Библиографическое описание:

Будылина Е. А., Гарькина И. А., Сухов Я. И. Алгоритм качественного анализа структуры и свойств материалов в области структурно-фазовых переходов // Молодой ученый. — 2013. — №11. — С. 81-84.

Качественные изменения в процессах формирования физико-механических свойств материалов особенно отчетливо проявляются в областях скачкообразных изменений вида линий равного уровня, которые, как правило, соответствуют структурно-фазовым переходам. Подход часто используется и в медицине: приобретаемые в процессе болезни патологическиепризнаки достигают наивысшегоразвития (симптомы обычно выражаются в изменении характера и личностных свойств). Здесь и предлагается производить анализ формирования структуры и свойств материала в области фазовых переходов в точках распада экспериментально полученных изолиний (асимптоты).

Пока при разработке композиционных материалов используются модели, полученные для локальной области на основе методов математического планирования эксперимента [1,2], в меньшей степени — интерполяционные модели для всей заданной области изменения факторов в факторном пространстве. Однако, как правило, полученные модели не подвергаются дальнейшему анализу с целью их использования для решения задач прогнозирования, в должной мере не устанавливаются связи параметров моделей с рецептурно-технологическими параметрами (свойствами и структурой материала). Фактически проводится решение общей задачи идентификации без надлежащей параметрической идентификации. Получаемые на основе моделей изолинии используются лишь как иллюстративный материал, хотя именно изолинии характеризуют фундаментальные процессы формирования структуры и свойств материала.

Если целевая функция  с требуемой точностью описывается квадратичной моделью

,                                                    (1)

где хотя бы одно из чисел  отлично от нуля, то линии равного уровня  будут кривыми второго порядка

,                                                 (2)

где  (аналогично для границ областей равных оценок ).

Естественно предположить, что качественным изменениям в структуре и свойствах материала соответствует изменение вида изолиний. Наиболее интересен случай, когда изолиниями являются семейства гипербол. В этом случае скачкообразное изменение структуры и свойств материала происходит в точках () факторного пространства, лежащих на паре пересекающихся прямых:

,

(в остальных случаях можно воспользоваться описанием различных видов поверхностей второго порядка).

Условия такого распадакривой второго порядка:

; .                                           (3)

Для центральных кривых гиперболического типа должны иметь

.

Центр определится в виде

.

Введя  (соответствует переносу начала координат в), уравнение (2) приведем к виду

.                                                                             (4)

Здесь

,

 — дискриминант левой части общего уравнения второй степени (2).

Поворот осей  на угол  приведет уравнение (4) к виду

;                                                                                              (5)

(). То есть  есть корни характеристического уравнения

                                                                                                (6)

квадратичной формы . Оно всегда имеет действительные корни в силу того, что дискриминант характеристического уравнения

.

Поворотом на угол , где ,

квадратичная форма  преобразуется к виду (38) ( и  — корни уравнения (6)).

При  () кривая (5) вырождается в прямые

.                                                                                                           (7)

Уравнение (1) есть уравнение поверхности второго порядка. В рассматриваемом случае — это гиперболический параболоид (рис.1). На рисунке ,  — седловая точка, в которой удовлетворяются условия Куна-Таккера [3]; . В системе координат  поверхность описывается каноническим уравнением

                                                                                                            (8)

(плоскость  пересекает параболоид (8) по линии с уравнением , состоящей из двух прямых  и ; плоскость ,  пересекает параболоид по гиперболе с полуосями , монотонно возрастающими от 0 до +¥ при возрастании h от 0 до +¥, а при  — по гиперболе, но уже с полуосями , монотонно убывающими от +¥ до 0, когда h возрастает от –¥ до 0).

И вообще для поверхности второго порядка, имеющей центр в начале координат

,                                                         (9)

всегда можно выбрать новые координатные оси, чтобы в преобразованном уравнении остались лишь члены, содержащие квадраты координат, то есть так, чтобы преобразованное уравнение имело вид:

.                                                                                 (10)

Рис. 1

Задача сводится к отысканию ортогонального преобразования, связывающего  и , чтобы совокупность членов второго порядка относительно координат в левой части уравнения представилась в виде суммы квадратов.

Аналогичную картину получим в случае вещественного пространства n измерений (факторное пространство в этом случае имеет размерность n-1).

Из приведенного естественно вытекает алгоритм качественного анализа структуры и свойств материалов в области структурно-фазовых переходов.

В частности, если в заданной области факторного пространства определяется модель параметра оптимизации второго порядка (например, с использованием методов планирования эксперимента), то коэффициенты модели в нормированных переменных будут характеризовать влияние факторов на параметр оптимизации. При заданном  определятся уравнения изолиний (2), центр  и значения . По известным  определятся , а далее уравнения прямых  (на гиперболическом параболоиде им соответствуют прямые  и , в точках которых ) и точки факторного пространства, в которых происходит скачкообразное изменение вида изолиний.

Приводимая методика использовалась при обработке экспериментальных данных по формированию структуры и свойств композиционных материалов для защиты персонала, оборудования и населения от ионизирующего излучения [1….6].

Литература:

1.      Гарькина И. А., Данилов А. М., Прошин А. П., Соколова Ю. А. Планирование эксперимента. Обработка опытных данных. Под ред. проф. А. М. Данилова. — М.: Палеотип, 2005. — 272 с.

2.      Баженов Ю. М., Гарькина И. А., Данилов А. М., Королев Е. В. Системный анализ в строительном материаловедении: монография -М.: МГСУ: Библиотека научных разработок и проектов. -2012. –432 с.

3.      Данилов А. М., Гарькина И. А. Сложные системы: идентификация, синтез, управление. — Пенза: ПГУАС, 2011. — 308 с.

4.      Будылина Е. А., Гарькина И. А., Данилов А. М., Пылайкин С. А. Подходы к многокритериальности сложных систем / «Молодой ученый. — № 6(53), 2013. — с.40–43.

5.      Скачков Ю. П., Данилов А. М., Гарькина И. А. Модификация метода ПАТТЕРН к решению архитектурно-строительных задач / Региональная архитектура и строительство. № 1(10), — 2011. –C.4–9.

6.      Будылина Е. А., Гарькина И. А., Данилов А. М., Сухов Я. И. Некоторые подходы к анализу и синтезу сложных систем / «Молодой ученый. — № 10(57), 2013. — с.105–107.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle