Библиографическое описание:

Емельянов А. А., Кобзев А. В., Козлов А. М., Бесклеткин В. В., Бочкарев Ю. П., Авдеев А. С., Киряков Г. А., Чернов М. В., Габзалилов Э. Ф., Иванин А. Ю. Программирование линейного асинхронного двигателя (Z1 = 6) с трехфазной обмоткой индуктора с нулевым проводом // Молодой ученый. — 2014. — №2. — С. 36-51.

Данная работа является модификацией статьи . Магнитопроводы индуктора и подвижного элемента принимаются такими же, как и в указанной работе. Важным отличием является использование нулевого провода в обмотке индуктора, питаемого от синусоидального трехфазного напряжения. Наличие нулевого провода позволит построить корректную математическую модель системы «АИН ШИМ – ЛАД», которую представим в одной из следующих статей. Несимметрия магнитопровода вызовет несимметрию индуктивных сопротивлений фаз обмоток, индуктора и, следовательно, несимметрию токов по фазам и появлению тока в нулевом проводе. В структуре матриц произойдут существенные изменения в сравнении с , что будет полезным при подготовке студентов к исследовательской работе. Данная работа адресована студентам, поэтому дана без сокращений.

Запишем основные уравнения для «n»-ого участка схемы замещения.

Баланс магнитных напряжений магнитной цепи


Рис. 1. а) Линейный асинхронный двигатель (2р = 2, Z1 = 6); б) Магнитная схема замещения

 – контурные магнитные потоки;

 – магнитные сопротивления воздушных участков;

 – магнитодвижущая сила, созданная статорным током , протекающим по всем проводникам паза ();

 – М.Д.С. тока ротора в стержне ();

– в шунтирующих зонах.

Баланс М.Д.С. для «n»-го участка имеет следующий вид:

.

Отсюда ток в стержне ротора определится по следующему выражению:

.

(1)

Уравнение баланса напряжений электрической цепи ротора

(2)

Выразим производные во времени через конечные разности:

,

где n – номер зубцового деления;

k – номер шага разбиения по времени.

В формуле (2) скорость подвижного элемента принимаем равным  и в пределах «k» интервала считается постоянным.

Производные по пространственной координате «х» выразим через центральные конечные разности:

.

С учетом вышеприведенных замечаний уравнение (2) примет следующий вид:

(3)

Исключим из уравнения (3) токи в роторе. Для этого подставим выражение (1) в уравнение (3) и получим:

(4)

Это уравнение может быть реализовано при произведении матрицы А, элементы которой записаны в квадратных скобках, на матрицу-столбец X, состоящей из потоков (Ф) и токов статорной обмотки. Правая часть уравнения (4) формирует первые четырнадцать элементов матрицы-столбца свободных членовS в (k-1) момент времени. Элементы 15, 16 и 17 строк матрицы А и соответствующие элементы s15, s16 и s17 будут сформированы из баланса напряжений статорной обмотки.

Наконец, последние элементы матриц А и S определятся из баланса токов в трехфазной обмотке соединенной в звезду с нулевым проводом. Матрица-столбец Х сформирована из первых четырнадцати элементов, соответствующих потокам Ф1, … , Ф14, а остальные – токам статорной обмотки iАs, iСs, iВs и i0s.

Общий вид матриц при числе полюсов 2р = 2 и общем числе пазов индуктора (статора) Z1 = 6 приведен на рис.3.

Введем следующие обозначения:

-          Магнитные сопротивления в шунтирующих зонах:

R1 = R2 = R14 = R15 = 500∙Rδ;

R3 = R13 = 50∙Rδ;

R4 = R12 = 5∙Rδ.

-          Магнитные сопротивления в индукторной зоне:

R5 = R6 = … = R11 = Rδ.

-          Элементы матрицы А, перемножаемые на потоки матрицы-столбца Х:


Матрица А

Х

S

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

1

a1,1

a1,2

a1,3

×

x1 = Ф1

=

s1

2

a2,1

a2,2

a2,3

a2,4

x2 = Ф2

s2

3

a3,1

a3,2

a3,3

a3,4

a3,5

x3 = Ф3

s3

4

a4,2

a4,3

a4,4

a4,5

a4,6

a4,15

x4 = Ф4

s4

5

a5,3

a5,4

a5,5

a5,6

a5,7

a5,15

a5,16

x5 = Ф5

s5

6

a6,4

a6,5

a6,6

a6,7

a6,8

a6,15

a6,16

a6,17

x6 = Ф6

s6

7

a7,5

a7,6

a7,7

a7,8

a7,9

a7,15

a7,16

a7,17

x7 = Ф7

s7

8

a8,6

a8,7

a8,8

a8,9

a8,10

a8,15

a8,16

a8,17

x8 = Ф8

s8

9

a9,7

a9,8

a9,9

a9,10

a9,11

a9,15

a9,16

a9,17

x9 = Ф9

s9

10

a10,8

a10,9

a10,10

a10,11

a10,12

a10,16

a10,17

x10 = Ф10

s10

11

a11,9

a11,10

a11,11

a11,12

a11,13

a11,17

x11 = Ф11

s11

12

a12,10

a12,11

a12,12

a12,13

a12,14

x12 = Ф12

s12

13

a13,11

a13,12

a13,13

a13,14

x13 = Ф13

s13

14

a14,12

a14,13

a14,14

x14 = Ф14

s14

15

a15,5

a15,8

a15,15

a15,17

x15 = iАS

s15

16

a16,7

a16,10

a16,16

a16,17

x16 = iСS

s16

17

a17,6

a17,9

a17,15

a17,16

a17,17

x17 = iВS

s17

18

a18,15

a18,16

a18,17

a18,18

x18 = i0S

s18

Рис. 3. Общий вид матриц A, X и S.


-       Элементы матрицы А, перемножаемые на токи матрицы Х:

-       Элементы матрицы-столбца свободных членов S:

Уравнение (4) позволит определить для первых четырнадцати строк элементы матрицы А и с первый по четырнадцатый элементы матрицы-столбца S, для этого последовательно зададимся n:

n = 1.

Запишем элементы матрицы А:

;   .

В правой части сформирован элемент  матрицы-столбца S:

Примечание: вначале матрица А предстанет «пустой» и после каждой операции  определятся постепенно элементы для каждой строки и только в конце всех операций матрица А предстанет перед читателем в том виде как она дана на рис. 3. Но эта «пустая» матрица А уже должна быть подготовлена. Эта «пустая» форма направляет, выступает «организующим началом» по поиску элементов в каждой строке.

При n = 1, как было показано выше, определились элементы первой строки. Найденные коэффициенты вписываем в матрицу А. В дальнейшем становится понятным алгоритм заполнения матрицы.

n = 2.

; ; .

n = 3.

; ; ;

n = 4.

; ; ; ;  

.

Примечание: при подстановке в уравнение (4) n = 5, мы увидим в соответствии с рис. 1, что войдет ток  iСS с отрицательным знаком, в то же время в матрице-столбце Хнет знака «–» , поэтому его необходимо учесть в соответствующем элементе матрицы А.

Аналогично для других фаз, в концах обмоток x, y, z условно принимаем знак «–» и этот знак вводим в соответствующие элементы матрицы А.

n = 5.

; ; ; ;  

n = 6.

; ; ;

n = 7.

; ; ; ;

n = 8.

; ; ; ;

n = 9.

; ; ; ;

n = 10.

; ; ; ; .

n = 11.

; ; ; .

n = 12.

; ; ; ; .

n = 13.

; ; ; .

n = 14.

; ;

Элементы строк 15 и 16 и 17 матрицы А и соответствующие элементы матрицы-столбца S определяются из баланса электрических напряжений обмоток статора.

(5)

где     

                                                                                            (6)

С учетом шага по времени  t  в k-ый момент времени:

                                                (7)

n = 15.

Выразим производные тока , потоков  и  через конечные разности:

Обозначим

Аналогично для строк 16 и 17:

n = 16.

n = 17.

n = 18.

Наконец, сумма токов определяет элементы восемнадцатой строки матрицы А и элемент  матрицы-столбца S.

Окончательно, матрица А примет следующий вид, удобный для программирования в MATLAB (рис.4):




1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

1

B4

C5

D2

2

E4

B5

C6

D1

3

-D3

E5

B6

C7

D

4

-D2

E6

B7

C

D

T

5

-D1

E7

B

C

D

Y

-T

6

-D

E

B

C

D

-T

-Y

T

7

-D

E

B

C

D

-T

T

Y

8

-D

E

B

C

D

-Y

T

-T

9

-D

E

B

C

D

T

Y

-T

10

-D

E

B

C1

D1

-T

-Y

11

-D

E

B1

C2

D2

T

12

-D

E1

B2

C3

D3

13

-D1

E2

B3

C4

14

-D2

E3

B4

15

U

-U

AS

16

U

-U

BS

17

-U

U

CS

18

1

1

1

-1

Рис. 4

Неизвестные переменные (потоки и токи в статорной обмотке) в k-й момент времени определяются в результате следующей операции с матрицами:

X=A-1·S,

Далее, подставляя в уравнение (1) n = 1…14, определяем токи в роторе:

Электромагнитные усилия на зубцовом делении определяются по следующим формулам:

Суммарное усилие: .

Скорость в k-й момент времени:

Математическая модель линейного асинхронного двигателя реализована в программном пакете MATLAB методом Гаусса-Жордана. Ниже приведен пример расчета.

%Математическая модель ЛАД с укладкой статорной обмотки классическим

%способом (z=6) с нулевым проводом

 function lad_z12_6_zero

% Исходные данные асинхронного двигателя

  Rb=0.1003*10^7;

  rs=9.5;

  LsA=0.037;

  LsB=0.038;

  LsC=0.035;

  rr=4.6345*10^-5;

  Lr=0.0372*10^-5;

  dt=0.0012;

  As=rs+LsA/dt;

  Bs=rs+LsB/dt;

  Cs=rs+LsC/dt;

  tz=9.769*10^-3;

  m=1.9;

  v0=0;

  wn=200;

  f=50;

  w=2*pi*f;

  UA=wn/dt;

  Um=310/1.73;

  X=zeros(18,1);

  F=0;

  K=input('Длительность цикла k=');

  for k=1:(K+1)

      v(1,k)=v0;           % Создание вектор-строки для графика скорости

      f(1,k)=sum(F);        % Создание вектор-строки для графика усилия

      Ua=Um*cos(w*(k-1)*dt);

      Ub=Um*cos(w*(k-1)*dt-2*pi/3);

      Uc=Um*cos(w*(k-1)*dt-4*pi/3);

% Формирование матрицы А

  A=zeros(18);

  B=2*Rb*(rr+Lr/dt)+1/dt;

  B1=6*Rb*(rr+Lr/dt)+(-4*Rb)*Lr*v0/(2*tz)+1/dt;

  B2=55*Rb*(rr+Lr/dt)+(-45*Rb)*Lr*v0/(2*tz)+1/dt;

  B3=550*Rb*(rr+Lr/dt)+(-450*Rb)*Lr*v0/(2*tz)+1/dt;

  B4=1000*Rb*(rr+Lr/dt)+1/dt;

  B5=550*Rb*(rr+Lr/dt)+450*Rb*Lr*v0/(2*tz)+1/dt;

  B6=55*Rb*(rr+Lr/dt)+(45*Rb)*Lr*v0/(2*tz)+1/dt;

  B7=6*Rb*(rr+Lr/dt)+(4*Rb)*Lr*v0/(2*tz)+1/dt;

  C=-Rb*(rr+Lr/dt)+(2*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

  C1=-Rb*(rr+Lr/dt)+(6*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

  C2=-5*Rb*(rr+Lr/dt)+(55*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

  C3=-50*Rb*(rr+Lr/dt)+(550*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

  C4=-500*Rb*(rr+Lr/dt)+(1000*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

  C5=-500*Rb*(rr+Lr/dt)+(550*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

  C6=-50*Rb*(rr+Lr/dt)+(55*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

  C7=-5*Rb*(rr+Lr/dt)+(6*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

  D=-Rb*Lr*v0/(2*tz);

  D1=5*D;

  D2=50*D;

  D3=500*D;

  E=-Rb*(rr+Lr/dt)-(2*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

  E1=-5*Rb*(rr+Lr/dt)-(6*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

  E2=-50*Rb*(rr+Lr/dt)-(55*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

  E3=-500*Rb*(rr+Lr/dt)-(550*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

  E4=-500*Rb*(rr+Lr/dt)-(1000*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

  E5=-50*Rb*(rr+Lr/dt)-(550*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

  E6=-5*Rb*(rr+Lr/dt)-(55*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

  E7=-Rb*(rr+Lr/dt)-(6*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

  T=-wn*Lr*v0/(2*tz);

  Y=-wn*(rr+Lr/dt);

  W1=-wn*Lr/dt;

  P=-Rb*Lr/dt;

  Q=(2*Rb*Lr+1)/dt;

  KS=rs+Ls/dt;

  Q1=(6*Rb*Lr+1)/dt;

  Q2=(55*Rb*Lr+1)/dt;

  Q3=(550*Rb*Lr+1)/dt;

  Q4=(1000*Rb*Lr+1)/dt;

  for n=1:3

       A(n+3,n+14)=(-1)^(n+1)*T;

       A(n+4,n+14)=(-1)^(n+1)*Y;

       A(n+5,n+14)=(-1)^n*T;

       A(n+6,n+14)=(-1)^n*T;

       A(n+7,n+14)=(-1)^n*Y;

       A(n+8,n+14)=(-1)^(n+1)*T;

  end;

  for n=1:3

       A(18,n+14)=1;%hh

  end;

       A(18,18)=-1;%jgj

  for n=1:6

       A(n+4,n+4)=B;

       A(n+5,n+4)=E;

       A(n+3,n+4)=C;

  end;

  for n=1:7

       A(n+2,n+4)=D;

       A(n+5,n+3)=-D;

  end;

       A(1,1)=B4;

       A(1,2)=C5;

       A(1,3)=D2;

       A(2,1)=E4;

       A(2,2)=B5;

       A(2,3)=C6;

       A(2,4)=D1;

       A(3,1)=-D3;

       A(3,2)=E5;

       A(3,3)=B6;

       A(3,4)=C7;

       A(4,2)=-D2;

       A(4,3)=E6;

       A(4,4)=B7;

       A(5,3)=-D1;

       A(5,4)=E7;

       A(10,11)=C1;

       A(10,12)=D1;

       A(11,11)=B1;

       A(11,12)=C2;

       A(11,13)=D2;

       A(12,11)=E1;

       A(12,12)=B2;

       A(12,13)=C3;

       A(12,13)=D3;

       A(13,11)=-D1;

       A(13,12)=E2;

       A(13,13)=B3;

       A(13,14)=C4;

       A(14,12)=-D2;

       A(14,13)=E3;

       A(14,14)=B4;

       A(15,5)=UA;

       A(16,7)=UA;

       A(17,9)=UA;

       A(15,8)=-UA;

       A(16,10)=-UA;

       A(17,6)=-UA;

       A(15,15)=As;

       A(16,17)=Bs;

       A(17,16)=Cs;

% Матрица свободных членов

  S=[          Q4*X(1)+P*(        500*X(2));           %1

               Q3*X(2)+P*(500*X(1)+50*X(3));           %2

               Q2*X(3)+P*(50*X(2)+5*X(4));             %3

               Q1*X(4)+P*(5*X(3)+X(5));                %4

      W1*X(15)+Q*X(5)+P*(X(4)+X(6));                   %5

 (-1)*W1*X(16)+Q*X(6)+P*(X(5)+X(7));                   %6

      W1*X(17)+Q*X(7)+P*(X(6)+X(8));                   %7

 (-1)*W1*X(15)+Q*X(8)+P*(X(7)+X(9));                   %8

      W1*X(16)+Q*X(9)+P*(X(8)+X(10));                  %9

 (-1)*W1*X(17)+Q*X(10)+P*(X(9)+X(11));                 %10

               Q1*X(11)+P*(X(10)+5*X(12));             %11

               Q2*X(12)+P*(5*X(11)+50*X(13));          %12

               Q3*X(13)+P*(50*X(12)+500*X(14));        %13

               Q4*X(14)+P*500*X(13);                   %14

      UA*(X(5)-X(8))+Ua;                               %15

      UA*(X(7)-X(10))+Ub;                              %16

      UA*(X(9)-X(6))+Uc;                               %17

      0];                                              %18

% Решение методом Гаусса-Жордана

  Z=rref([A S]);     %Приведение расширенной матрицы к треугольному виду

  X=Z(1:18,19:19);     %Выделение последнего столбца из матрицы

% Ток в роторе

   Ir=[       1000*Rb*X(1)-Rb*(500*X(2));               %1

               550*Rb*X(2)-Rb*(500*X(1)+50*X(3));       %2

                55*Rb*X(3)-Rb*(50*X(2)+5*X(4));         %3

                 6*Rb*X(4)-Rb*(5*X(3)+X(5));            %4

       -wn*X(15)+2*Rb*X(5)-Rb*(X(4)+X(6));              %5

(-1)*(-wn)*X(16)+2*Rb*X(6)-Rb*(X(5)+X(7));              %6

       -wn*X(17)+2*Rb*X(7)-Rb*(X(6)+X(8));              %7

(-1)*(-wn)*X(15)+2*Rb*X(8)-Rb*(X(7)+X(9));              %8

       -wn*X(16)+2*Rb*X(9)-Rb*(X(8)+X(10));             %9

(-1)*(-wn)*X(17)+2*Rb*X(10)-Rb*(X(9)+X(11));            %10

                 6*Rb*X(11)-Rb*(X(10)+5*X(12));         %11

                55*Rb*X(12)-Rb*(5*X(11)+50*X(13));      %12

               550*Rb*X(13)-Rb*(50*X(12)+500*X(14));    %13

              1000*Rb*X(14)-Rb*(500*X(13))];            %14

% Электромагнитное усилие      

  F(1)=X(2)*Ir(1)/(2*tz);

  for n=1:12

      F(n+1)=(X(n+2)-X(n))*Ir(n+1)/(2*tz);

  end;

  F(14)=-X(13)*Ir(14)/(2*tz);

% Скорость

  v0=v0+(sum(F)/m)*dt;

  end;

% Построение графиков

  k=0:K;

  subplot(2,1,1);

  plot(k*dt,v);

  title('Скорость');

  xlabel('t,c');

  ylabel('v,m/c');

  grid on;

  subplot(2,1,2);

  plot(k*dt,f);

  title('');

  xlabel('t,c');

  ylabel('F,H');

  grid on;

  end

Временные зависимости скорости и электромагнитного усилия линейного асинхронного двигателя в режиме прямого пуска, полученные на математической модели, представлены на рис.4.

Рис.4. Результат моделирования линейного асинхронного двигателя в режиме прямого пуска

Литература:

1.         Емельянов А.А., Медведев А.В., Кобзев А.В., Козлов А.М., Бесклеткин В.В., Авдеев А.С., Киряков Г.А., Чернов М.В., Габзалилов Э.Ф., Иванин А.Ю. Программирование линейного асинхронного двигателя с числом пазов в индукторе равном шесть // Молодой ученый. – 2013. – №10. – С. 23-38.

2.         Ануфриев И.Е. и др. MATLAB 7 / Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н.. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 1104 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle