Математическое моделирование композитов по экспериментальным данным

Предварительно рассмотрим задачу определения аналитических зависимостей по экспериментальным данным в общей постановке. Пусть результатом измерения физической величины, находящейся при проведении всей серии измерений в неизменном состоянии, является ряд чисел , - среднее арифметическое наблюдённых значений (ошибки измерений:  …, ; A- истинное значение измеряемой величины).

Если наиболее вероятным значением искомой величины A принять , то законом распределения случайных ошибок будет нормальный закон Гаусса с плотностью вероятностей

,

где m —         математическое ожидание;

s – среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

В соответствии с теоремой Чебышева при достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое  наблюдённых значений случайной величины X сходится по вероятности к её математическому ожиданию m (при бесконечно большом числе измерений истинное значение измеряемой величины A будет равно среднеарифметическому значению  результатов всех произведённых измерений). Предполагается, систематические погрешности отсутствуют. Если измеряемая величина за время измерений меняется вследствие непостоянства другой величины, связанной с ней, то и в этих случаях будет наблюдаться статистический разброс, приводящий к случайным погрешностям (разброс будет уже проходить не относительно неизменного «истинного», или среднего значения измеряемой величины, а относительно изменяющегося «истинного значения»).

Установление эмпирической зависимости  сводится к проведению по данным экспериментальным точкам некоторой кривой (не ломаной), которая проходила бы как можно ближе к истинной функциональной зависимости.

Значению аргумента  соответствует истинное значение измеряемой величины , а в результате измерения вместо  получим случайную величину . Так как ошибки измерения величины  распределены по нормальному закону с математическим ожиданием, равным, и со средним квадратическим отклонением  (характеризует ошибку измерения), то случайная величина будет распределена по нормальному закону:

, ().

Таким образом, в результате ряда измерений произошло следующее событие B: случайные величины () приняли совокупность значений . Тогда установление эмпирической зависимости  сводится к подбору математических ожиданий случайных величин , равных , чтобы вероятность события B была максимальна (принцип максимального правдоподобия). Оказывается, если точность измерения при всех  одинакова и равна s, то, для того чтобы совокупность наблюдённых значений была наивероятнейшей, нужно выбрать функцию  так, чтобы сумма квадратов отклонений наблюдённых значений  от  была минимальной:

.

Способ согласования кривой  и экспериментальных точек, при котором выполняется это условие, носит название метода наименьших квадратов.Если из соображений, связанных с существом изучаемого явления или просто с внешним видом наблюдённой зависимости (расположения точек  на плоскости), выбран общий вид функции , зависящий от нескольких числовых параметров , и требуется выбрать  так, чтобы выполнялось условие

,

то значения определятся из условий:

или

.

Составление и решение этой системы упрощается в случае, когда функция  линейна относительно параметров. Тогда справедливо:

;

...

.

; ;...; .

В частном случае при сглаживании полиномом  коэффициенты  определятся из системы уравнений:

;

;

…

.

Рассмотренный подходиспользовалсядля установления связи между коэффициентами пластичности k_пл и структуры k_стр эпоксидных композитов (табл.1). Из расположения экспериментальных точек на плоскости при определении аналитической зависимости ограничились линейной зависимостью

k_стр = a₀ + a₁ k_пл, (=k_пл, = k_стр).

Таблица 1

kпл	0,08	0,43	0,47	0,51	0,52	0,6	0,7	0,9	0,93	1,4
kстр	16,1	13,2	14,8	14,2	13,8	14,2	7,8	14,5	15	5,4

Искомая зависимость определилась в виде

;

возможность ограничиться линейной корреляционной связью между k_стр и k_пл следует из = — 0,68.

 

Рис.1.

Так же определялась зависимость влияния содержания водорода H [вес. ч.] в бетоне на толщину [см] защиты при расчёте, исходя из допустимой дозы излучений синхроциклотрона X_д, допустимого потока X_п при кратности ослабления 10⁷ раз и плотности бетона 2350 кг/м³ (табл.2).

Таблица 2

H, вес. ч.	0,1	0,35	0,61	0,81	1,09
Xд, см	1005	991	983	980	975
Xп, см	1133	1095	1077	1069	1060

Здесь линейная интерпретация дает большую погрешность. Поэтому были определены параметры квадратичной зависимости X_д от H. В соответствии с предыдущим была получена следующая искомая аналитическая зависимость в виде:

.

Для получения аналитических зависимостей часто используются и методы математического планирования эксперимента (полно- и дробно-факторные планы эксперимента, позволяющие получить интерполяционные полиномы во всем рассматриваемом факторном пространстве или его локальной области при существенном сокращении числа опытов в эксперименте).

Литература:

1.                 Будылина Е. А., Гарькина И. А., Данилов А. М., Махонин А. С. Основные принципы проектирования сложных технических систем в приложениях / Молодой ученый. -2013. -№ 5. С. 42–45.

2.                 Будылина Е. А., Гарькина И. А., Данилов А. М., Пылайкин С. П. Подходы к многокритериальности сложных систем / Молодой ученый. -2013. -№ 6. С. 40–43.

3.                 Данилов А.М, Гарькина И. А. Методология проектирования сложных систем при разработке материалов специального назначения // Известия ВУЗов. Строительство, 2011 г. — № 1. — С.80–85.

4.                 Будылина Е. А., Гарькина И. А., Данилов А. М., Сухов Я. И. Некоторые подходы к анализу и синтезу сложных систем / «Молодой ученый. — № 10(57), 2013. — с.105–107.

5.                 Будылина Е. А., Гарькина И. А. Данилов А. М. Моделирование с позиций управления в технических системах / Региональная архитектура и строительство. № 2(16). 2013. — C. 138–143.

6.                 Гарькина И. А., Данилов А. М. Управление в сложных технических системах: методологические принципы управления / Региональная архитектура и строительство, № 1 (12), 2012. — С.39–43