Библиографическое описание:

Атамуратов А. Ж. Численный метод решения уравнения колебаний балки при разных типах граничных условий // Молодой ученый. — 2014. — №2. — С. 7-12.

Рассматривается задача численного решения уравнения колебаний балки при разных типах граничных условий. Для этого был разработан новый численный подход к решению этой задачи, который, несмотря на недостаток в производительности по сравнению с численным методом, основанным на методе редукции, имеет ряд неоспоримых преимуществ.

Ключевые слова: колебания балки, жёсткое, шарнирное и свободное закрепление концов балки.

Введение. Колебания балки описываются гиперболическим по Петровскому уравнением

, ,,,                                                      (1)

где  – длина балки,  – функция из некоторого класса, являющаяся внешним воздействием на процесс колебания балки и может представлять собой управляющую функцию. Начальные возмущения для задачи считаются известными

, .                                                                                   (2)

На концах балки можно наложить разные типы закреплений. В данной работе будут рассматриваться четыре них, а именно, шарнирный (нежёсткий) тип закрепления на обоих концах

, ,                                                                     (3)

жёсткое закрепление на обоих концах

, ,                                                                        (4)

жёсткое закрепление одной стороны и свободный конец с другой стороны

, ,                                                                  (5)

нежёсткое закрепление одной стороны и свободный конец с другой стороны

, .                                                                 (6)

Численный метод решения. Уравнение (1) представим в виде следующей системы

                                                                                                       (7)

Помимо представления (7) часто бывает удобно воспользоваться также следующим разложением

,                                                                                                 (8)

где

                                                                       (9)

Для определения ,  воспользуемся тем фактом, что при симметричной функции , решение уравнения тоже должно быть симметричным. Тогда пусть  и  такие функции, что . В результате из (9) получаем, что значения этих функций определяются следующим образом

,                                                                                (10)

Поэтому окончательное выражение для функции  будет иметь вид

                                                            (11)

В дальнейшем будет рассматриваться система (7), поскольку все выкладки для неё легко перенести и для системы (8).

Далее в рассматриваемой области  введём сетку, для чего зададим натуральные числа  и , и разобьём её на прямоугольные ячейки параллельными прямыми , , , , где  и  являются шагами разностной сетки. Аппроксимируем системы (7) на этой сетке со вторым порядком аппроксимации [3], в результате получим следующую конечно-разностную схему

                                                            (12)

Из (12) возникает вопрос, как мы сможем определить значение на 1-ом слое ( слой при ), если нам необходимо значение функции  на -1 слое. Для этого воспользуемся вторым условием в (2) и аппроксимируем его следующим образом

                                                                                                         (13)

Из (13) следует выражение функции  на -1 слое

                                                                                                  (14)

Таким образом, из первого уравнения системы (12) и выражения (14) для слоя  получается, что

                                           (15)

Далее просто пользуемся схемой (12).

При переходе к системе (7) возникает необходимость определить граничные условия для появившейся функции . Рассмотрим условия (3) – (6) по отдельности.

Для граничных условий (3) получаются следующие соотношения

, , , ,                                                                  (16)

где для функции  условия получаются из второго уравнения в системе (7) и условий на вторые производные в (3).

Для граничных условий (4) получаются следующие соотношения

, ,                                                                                                    (17)

,                                                                                     (18)

,                                                                                   (19)

где для функции  из второго уравнения в системе (7) и условий на первые производные в (4), из которых получаются следующие равенства для сеточной функции , .

Для граничных условий (5) для функций  и  условия определялись выше

, , ,                                                 (20)

кроме значения функции  в точке . Для этого воспользуемся последними условиями в (5) и распишем их в виде конечно-разностных представлений

,                                                           

,                                   

из которых получается, что

                                                                                 (21)

Для граничных условий (6) все значения на границе мы уже определили выше:

, , ,                             (22)

В случае использования системы (8) все граничные условия легко преобразовать с учётом функции .

Начальное условие для функции  будет определяться из первого равенства в (2), а для функции  – из второго уравнения системы (12).

Проверка на устойчивость методом Неймана [3] показала, что схема (12) условно устойчива. Подставив  в однородную систему (12), где  – параметр, а , получается, что условная устойчивость достигается при соотношении [4]

                                                                                                                         (23)

Приведём примеры численного подхода к решению задачи (1)-(6). Для этого будем рассматривать свободные колебания балки при разных граничных условиях. При численном решении будут заданы следующие входные параметры , , , , .

            Пример 1. Рассмотрим однородное уравнение (1), и пусть начальные возмущения задаются как следующие функции , . Тогда процесс свободного колебания  будет иметь вид, указанный на рисунках с 1 по 4, соответственно, для четырёх граничных условия (3) – (6)

      

Рис. 1                                                            Рис. 2

      

Рис. 3                                                            Рис. 4

Пример 2. Рассмотрим однородное уравнение (1), и пусть начальные возмущения задаются как следующие функции , . Тогда процесс свободного колебания  будет иметь вид, указанный на рисунках с 5 по 8, соответственно, для четырёх граничных условия (3) – (6)

      

Рис. 5                                                            Рис. 6

      

Рис. 7                                                            Рис. 8

Пример 3. Рассмотрим однородное уравнение (1), и пусть начальные возмущения задаются как следующие функции , . Тогда процесс свободного колебания  будет иметь вид, указанный на рисунках с 9 по 12, соответственно, для четырёх граничных условия (9) – (12)

      

Рис. 9                                                            Рис. 10

      

Рис. 11                                                                      Рис. 12

Для проверки, что численный метод решения задачи колебаний балки предложенный в данной статье, стремится к точному решению при уменьшении шагов сетки, воспользуемся правилом Рунге исследования сходимости и порядка разностных схем. Суть этого метода следующая, если выполняется следующее соотношение

,                                                                                                          (24)

где , ,  – численные решения задачи (1) – (6) с шагами , соответственно, то можно утверждать, что численный метод сходится к точному решению.

Для проверки будем использовать начальные условия ,  и в качестве точки отсчёта возьмём шаг . Тогда для граничных условий (3) при некоторых значений  и  получатся значения выражения (24), указанные в таблице 1.

Таблица 1

t = 0,1

t = 0,2

t = 0,3

t = 0,4

t = 0,5

t = 0,6

x = 0,1

3,98

3,99

4,03

3,98

3,98

4,06

x = 0,25

3,99

3,98

4,04

3,97

3,99

4,04

x = 0,75

3,99

3,98

4,04

3,97

3,99

4,04

x = 0,9

3,98

3,99

4,03

3,98

3,98

4,06

Нетрудно заметить, что условие (24) достигается.

Ранее уже предлагался численный подход к решению уравнения (1) на основе метода редукции [1, 2]. Предложенный в [1, 2] метод обладает неоспоримым преимуществом, поскольку конечно разностная схема, лежащая в его основе, является безусловно-устойчивой, что делает его быстрым и менее требовательным к ресурсам вычислительной машины. Однако его можно назвать хорошим образцом тех методов, которые используются в промышленных целях, поскольку высокая скорость достигается за счёт трудоёмкой алгоритмизации. В исследовательских целях экспериментаторам может понадобиться более прозрачный алгоритм, который будет позволять более просто вносить различные модификации в саму модель колебания балки. Метод, предложенный в данной статье, является хорошим примером простоты и лаконичности, что позволяет проводить эксперименты более очевидным образом, хотя и за счёт больших требований к ресурсам вычислительной машины.

Заключение. Таким образом, данный метод позволяет при различных типах граничных и начальных условий уравнения (1), получать решение уравнения.

Литература:

1.      Атамуратов А.Ж.., Михайлов И.Е., Муравей Л.А. О гашении колебаний балки. // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. Том 50(1). М.: Изд-во ЛКИ, 2010. С. 53-58.

2.      Атамуратов А.Ж.., Михайлов И.Е., Муравей Л.А. О гашении колебаний сложных механических структур. //Научно-технический журнал. Авиакосмическая техника и технология. Выпуск 4. М.: ИТЭП, 2012. С. 54 – 59.

3.      Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука. 1989. 432 с.

4.      Атамуратов А.Ж. Исследование устойчивости двух конечно разностных схем для численного решения уравнения колебаний балки. // Молодой ученый. №1. 2014. С. 1-7. http://www.moluch.ru/archive/60/8637/

Основные термины: уравнения колебаний балки, решения уравнения колебаний, граничных условий, численного решения уравнения, колебания балки, колебаний прямоугольной мембраны, процесс свободного колебания, разностных схем, граничных условия, второго уравнения, типах граничных, гашения колебаний прямоугольной, типах граничных условий, задачи гашения колебаний, разных типах граничных, следующие функции, начальные возмущения, примере задачи гашения, гашении колебаний балки, задачи колебаний балки

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle