Библиографическое описание:

Расулова З. Д., Хамроева Х. Ю. Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением // Молодой ученый. — 2014. — №2. — С. 27-29.

Пусть  комплексное гильбертово пространство и  линейный оператор с областью определения . Множество

.

называется числовым образом оператора . Из определения видно, что множество  является подмножеством комплексной плоскости и геометрические свойства множества  дает некоторые информации об операторе .

Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов в изучении местоположения спектра таких операторов. Это понятие впервые введено в работе [1] и доказано, что числовой образ матрицы содержит все ее собственные значения. В работе [2] показано, что числовой образ оператора является выпуклым. Отметим, что выше сказанные результаты верны не только для матриц, но и в более общем случае для любого линейного ограниченного оператора. В работе [3] доказано, что спектр любого линейного ограниченного оператора содержится в замыкании числового образа этого оператора. Вслед за этим это понятие обобщено разными способами, см. например [4–7].

В данной работе рассматривается линейный ограниченный самосопряженный модель Фридрихса с одномерным возмущением. Найден явный вид числового образа этого оператора.

Для полноты сначала приведем ряд основных свойств числового образа линейного оператора (вообще говоря несамосопряженного) , доказательство которых вытекает непосредственно из определения. Обозначим через  и  — множество всех вещественных и комплексных чисел, соответственно. Всюду в работе под  и  понимается скалярное произведение и норма в соответствующих гильбертовых пространствах.

1)     Если  ограниченный оператор, то ;

2)     ;

3)     . Если  и  произвольные комплексные числа, то имеет место

;

4)     Для самосопряженного оператора  имеет место соотношение ;

5)     Если  конечномерное пространство, то множества  является компактным;

6)     Если  унитарно эквивалентные операторы, то ;

7)     , где  точечный спектр оператора ;

Определим (см. [8]) аппроксимативно точечный спектр линейного оператора  как

.

Подчеркнем, что последнее множество имеет еще одно название, «ядро спектра» оператора  (см. [9]).

Следующее утверждение устанавливает связь между  и :

8)     .

Теперь перейдем к постановку задачи и обсуждение основного результата.

Пусть  — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

Рассмотрим модель Фридрихса  действующего в гильбертовом пространстве  по формуле

,

где операторы  и  определяются равенствами

.

Здесь  — вешественнозначная непрерывная функция на .

Можно проверить, что при этих предположениях оператор  является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве .

Обозначим через ,  и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Оператор возмущения  оператора  является одномерным самосопряженным оператором. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля [8] о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора  совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что

. Из последних фактов следует, что .

Определим регулярную в  функцию (детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором )

.

Установим связь между собственными значениями оператора  и нулями функции .

Лемма 1. Оператор  имеет собственное значение  тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Пусть число  — есть собственное значение оператора  и пусть  — соответствующая собственная функция. Тогда  удовлетворяет уравнению  или

.                                                                 (1)

Для любых  и  имеет место соотношение .

Из уравнения (1) для  имеем

,                                                                                                      (2)

где

.                                                                                                     (3)

Подставляя выражение (2) для  в равенство (3) получим, что уравнений (1) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда . Лемма 1 доказана.

Согласно леммы 1 функция  обладает характеристическим свойством определителя Фредгольма. По этой причине мы назовём её определителем Фредгольма, ассоциированный с оператором .

Из леммы 1 вытекает, что

.

Таким образом

.

Теперь сформулируем основной результат работы.

Теорема 1. Пусть . Тогда числовой образ оператора  совпадает с множеством , где  единственный простой отрицательный собственный значений оператора .

Доказательство. Сначала отметим, что функция  дифференцируема в полуосях  и , и для любого  имеет место соотношение

.

Следовательно, функция  монотонна убывает в полуосях  и . Так как  при всех , в силу леммы 1 оператор  не имеет собственных значений в . Исследуем отрицательных собственных значений оператора .

Из разложения

вытекает, что существуют положительные числа  и  такие, что

.

Так как непрерывная функция  удовлетворяет условию , существуют положительные числа  и  такие, что

.

Тогда пологая  имеем, что

.

Следовательно,

.

Так как функция  монотонно убывает в , последнее означает, что функция  имеет единственный простой отрицательной нуль . В силу леммы 1 число  является собственным значением оператора .

Пусть  нормированная собственная функция оператора  соответствующего собственному значению . Тогда

,

т. е. .

Ясно, что . Покажем, что . Допустим противное. Пусть . Тогда существует функция  такое, что  и . В этом случае имеем, что

.

Последнее равенство выполняется тогда и только тогда, когда . Это противоречить условия нормировки функции . Значить . Теорема 1 доказана.

В ходе доказательство теоремы 1 доказано, что , где  — единственной простой отрицательной собственной значение оператора , и . Поэтому , но   и .

Литература:

1.         O. Toeplitz. Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejer // Math. Z., 2:1–2 (1918), 187–197.

2.         F. Hausdorff. Der Wertvorrat einer Bilinearform // Math. Z., 3:1 (1919), 314–316.

3.         A. Wintner. Zur Theorie der beschrankten Bilinearformen // Math. Z., 30:1 (1929), 228–281.

4.         H. Langer, A. S. Markus, V. I. Matsaev, C. Tretter. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range // Linear Algebra Appl., 330:1–3 (2001), 89–112.

5.         L. Rodman, I. M. Spitkovsky. Ratio numerical ranges of operators // Integr. Equ. Oper. Theory, 71 (2011), 245–257.

6.         M. T. Heydari. Numerical range and compact convex sets // Rend. Circ. Mat. Palermo, 60 (2011), 139–143.

7.         W.-S. Cheung, X. Liu, T.-Y. Tam. Multiplicities, boundary points and joint numerical ranges // Operators and Matrices. 5:1 (2011), 41–52.

8.         М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов, М.: Мир. 1982, 430 с.

9.         М. Саломяк, М. Бирман. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, Изд. Ленинградского университета, Ленинград, 1980, 264 c.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle