Библиографическое описание:

Будылина Е. А., Гарькина И. А., Сухов Я. И. Математическое моделирование кинетических процессов в дисперсных системах // Молодой ученый. — 2013. — №12. — С. 104-107.

Рассмотрим кинетический процесс, протекающий в гомогенной системе с постоянными или с непрерывно изменяющимися химическим составом и физическими свойствами (между частями системы нет поверхностей раздела). Если стабилизированное, эксплуатационное значение  рассматриваемой характеристики  изменить за счет внешнего возмущающего воздействия, а затем снять это возмущение, то параметр  вернется к значению . Так что:

,.                                                                                                       

При начальных условиях  получим

                                                                                                                

(предполагается, что проявление отдельных структурных элементов либо подавлено глобальными процессами, либо влияние этих процессов на систему незначительно). Такое предположение практически неприемлемо для дисперсных систем, к которым относятся и композитные материалы [1…3]. Для них характерно наличие точки перегиба функции , определяющей исследуемый процесс (в гомогенных системах точки перегиба нет).

В отклонениях от равновесного состояния  будем иметь

.                                                                                                  

Пусть  — корни характеристического полинома.

При  имеем ,

.

При  имеем

.

Из  получим координату точки перегиба

. (1)

(при вогнутость сменяется на выпуклость).

Так как l2 < l1, то составляющая  затухает быстрее, чем аналогичная составляющая , соответствующая корню l2. Поэтому значение l2 можно определить по концу экспериментально полученного процесса.

Без ограничения общности рассуждений можно принять  (равносильно масштабированию ).

При

=.

Откуда

, .

Из  получим

; .

Полученное уравнение имеет решение  лишь при .

Откуда

; , .

Из  при  и  в интервале (1, ) следует .

Изменение структуры, физико-механических и эксплуатационных свойств материала приводят к изменению

(w0 определяет упругость системы, а n — рассеяние (демпфирование) энергии). С ростом  и  (, ) значение  убывает.

При

,

в частности, при

.

Точка перегиба процесса  есть точка

Увеличение  ведет к уменьшению , то есть сдвигу точки  влево.

При n> 1 точка  лежит левее прямой , а при n< 1 — правее.

Время t0 выхода контролируемого параметра на эксплуатационное значение  определится из условия

.

Рассмотрим кинетические процессы видов, приведенных на рис. 1.

Рис. 1

Кривая 1 характерна для кинетики внутренних напряжений в эпоксидных композитах. Здесь кинетический процесс описывается в виде:

и является решением уравнения при начальных условиях

.                                                                          

Таким образом, указанные процессы имеют вид

.                                                                            

Для точки перегиба  абсцисса

, (2)                                                                                

где постоянные интегрирования определяются из условий:

,

Абсцисса точки  должна удовлетворять условию , что дает:

. (3)                                                                                    

Должны иметь

                                                                                                     

Откуда следует, что  достигает максимума при  и при выполнении одного из условий  или .

Имеем

,

где

.                                                                                                         

Из изложенного выше вытекает следующий алгоритм идентификации кинетических процессов рассматриваемого вида:

-       по концу переходного процесса определяется l2;

-       определяется ;

-       по известным l2 и d определяется l1;

-       по при известных l1 и l2 определяется ;

-       по известным значениям  определяется

.

Наконец, определяется

.

Задача идентификации решена полностью. Настройка модели легко осуществляется с учетом влияния идентифицируемых параметров на характеристики кинетических процессов.

Как показывает практика, существуют системы, кинетические процессы в которых не могут быть описаны рассмотренными выше моделями первого и второго порядка. К таким системам, в частности, относятся некоторые полидисперсные системы. Так, например, кинетика набора прочности композиционного материала имеет иногда не одну, а две точки перегиба. Пути обобщения приведенных выше методик для идентификации таких кинетических процессов очевидны [4,5].

Литература:

1.                 Будылина Е. А., Гарькина И. А. Данилов А. М. Моделирование с позиций управления в технических системах / Региональная архитектура и строительство. № 2(16). 2013. — C. 138–143.

2.                 Гарькина И. А., Данилов А. М. Управление в сложных технических системах: методологические принципы проектирования системах / Региональная архитектура и строительство. № 1. 2012. — C. 39–42.

3.                 Будылина Е. А., Гарькина И. А., Данилов А. М., Сухов Я. И. Некоторые подходы к анализу и синтезу сложных систем / «Молодой ученый. — № 10(57), 2013. — с.105–107.

4.                 Гарькина И. А., Данилов А. М., Петренко В. О. Проблема многокритериальности при управлении качеством сложных систем / Мир транспорта и технологических машин. № 2(41). 2013. –С.123–130.

5.                 Данилов А. М., Гарькина И. А. Методология проектирования сложных систем при разработке материалов специального назначения / Известия ВУЗов. Строительство. — 2011. -№ 1.-С.80–85.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle