Библиографическое описание:

Расулова З. Д. О дискретном спектре обобщенной модели Фридрихса с возмущением ранга не более чем 4 // Молодой ученый. — 2013. — №11. — С. 15-17.

Как известно, что некоторые актуальные задачи, в частности, задачи квантовой механики, статистической механики и гидродинамики сводятся к исследованию спектральных свойств обобщенной модели Фридрихса [1,2]. Поэтому изучение дискретного спектра обобщенной модели Фридрихса играет важную роль в современной математической физике.

В настоящей работы рассматривается (ограниченный и самосопряженный) обобщенный модель Фридрихса  с возмущением ранга не более чем 4. Отметим, что оператор  ассоциирован с системой не более чем двух квантовых частиц на -мерной решетке. Найден явный вид существенного и дискретного спектра оператора .

Пусть - -мерный тор, т. е. куб  — с соответствующим отождествлением противоположных граней,  — одномерное комплексное пространство, а  — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на .

Обозначим через  прямую сумму пространств и , т. е. . Пространство  и  называется нолчастичном и одночастичном подпространством фоковского пространства  над , соответственно.

Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса  действующую в гильбертовом пространстве  как  блочно операторная матрица

,

где операторы  определяются по правилам

            (1).

Здесь  - фиксированное вещественное число,  и  — вещественно-непрерывные функции на , а  сопряженный оператор к .

Легко можно проверить, что при этих предположениях оператор  ограничен и самосопряжён в гильбертовом пространстве . Надо отметить, что всякий линейный ограниченный оператор в  всегда записывается как  блочно операторная матрица.

Оператор  называется оператором уничтожения, а оператор  называется оператором рождения [4].

Обозначим через  и  соответственно существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Пусть оператор  действует в  как

,

где .

Оператор возмущения  оператора  является самосопряженным оператором ранга не более чем 4. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля [3] о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора  совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что , где числа  и  определяются следующим образом:

.

Из последних фактов следует, что

. (1)

Определим регулярную в  функции

.

Следующая теорема устанавливает связь между собственными значениями оператора  и нулями функции .

Теорема 1. Для дискретного спектра оператора  имеет место равенство

.

Доказательство. Чтобы доказать теоремы достаточно показать, что оператор  имеет собственное значение  тогда и только тогда, когда .

Действительно. Пусть число  — есть собственное значение оператора  и пусть  — соответствующая собственная вектор-функция. Тогда  и  удовлетворяют следующую систему уравнений

;

.             (2)

В силу равенства (1) для любых  и  имеет место соотношение . Из второго уравнения системы (2) для  имеем

,                                                                      (3)

где

.                                                                                          (4)

Подставляя выражение (3) для  в первое уравнение системы (2) и равенству (4) получим, что система уравнений (2) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда система уравнений

;

;

;

имеет ненулевое решение, т. е. когда . Теорема 1 доказана.

Согласно теореме 1 функция  обладает характеристическим свойством определителя Фредгольма. По этой причине мы назовём её определителем Фредгольма, ассоциированный с оператором .

Рассмотрим некоторые частные случаи:

I. Из теоремы 1 видно, что если функции  удовлетворяет условие

                                                                                            (5)

при всех , то дискретный спектр оператора  совпадает с объединением дискретных спектров операторов

,

где

,

т. е.

.

Из определения операторов  видно, что они имеют более простую структуру чем , причем операторы  имеют по одному простых собственных значений, лежащих левее , а оператор  имеет две простых собственных значений, один из них лежать левее , а второе правее .

Положим

.

Отметим, что если мера Лебега множества  равно нулю при всех , , то выполняется условие (5).

II. Если , то обозначая

,

имеем, что  (т. е. число  является бесконечнократным собственным значением оператора ) и

.

Видно, что в этом случае  является полином четвертого порядка, и следовательно, оно имеет не более чем четыре (с учетом кратности) вещественных нулей отлично от . По теореме 1 это означает, что оператор  имеет не более чем четыре (с учетом кратности) собственных значений, лежащих вне существенного спектра.

Литература:

1.      Л. Д. Фаддеев. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра // Труды Математического Института АН СССР, 1964, Т. 73, С. 292–313.

2.      Р. А. Минлос, Я. Г. Синай. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа // Теоретическая и математическая физика, 1979, Т. 2, № 2, С. 230–243.

3.      М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики // Т. 4, Анализ операторов, М.: Мир, 1982.

4.      К. О. Фридрихс. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle