Библиографическое описание:

Ибраев Ш. Ш., Айтбаева А. Е., Тажибаева А. С. Эквивалентность обычной и ограниченной второй когомологий простых модулей классических модулярных алгебр Ли // Молодой ученый. — 2014. — №1.2. — С. 1-2.

Пусть  – простая односвязная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем  характеристики ,  – ядро отображения Фробениуса для  и  – алгебра Ли группы .  В категории ограниченных модулей теория представлений  и теория представлений алгебры Ли   эквивалентны [1; часть I, п. 9.6]. Следовательно, когомология ограниченного модуля для  и соответствующая ограниченная когомология алгебры Ли  также эквивалентны. Ограниченная когомология ограниченной алгебры Ли для ограниченного модуля была введена Хохшильдом в [2]. В этой же работе была построена точная последовательность, устанавливающая связь между ограниченной и обычной когомологиями алгебры Ли, а также изучены свойства начальных членов этой последовательности. В частности, установлено эквивалентность первой обычной и первой ограниченной когомологий ограниченной алгебры Ли. Для второй когомологии это утверждение же неверно. Однако известные примеры классических алгебр Ли малых рангов показывают, что в этих случаях вторые ограниченные и обычные когомологий простых ограниченных нетривиальных модулей совпадают.  В данной работе доказывается, что, если соответствующая первая группа когомологии тривиальна, то последнее утверждение распространяется для всех классических алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем положительной характеристики.

Теорема 1. Пусть – классическая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем  характеристики . Предположим, что для алгебры Ли типа  . Если   и , то .

Доказательство. Для всех  справедлива следующая точная последовательность Хохшильда:

        .  (1)

Если  и все условия теоремы 1 выполнены, то ,  и  из точной последовательности (1) получаем следующую короткую точную последовательность -модулей:

                               .

Все нетривиальные случаи когомологии   подробно изучены в работах  [3], [4].

Если  и все условия теоремы 1 выполнены, то очевидно, что  и из точности последовательности (1) следует требуемый изоморфизм теоремы 1. Доказательство теоремы 1 завершено.

Если , то вероятнее всего утверждение теоремы 1 также выполняется, но доказать это пока не удается.  Для когомологии индуцированного модуля  в работах  [5], [6] получена следующая замечательная формула, справедливая для ,     

                     (2)

где  – максимальная нильпотентная подалгебра алгебры Ли группы , соответствующая отрицательным корням,  – симметрическая алгебра на ,  –  длина элемента .  Формальных характеров -модуля  можно вычислить по формуле

                         ,            (3)

где  – размерность -весового подпространства пространства .

Для вычисления , где , можно использовать следующий алгоритм:

1) Вычислить .

2) Если , то по принципу связанности для  .

3) Пусть . Отношение сильной связанности, введенное Андерсеном  в [7], является отношением эквивалентности на множестве  и делит это множество на эквивалентные классы, сильно связанных с друг другом элементов. Число эквивалентных классов равно порядку  фундаментальной группы  системы корней . Согласно [7], элементов каждого эквивалентного класса можно упорядочить по обычному частичному порядку. Так как эквивалентные классы не пересекаются, то  принадлежит только одному из этих классов, т.е. .  Предположим, что он упорядочен по возрастанию и  для некоторого .  Рассматривая длинные точные когомологические последовательности -когомологии, соответствующие  коротким точным последовательностям

                               ,                     

и используя общую формулу Андерсена-Янцена (2), формулу формальных характеров (3), индуктивно по  и по  можно вычислить когомологии . Тогда .

Литература:

1.      J.C. Jantzen. Representations of algebraic groups. – Boston: Pure and Applied Mathematics, Vol. 131. - 1987. - 446 p.

2.      G. Hochschild. Cohomology of restricted Lie algebras // Amer. J. Math. - 1954. - Vol. 76. - P. 555-580.

3.      W.L.J. van der Kallen. Infinitesimally central extensions of Chevalley groups, Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1973.

4.      Ш.Ш. Ибраев. О центральных расширениях классических алгебр Ли  // Сиб. электрон. матем. изв. – 2013. – Т. 10. – С. 450-453.

5.      Andersen H.H., Jantzen J.C. Cohomology of induced representations for algebraic  groups // Math. Annal. - 1984. - Vol. 269. - P. 487-525.

6.      Kumar S., Lauritzen N., Thomsen J. Frobenius splitting of cotangent bundles of flag varieties // Invent. Math. - 1999. - Vol. 136. - P.603-621.

7.      Andersen H.H. The strong linkage principle // J. Reine Anew. Math. - 1980. - Vol. 315. - P. 53-59.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle