Библиографическое описание:

Ляпунова И. А., Тетруашвили Е. В. Единственность решения задачи демо-генетической модели адаптации вредителей к изменению кормовой базы // Молодой ученый. — 2013. — №11. — С. 130-133.

Популярные демо-генетические модели в случае, когда вредитель, в частности, стеблевой кукурузный мотылек, при температуре воздуха свыше 20 градусов утрачивают способность перемещаться самостоятельно и переносятся теплым течением воздуха [1].

Ключевые слова: единственность, вредитель, трансгенные агрокультуры.

Рассмотрим модель адаптации вредителей к трангсенным агрокультурам при различных типах таксиса, учитывающую диффузию и конвекцию [2]:

                                     (1)

где KR- емкость среды, dR, - коэффициент диффузии растительного ресурса,  определяют пропорции распределения потомства вредителя по трем рассматриваемым генотипам ij, N - внешняя нормаль к границе ,  - ареал вредителя;  - плотность генотипа ij в точке  в момент времени t(или s), , ,  — плотности соответствующих генотипов вредителя;  - общая плотность популяции.

Активность вредителей определяется суммой плотностей двух видов вредителей в активном и пассивном состоянии соответственно: .

Пусть на площади  находятся  типов вредителей (по 3 на каждый вид таксиса), которые в точке  в момент времени  имеют концентрации  Будем рассматривать следующую модель распространения вредителей:

                                 (2)

где  − оператор набла;  − скорость макроскопического движения жидкости;  − тензор диффузии вредителей ;  − скорость гравитационного осаждения; − матрица взаимного распределения вредителей;  − функция мощности потоков .

Слагаемые  в левой части уравнений (2) описывают конвекцию вредителей: их перенос под действием течения воздуха и силы тяжести [3]. Введем поле скоростей макроскопического движения вредителей:  Слагаемые в правой части уравнений (2) описывают диффузию примесей и их преобразование из одного типа в другой.

Система уравнений (2) рассматривается в области , ограниченной поверхностью , состоящей из трех достаточно гладких частей:  где  − поверхность поля;  − вертикальная боковая поверхность;  − почва (не обязательно плоское).

Обозначим единичный вектор внешней нормали к поверхности  как

В начальный момент времени концентрации вредителей равны некоторым известным функциям:

                                                                                      (4)

Граничные условия на поверхности поля . Вредители, независимо от направления перемещения (поверхность ), движутся по касательной к ней:

Векторы скорости насекомых  имеют через эту поверхность ненулевой поток за счет осаждения. Поэтому на поверхности  граничное условие запишется следующим образом (диффузионный и конвективный потоки равны по модулю и противоположны по знаку):

                                                                   (5)

Граничные условия на боковой границе . Цилиндрическая (боковая) граница  области  вертикальна, поэтому на  выполняется следующее условие:

                                                                                                     (6)

Заметим, что из соотношений (3) — (5) следует, что:

                                                                      (7)

 представляет собой (далекую) границу с оставшейся частью поля. Обозначим часть поверхности , на которой  как , остальную часть, где  как . Смоделируем границу:  если   если .

Поток воздуха не проходит сквозь почву (поверхность ), поэтому движется по касательной к нему:

                                                                                                       (8)

Потребуем, чтобы основание поля находилось снизу от области :

                                                                                                                           (9)

Заметим, что из соотношений (3.5.9) — (3.5.10) следует, что на поверхности :                                                                                            (10)

Выражение (11) выполняется в силу микротурбулентного воздушного обмена, поэтому вредители не оседают на почву из-за турбулентной диффузии. Однако они оседают за счет гравитационного осаждения, поэтому граничные условия для  на поверхности  будут выглядеть следующим образом:

                                                                           (11)

Будем предполагать, что существует классическое решение задачи:

где                                                 (12)

Докажем единственность решения:  Допустим, что существуют два различных решения:

Подставим  в систему (1), а также в начальные и граничные условия, вычтем друг из друга:

                                                       (13)

Умножим каждое уравнение (14) на

                                                         (14)

Запишем формулу производной произведения для выражения с учетом

:

                                   (15)

Проинтегрируем равенство (17) с учетом граничных и начальных условий сначала по области , а затем по времени от  до

Левая часть после интегрирования принимает вид:

                        (16)

Преобразуем интегралы по частям поверхности :

После ряда преобразований получаем:

                                                             (17)

Левая часть равенства (21) больше либо равна нулю, так как  − функция возводится в квадрат (концентрации  необязательно положительны);  − функция возведена в квадрат и умножена на положительную скорость осаждения примесей;  − выражение неотрицательно, так как на поверхности , по которой берется интеграл, =;  − выражение неотрицательно, так как на поверхности , по которой берется интеграл, .

В случае, если правая часть равенства (21) меньше либо равна нуля, т. е. выполняется:

                                                (18)

обе части равенства (2) должны быть равны нулю и, значит, все слагаемые левой части тождественно равны нулю во всей рассматриваемой области для любого . В частности, , откуда следует совпадение двух решений и .

Выясним, при каких условиях справедливо неравенство (19). Для этого оценим выражение

 и

Следовательно, если  то неравенство (2) справедливо.

Вывод: таким образом, условие  является достаточным условием единственности решения задачи (1) — (3).

Литература:

1.                                         Мозаичная структура распределенного сообщества трансгенной кукурузы. Кажарова И. А. Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2009. Т. 97. № 8. С. 148–155.

2.                                         Об одной демогенетической модели адаптации насекомых к изменению кормовой базы. Ляпунова И. А. Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2013. № 4. С. 235–239.

3.                                         Сухинов А. И., Чистяков А. Е. Параллельная реализация трехмерной модели гидродинамики мелководных водоемов на супервычислительной системе//Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. 2012. Т. 13. № 1. С. 290–297.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle