Библиографическое описание:

Расулова З. Д. Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса // Молодой ученый. — 2013. — №12. — С. 18-20.

Настоящая статья является продолжением работы [1], где рассматривается обобщенная модель Фридрихса  с возмущением ранга не более чем 4, и найдены явный вид существенного и дискретного спектра этого оператора. Там также установлено, что оператор  имеет не более чем четыре (с учетом кратности) собственных значений вне существенного спектра. В данной работе мы продолжим изучать спектральных свойств оператора , точнее, описываем строение резольвенты оператора  и задача состоит в обосновании этих описаний. При этом используется правило Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными. Заметим, что обобщенная модель Фридрихса  ассоциировано с системой не более чем двух частиц на решетке. Известно, что некоторые актуальные задачи, в частности, задачи квантовой механики, статистической механики и гидродинамики сводятся к исследованию спектральных свойств обобщенной модели Фридрихса [2,3]. Поэтому изучение резольвенты таких операторов играют важную роль в современной математической физике.

Пусть - -мерный тор, т. е. куб  — с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе  рассматривается как абелева группа в котором операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в  по модулю . Здесь через  и  обозначены множество всех вещественных и целых чисел, соответственно.

Пусть  — одномерное комплексное пространство, а  — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на . Обозначим через  прямую сумму пространств  и , т. е. . Пространство  и  называется нолчастичном и одночастичном подпространством фоковского пространства  над , соответственно.

Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса  действующую в гильбертовом пространстве  как  блочно операторная матрица

,

где матричные элементы  определяются по правилам

.

Здесь  - фиксированное вещественное число,  и  вещественно-непрерывные функции на , а  сопряженный оператор к .

При этих предположениях оператор  является ограниченным и самосопряжённым в гильбертовом пространстве . Надо отметить, что по определению пространства  всякий линейный ограниченный оператор в этом пространстве всегда записывается как  блочно операторная матрица.

Обычно оператор  называется оператором уничтожения, а оператор  называется оператором рождения [4].

Обозначим через ,  и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Прежде всего дадим краткое информации о спектре оператора . В работе [1] доказано, что , где числа  и  определяются следующим образом:

.

Определим регулярную в  функции

.

Очевидно, что функция  является определителем симметричной матрицы, поэтому нули этой функции являются вещественными. Как было показано в работе [1] для дискретного спектра самосопряженного оператора  имеет место равенство

.

Учитывая выше сказанные фактов для спектра оператора  имеем

.

Теперь переходим к построению резольвенты обобщенной модели Фридрихса . Для  и  положим

;

;

.

Сформулируем основной результат работы о явном виде резольвенты обобщенной модели Фридрихса .

Теорема. При каждом фиксированном  резольвента  оператора  определяется следующим образом:

;;

где , а  и  являются компонентами вектора , принадлежащее в  и , соответственно.

Доказательство. Пусть . Для построения резольвенты нам понадобится рассмотреть уравнение  для любых . Для удобства, это уравнение напишем в виде следующей системы уравнений

;

.     (1)

Для любых  и  имеет место соотношение . Тогда из второго уравнения системы (1) для  имеем

,                                                  (2)

где

.                                                                                          (3)

Подставляя полученное выражение (2) для  в первое уравнение системы (1) и равенству (3) имеем

;

;

.

Так как основной детерминант  последной системы отлично от нуля при всех , для таких это система уравнений имеет единственный решение . При этом в силу правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными компоненты  определяются равенствами:

.

Далее, подставляя найденные выражения для  в равенство (2), получим

.

Сопоставляя полученные выражения для  и  через  и  приходим к равенству , . Теорема доказана.

Из определения оператора видно, что резольвента  блочно-операторной матрицы опять является  блочно-операторная матрица.

Литература:

1.      З. Д. Расулова. О дискретном спектре обобщенной модели Фридрихса с возмущением ранга не более чем 4 // Молодой учёный — 2013 — № 11 — С. 15–17.

2.      Л. Д. Фаддеев. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра // Труды Математического Института АН СССР, 1964, Т. 73, С. 292–313.

3.      Р. А. Минлос, Я. Г. Синай. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа // Теоретическая и математическая физика, 1979, Т. 2, № 2, С. 230–243.

4.      К. О. Фридрихс. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle