Библиографическое описание:

Атамуратов А. Ж. Численный метод решения уравнения колебаний балки при разных типах граничных условий // Молодой ученый. — 2014. — №2. — С. 7-12.

Рассматривается задача численного решения уравнения колебаний балки при разных типах граничных условий. Для этого был разработан новый численный подход к решению этой задачи, который, несмотря на недостаток в производительности по сравнению с численным методом, основанным на методе редукции, имеет ряд неоспоримых преимуществ.

Ключевые слова: колебания балки, жёсткое, шарнирное и свободное закрепление концов балки.

Введение. Колебания балки описываются гиперболическим по Петровскому уравнением

, ,,,                                                      (1)

где  – длина балки,  – функция из некоторого класса, являющаяся внешним воздействием на процесс колебания балки и может представлять собой управляющую функцию. Начальные возмущения для задачи считаются известными

, .                                                                                   (2)

На концах балки можно наложить разные типы закреплений. В данной работе будут рассматриваться четыре них, а именно, шарнирный (нежёсткий) тип закрепления на обоих концах

, ,                                                                     (3)

жёсткое закрепление на обоих концах

, ,                                                                        (4)

жёсткое закрепление одной стороны и свободный конец с другой стороны

, ,                                                                  (5)

нежёсткое закрепление одной стороны и свободный конец с другой стороны

, .                                                                 (6)

Численный метод решения. Уравнение (1) представим в виде следующей системы

                                                                                                       (7)

Помимо представления (7) часто бывает удобно воспользоваться также следующим разложением

,                                                                                                 (8)

где

                                                                       (9)

Для определения ,  воспользуемся тем фактом, что при симметричной функции , решение уравнения тоже должно быть симметричным. Тогда пусть  и  такие функции, что . В результате из (9) получаем, что значения этих функций определяются следующим образом

,                                                                                (10)

Поэтому окончательное выражение для функции  будет иметь вид

                                                            (11)

В дальнейшем будет рассматриваться система (7), поскольку все выкладки для неё легко перенести и для системы (8).

Далее в рассматриваемой области  введём сетку, для чего зададим натуральные числа  и , и разобьём её на прямоугольные ячейки параллельными прямыми , , , , где  и  являются шагами разностной сетки. Аппроксимируем системы (7) на этой сетке со вторым порядком аппроксимации [3], в результате получим следующую конечно-разностную схему

                                                            (12)

Из (12) возникает вопрос, как мы сможем определить значение на 1-ом слое ( слой при ), если нам необходимо значение функции  на -1 слое. Для этого воспользуемся вторым условием в (2) и аппроксимируем его следующим образом

                                                                                                         (13)

Из (13) следует выражение функции  на -1 слое

                                                                                                  (14)

Таким образом, из первого уравнения системы (12) и выражения (14) для слоя  получается, что

                                           (15)

Далее просто пользуемся схемой (12).

При переходе к системе (7) возникает необходимость определить граничные условия для появившейся функции . Рассмотрим условия (3) – (6) по отдельности.

Для граничных условий (3) получаются следующие соотношения

, , , ,                                                                  (16)

где для функции  условия получаются из второго уравнения в системе (7) и условий на вторые производные в (3).

Для граничных условий (4) получаются следующие соотношения

, ,                                                                                                    (17)

,                                                                                     (18)

,                                                                                   (19)

где для функции  из второго уравнения в системе (7) и условий на первые производные в (4), из которых получаются следующие равенства для сеточной функции , .

Для граничных условий (5) для функций  и  условия определялись выше

, , ,                                                 (20)

кроме значения функции  в точке . Для этого воспользуемся последними условиями в (5) и распишем их в виде конечно-разностных представлений

,                                                           

,                                   

из которых получается, что

                                                                                 (21)

Для граничных условий (6) все значения на границе мы уже определили выше:

, , ,                             (22)

В случае использования системы (8) все граничные условия легко преобразовать с учётом функции .

Начальное условие для функции  будет определяться из первого равенства в (2), а для функции  – из второго уравнения системы (12).

Проверка на устойчивость методом Неймана [3] показала, что схема (12) условно устойчива. Подставив  в однородную систему (12), где  – параметр, а , получается, что условная устойчивость достигается при соотношении [4]

                                                                                                                         (23)

Приведём примеры численного подхода к решению задачи (1)-(6). Для этого будем рассматривать свободные колебания балки при разных граничных условиях. При численном решении будут заданы следующие входные параметры , , , , .

            Пример 1. Рассмотрим однородное уравнение (1), и пусть начальные возмущения задаются как следующие функции , . Тогда процесс свободного колебания  будет иметь вид, указанный на рисунках с 1 по 4, соответственно, для четырёх граничных условия (3) – (6)

      

Рис. 1                                                            Рис. 2

      

Рис. 3                                                            Рис. 4

Пример 2. Рассмотрим однородное уравнение (1), и пусть начальные возмущения задаются как следующие функции , . Тогда процесс свободного колебания  будет иметь вид, указанный на рисунках с 5 по 8, соответственно, для четырёх граничных условия (3) – (6)

      

Рис. 5                                                            Рис. 6

      

Рис. 7                                                            Рис. 8

Пример 3. Рассмотрим однородное уравнение (1), и пусть начальные возмущения задаются как следующие функции , . Тогда процесс свободного колебания  будет иметь вид, указанный на рисунках с 9 по 12, соответственно, для четырёх граничных условия (9) – (12)

      

Рис. 9                                                            Рис. 10

      

Рис. 11                                                                      Рис. 12

Для проверки, что численный метод решения задачи колебаний балки предложенный в данной статье, стремится к точному решению при уменьшении шагов сетки, воспользуемся правилом Рунге исследования сходимости и порядка разностных схем. Суть этого метода следующая, если выполняется следующее соотношение

,                                                                                                          (24)

где , ,  – численные решения задачи (1) – (6) с шагами , соответственно, то можно утверждать, что численный метод сходится к точному решению.

Для проверки будем использовать начальные условия ,  и в качестве точки отсчёта возьмём шаг . Тогда для граничных условий (3) при некоторых значений  и  получатся значения выражения (24), указанные в таблице 1.

Таблица 1

t = 0,1

t = 0,2

t = 0,3

t = 0,4

t = 0,5

t = 0,6

x = 0,1

3,98

3,99

4,03

3,98

3,98

4,06

x = 0,25

3,99

3,98

4,04

3,97

3,99

4,04

x = 0,75

3,99

3,98

4,04

3,97

3,99

4,04

x = 0,9

3,98

3,99

4,03

3,98

3,98

4,06

Нетрудно заметить, что условие (24) достигается.

Ранее уже предлагался численный подход к решению уравнения (1) на основе метода редукции [1, 2]. Предложенный в [1, 2] метод обладает неоспоримым преимуществом, поскольку конечно разностная схема, лежащая в его основе, является безусловно-устойчивой, что делает его быстрым и менее требовательным к ресурсам вычислительной машины. Однако его можно назвать хорошим образцом тех методов, которые используются в промышленных целях, поскольку высокая скорость достигается за счёт трудоёмкой алгоритмизации. В исследовательских целях экспериментаторам может понадобиться более прозрачный алгоритм, который будет позволять более просто вносить различные модификации в саму модель колебания балки. Метод, предложенный в данной статье, является хорошим примером простоты и лаконичности, что позволяет проводить эксперименты более очевидным образом, хотя и за счёт больших требований к ресурсам вычислительной машины.

Заключение. Таким образом, данный метод позволяет при различных типах граничных и начальных условий уравнения (1), получать решение уравнения.

Литература:

1.      Атамуратов А.Ж.., Михайлов И.Е., Муравей Л.А. О гашении колебаний балки. // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. Том 50(1). М.: Изд-во ЛКИ, 2010. С. 53-58.

2.      Атамуратов А.Ж.., Михайлов И.Е., Муравей Л.А. О гашении колебаний сложных механических структур. //Научно-технический журнал. Авиакосмическая техника и технология. Выпуск 4. М.: ИТЭП, 2012. С. 54 – 59.

3.      Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука. 1989. 432 с.

4.      Атамуратов А.Ж. Исследование устойчивости двух конечно разностных схем для численного решения уравнения колебаний балки. // Молодой ученый. №1. 2014. С. 1-7. http://www.moluch.ru/archive/60/8637/

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle