В работе изучается задача продолжения решения линейных систем эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами в области 
по ее известным значениям 
на гладкой части 
границы 
т.е. задача Коши для решения линейных систем эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами.
В работе строится семейство вектор функций 
зависящих от параметра 
, и доказывается, что при некоторых условиях и специальном выборе параметра 
семейство 
сходится в обычном смысле к решению 
в точке 
при 
. Семейство 
называется регуляризованным решением задачи Коши по М.М. Лаврентьеву.
Решение задачи Коши для эллиптической системы уравнений Коши-Римана впервые получил Т. Карлеман. Карлеманом была предложена идея введения в интегральную формулу Коши дополнительную функцию, зависящей от положительного числового параметра и позволяющей путем предельного перехода погасить влияние интегралов по части границы, где значения продолжаемой функции не заданы. Идею Карлемана развили Г.М. Голузин и В.И. Крылов, которые нашли общий способ получения формул Карлемана для одномерной системы уравнений Коши-Римана. А.Н. Тихонов показал, что если решение какой–либо некорректной задачи существует и принадлежит компактному подмножеству соответствующего функционального пространства, то из единственности следует устойчивость решения. Вопросы единственности и устойчивости решения задачи Коши для эллиптических уравнений были исследованы Т. Карлеманом, А. Дуглисом , М.М.Лаврентьевым, Е.М. Ландисом, Ш. Ярмухамедовым , Н.Н. Тархановым, А.А. Шлапуновым и др.
Основываясь на результатах Карлемана и Голузина–Крылова, М.М.Лаврентьев ввел важное понятие функции Карлемана для одномерной системы уравнений Коши–Римана и уравнения Лапласа. Функция Карлемана задачи Коши для уравнения Лапласа – это фундаментальное решение, зависящее от положительного числового параметра, стремящегося к нулю вместе со своей производной по нормали на части границы области вне носителя данных Коши, когда параметр стремится к нулю. М.М.Лаврентьев указал способ построения регуляризации некорректной задачи Коши для уравнения Лапласа, если известна функция Карлемана. Функция Карлемана для уравнения Лапласа в явном виде была построена в работе Ш. Ярмухамедова.
Пусть, 
ограниченная область в 
,граница которой состоит из части плоскости 
и некоторой гладкой поверхности 
, лежащей в полупространстве 
.
Пусть, 
и 
точки т- мерного Евклидового пространства , 
и 
транспонированный вектор х.
Введем следующее обозначения:
,
.
– диагональная матрица, 
– площадь поверхности единичной сферы 
.
Через 
обозначим класс матриц 
, сэлементами состоящими из линейных форм с постоянными коэффициентами из 
С которые удовлетворяет условию:
где 
– сопряженная матрица к 
.
В области 
рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида:
(1)
где 
Если 
и является решением системы (1), тогда верно следующее интегральное представление:
, (2)
где
– единичная внешняя нормаль, проведенная в точке 
на поверхности 
Интегральная формула (2) доказано в работе [1]. Формула (2) также верна, если вместе 
подставим функцию вида:
(3)
где 
гармоническая функция при 
Функция 
определяется по следующим формулам:
,если 
(4)
, если 
(5)
где 
Обозначим
.
Тогда интегральная формула имеет вид:
(6)
Постановка задача. Пусть 
удовлетворяет системе (1) в области 
и
(7)
Требуется восстановить вектор – функцию в 
используя данные Коши.
Рассматривается нами задача относятся к некорректно – постановлением задачам, т.е. решение задача неустойчиво. Используя методику проведенную в работе [3], докажем следующее:
Теорема 1.Пусть вектор – функция 
удовлетворяет системе (1), а также граничному условию 
на 
. Если
,
то верна следующая оценка:
(8)
где 
– некоторая функция от 
,
Доказательство. Формулу (6) представим в виде
Тогда
состоит из комбинаций интегралов типа:
.
Следуют оценки интегралов этих типов. Доказательство теоремы сначала приводим в случаи когда 
При этом функцию 
запишем в виде
Отделяя мнимую часть функции 
получим:
, (9)
где
. (10)
Используем формулу Лейбница в (10) получим:
(11)
где 
– коэффициенты бинома.
В дальнейшем используем неравенствами при 
, 
при 
при 
при (12)
при 
при 
В каждом неравенстве (12) 
– постоянные различные. В этих неравенствах условие 
можно заменить условием 
.
Оценивая (11) при 
пользуясь неравенствами (12) получим:
Оценим интегралы типа 
.
Для этого находим производную от (11) по 
:
(13)
Учитывая неравенства (12), из (13) получим следующие оценки:
,
Используем следующие формулы:
(14)
Оценим 
. При этом
(15)
Учитывая неравенства (12) и оценивая (15), получим следующее неравенство:
При 
теорема доказано. Теперь теорему докажем при условиях 
.
При этом функции 
определим из (4), где
Отделяя мнимую часть функции 
получим:
,
где 
.
Теперь функция 
определим следующим образом:
(16)
Используем неравенства (12) и рассуждая аналогично как в случае четно- мерного пространства, получим из (16) доказательство теоремы.
Следствие 1. Предельное равенство
выполняется равномерно в любом компакте из .
Пусть 
вектор- функция, удовлетворяющая в области системе (1), и непрерывна в области 
, а также 
, тогда верно следующее неравенство
где, 
Верна следующая теорема:
Теорема. 2. Пусть вектор функция 
удовлетворяет системе (1), 
непрерывные приближения на , т.е. 
если 
то верно 
где
, 
, 
Доказательство. Используем интегральную формулу (6)
Учитывая утверждение теоремы 1 и неравенства
а также полагая 
, получим утверждение теоремы 2.
Из этой теоремы следует:
Следствие 2: Предельное равенство
выполняется равномерно на каждом компакте из G.
Литература:
1. Н.Н. Тарханов. Об интегральном представленном решений систем линейных дифференциальной уравнений первого порядка в частных производных и некоторые приложениях. Некоторые вопросы многомерного комплексного анализа. Красноярск –1980, стр. 147- 160.
2. М.М. Лаврентьев. О некоторых некорректных задачах математического физики. Изд. СО АН СССР Новосибирск, 1962 г.
3. Ш.Ярмухамедов. Интегральных представления гармонических функций многих переменных. ДАН СССР, Т.204, № 4, 1972, 799-802 стр.
4. Ш.Ярмухамедов, А. Абдукаримов, З. Маликов. О задачи Коши для системы эллиптического типа первого порядка. Докл. Росс. Акад. Наук. Том 323 (1992) №1.
