Библиографическое описание:

Мардиев Р., Тошева Н. А. Об n (d)-нормальности сингулярных интегральных операторов со сдвигом в обобщенных пространствах Гёльдера // Молодой ученый. — 2014. — №2. — С. 24-26.

Пусть  — замкнутая Жорданова спрямляемая кривая, - диаметр , - сохраняющий ориентацию гомеоморфизм (сдвиг)  на себя имеющий непустое множество  периодических точек.

В соответствии с [1] в качестве характеристики контура  и непрерывных на  функций введем следующие функции

.

В дальнейшем предполагается, что

.

Обозначим через  класс неотрицательных функций  заданных в промежутке  и удовлетворяющих условиям (см., например, [2]):

a)  является модулем непрерывности

b)

Каждой функции  сопоставляется обобщенное пространство Гёльдера , состоящее из комплексных непрерывных на  функции  с конечной нормой

Очевидно, - Банахова алгебра.

Предположим, что сдвиг удовлетворяет условия: функция

 определена на  и отлична от нуля. Как известно (см. например, [3]. с 24), точки  имеют одинаковые периоды . Кроме того, при данных условиях функция  дифференцируема, ее производная  и  для всех .

В пространстве , , рассмотрим оператор

                                                                                                           (1)

где , функции , - тождественный оператор, - оператор сдвига: ,

, .                                                       (2)

В работе используются следующие обозначения: , где - непрерывная функция в ,  — замыкание множества всех точек , в которых ;

; ; ;

; ;

; ; ;

; ;

;

.

- может быть бесконечное, конечное и пустое множество. Отметим, что в периодических точках .

В работе ([4]) получен критерий односторонней обратимости оператора  в пространствах  и . В данной работе устанавливаются критерии - нормальности операторов  в пространствах . (Оператор  называется - нормальным, если его образ замкнут и конечномерны ядро (коядро)). Отметим, что оператор([6].c 195)

 - нормален тогда и только тогда, когда - нормалны операторы  и . Таким образом, достаточно доказать теоремы для оператора , где - оператор имеет вид , .

Теорема 1. Оператор  - нормален в пространстве  тогда и только тогда, когда оператор  обратим слева (справа) в .

Доказательство теоремы опирается на следующие леммы.

Лемма 1. Если , то оператор  обратим слева (справа) в пространстве тогда и только тогда, когда оператор  - обратим слева (справа) в пространстве  и выполняются условия

Лемма 2. Если являются сдвигом Карлемана, то есть , то оператор односторонне обратим в пространстве  тогда и только тогда, когда оператор  обратим в , т. е. , .

Доказательств этих двух лемм аналогично доказательству соответственно леммы 10.2 и леммы 10.3 работу [6].

Доказательство теоремы. Достаточность. Доказательство проведем для случая -нормальности оператора .(случай -нормальности рассматривается аналогично)

Пусть оператор  обратим слева в .Тогда согласно лемме 1 и лемме 2 выполняется условие , . Следовательно, обратимость слева  в  где  конечное покрытие множеств , концы которых лежат в ,  при , , эквивалентна обратимости слева  в . С другой стороны легко заметить, что  где  и пространства  и  являются инвариантными относительно оператора .

Так как обратимость слева оператора  в  эквивалентна обратимости слева  в , то отсюда получаем, что оператор  обратим слева в пространстве

.

В  определим проектор формулами

,

если  неоднотогечно, и , если . Так как  то . Отсюда, так как -конечное множество, получаем что оператор где - соответствующий обратный к  в , является соответствующим односторонним регуляризатором оператора . Достаточность доказано.

Необходимость доказывается аналогично доказательству теоремы 13.1. работы [6]

Из этой теоремы и из теоремы-2 в работе [4] вытекает.

Теорема 2. Оператор  -нормален в пространстве , тогда и только тогда, когда ,

и

, ,  при ,  при

(Соответственно, , ,  при , при )).

Литература:

1.         А. И. Гусейнов, Х. Ш. Мухтаров Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений.-М.:Наука-1980

2.         Б. Турсунқулов О вполне непрерывных операторах в обобщенных Гёльдеровских пространствах. Докл.АН УзССР, 1982 № 12,стр.4–6

3.         Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. — М.: Наука 1977

4.         Р.Мардиев, Б. М. Турсункулов, Н. А. Тошева. Об обратимости функционалных операторов со сдвигом в обобщённых пронстранствах Гёлдера. ТАТУ. Материалы научно-практической конференции. Часть II. Сам. 2013 й.

5.         И.И Гохберг, Н. Я. Крупник Введение в теорию одномерных сингулярных операторов Кишинев.: Штиница 1973

6.         Р.Мардиев Нормально разрешимые сингулярные интегральные операторы с некарлемановским сдвигом, имеющим непустое множество периодических точек. Дис. Канд. Физ-мат. Наука. Самарканд, 1988 г

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle