. А., Данилов А. М., Иващенко Н. Ю. Аппроксимация таблично-графически заданных функций: модели аэродинамических коэффициентов / Московское научное обозрение. –№ 3(31). –2013. — С.9–18.

3.                 Данилов А. М., Гарькина И. А., Домке Э. Р. Математическое и компьютерное моделирование сложных систем. — Пенза: ПГУАС, 2011. -296 с.

4.                 Будылина Е. А., Гарькина И. А., Данилов А. М., Сухов Я. И. Некоторые подходы к анализу и синтезу сложных систем / Молодой ученый. — № 10(57). — 2013. — С.105–107.

5.                 Гарькина И. А., Данилов А. М. Прошин А. П., Соколова Ю. А. Планирование эксперимента. Обработка опытных данных: монография. Под ред. проф. А. М. Данилова. — М.: Палеотип. — 2005. — 272 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle