Библиографическое описание:

Ибраев Ш. Ш., Жугинис В. С. О модулях Вейля над SLn в положительной характеристике // Молодой ученый. — 2013. — №11.1. — С. 1-3.

В настоящий момент основные трудности вычисления когомологии простых модулей  односвязных алгебраических групп с неприводимой системой корней над полем положительной характеристики связаны структурными вопросами модулей Вейля. Одним из эффективных методов изучения модуля Вейля является построение фильтрацию Янцена. Общие свойства фильтрации Янцена для модулей Вейля изучены в работах  [1] – [10]. Характеры простых модулей полностью вычислены только для малых алгебраических групп с системами корней типов . Из результатов исследовании, полученные  к настоящему моменту видно, что структура модулей Вейля не получены даже для ограниченных старших весов.  В данной заметке построены фильтрации Янцена для некоторого семейства модулей Вейля для алгебраической группы  над полем  характеристики .

Пусть  и .  Обозначим через  формальный характер модуля Вейля  и через   формальный характер простого  со старшим весом , где  – множество доминантных весов.  Будем предполагать, что система корней  группы  неприводима и обозначим максимальную корень  системы  через .  Действие аффинной группы Вейля определяется формулой

                               ,

где  – полусумма положительных корней.

Рассмотрим следующие элементы множества ограниченных весов :

, ,

,

,

где  – элемент внутри нижнего фундаментального аффинного алькова.

Предложение. Пусть  и .  Тогда  и

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Доказательство. Следует из формулы суммирования  фильтрации Янцена ( [2], стр.133) для модуля Вейля и принципа перехода ([3], стр.297).

Следствие. Для короткой точной последовательности -модулей  имеют место следующие изоморфизмы -модулей:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Заметим, что глубина фильтрации Янцена всех рассматриваемых модулей Вейля  не больше чем 2. Тогда доказанное предложение и его следствие полностью определяют фильтрацию Янцена рассматриваемого семейства модулей Вейля.

Замечание. Формулы формальных характеров , были описаны ранее Янценом и остается верным и для других простых односвязных алгебраических групп.

Литература:

1.                  Jantzen J.C. Darstellungen halbeinfascher gruppen und contravariante formen // J. reine angew. Math. - 1977. - vol. 290. - P. 117-141.

2.                  Jantzen J.C. Zur characterformel gewisser darstellungen halbeinfascher gruppen und Lie-algebren // Math. Z. - 1974. - Vol. 140. - P. 127-149.

3.                  Jantzen J.C. Weyl modules for groups of Lie type in M. Collins ed., Finite simple groups.  London, New York: Acad. Press, 1980.  P. 291-300.

4.                  Andersen H.H. Modular representations of finite groups of Lie type in M. Collins ed., Finite simple groups.  London, New York: Acad. Press, 1980.  P. 259-290.

5.                  Wong W.J. Irreducible modular representations of finite Chevalley groups //  J. Algebra. - 1972. - Vol. 20. - P. 355-367.

6.                  Carter R.W., Lustig G. On the modular representations of the general linear an symmetric groups // Math. Z. - 1974. - Vol. 136. - P. 193-242.

7.                  Jantzen J.C. Uber das dekompositionsverhalten gewisser modularer darstellungen halbeinfascher gruppen und ihrerLie-algebren // J. of Algebra. - 1977. - vol. 49. - P. 441-469.

8.                  Vogan D. Irreducible characters of semisimple Lie groups I // Duke Math. J. - 1979. - Vol. 46. - P. 61-108.

9.                  Carter R. W., Payne M.T.J. On homomorphisms between Weyl modules and Specht modules // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. - 1980. - Vol. 87. - P. 419-425.

10.              Andersen H.H. On the structure of Weyl modules // Math Z. - 1980. - V. 170. - P. 1-14.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle