Библиографическое описание:

Ляпунова И. А., Тетруашвили Е. В. Единственность решения задачи демо-генетической модели адаптации вредителей к изменению кормовой базы // Молодой ученый. — 2013. — №11. — С. 130-133.

Популярные демо-генетические модели в случае, когда вредитель, в частности, стеблевой кукурузный мотылек, при температуре воздуха свыше 20 градусов утрачивают способность перемещаться самостоятельно и переносятся теплым течением воздуха [1].

Ключевые слова: единственность, вредитель, трансгенные агрокультуры.

Рассмотрим модель адаптации вредителей к трангсенным агрокультурам при различных типах таксиса, учитывающую диффузию и конвекцию [2]:

                                     (1)

где KR- емкость среды, dR, - коэффициент диффузии растительного ресурса,  определяют пропорции распределения потомства вредителя по трем рассматриваемым генотипам ij, N - внешняя нормаль к границе ,  - ареал вредителя;  - плотность генотипа ij в точке  в момент времени t(или s), , ,  — плотности соответствующих генотипов вредителя;  - общая плотность популяции.

Активность вредителей определяется суммой плотностей двух видов вредителей в активном и пассивном состоянии соответственно: .

Пусть на площади  находятся  типов вредителей (по 3 на каждый вид таксиса), которые в точке  в момент времени  имеют концентрации  Будем рассматривать следующую модель распространения вредителей:

                                 (2)

где  − оператор набла;  − скорость макроскопического движения жидкости;  − тензор диффузии вредителей ;  − скорость гравитационного осаждения; − матрица взаимного распределения вредителей;  − функция мощности потоков .

Слагаемые  в левой части уравнений (2) описывают конвекцию вредителей: их перенос под действием течения воздуха и силы тяжести [3]. Введем поле скоростей макроскопического движения вредителей:  Слагаемые в правой части уравнений (2) описывают диффузию примесей и их преобразование из одного типа в другой.

Система уравнений (2) рассматривается в области , ограниченной поверхностью , состоящей из трех достаточно гладких частей:  где  − поверхность поля;  − вертикальная боковая поверхность;  − почва (не обязательно плоское).

Обозначим единичный вектор внешней нормали к поверхности  как

В начальный момент времени концентрации вредителей равны некоторым известным функциям:

                                                                                      (4)

Граничные условия на поверхности поля . Вредители, независимо от направления перемещения (поверхность ), движутся по касательной к ней:

Векторы скорости насекомых  имеют через эту поверхность ненулевой поток за счет осаждения. Поэтому на поверхности  граничное условие запишется следующим образом (диффузионный и конвективный потоки равны по модулю и противоположны по знаку):

                                                                   (5)

Граничные условия на боковой границе . Цилиндрическая (боковая) граница  области  вертикальна, поэтому на  выполняется следующее условие:

                                                                                                     (6)

Заметим, что из соотношений (3) — (5) следует, что:

                                                                      (7)

 представляет собой (далекую) границу с оставшейся частью поля. Обозначим часть поверхности , на которой  как , остальную часть, где  как . Смоделируем границу:  если   если .

Поток воздуха не проходит сквозь почву (поверхность ), поэтому движется по касательной к нему:

                                                                                                       (8)

Потребуем, чтобы основание поля находилось снизу от области :

                                                                                                                           (9)

Заметим, что из соотношений (3.5.9) — (3.5.10) следует, что на поверхности :                                                                                            (10)

Выражение (11) выполняется в силу микротурбулентного воздушного обмена, поэтому вредители не оседают на почву из-за турбулентной диффузии. Однако они оседают за счет гравитационного осаждения, поэтому граничные условия для  на поверхности  будут выглядеть следующим образом:

                                                                           (11)

Будем предполагать, что существует классическое решение задачи:

где                                                 (12)

Докажем единственность решения:  Допустим, что существуют два различных решения:

Подставим  в систему (1), а также в начальные и граничные условия, вычтем друг из друга:

                                                       (13)

Умножим каждое уравнение (14) на

                                                         (14)

Запишем формулу производной произведения для выражения с учетом

:

                                   (15)

Проинтегрируем равенство (17) с учетом граничных и начальных условий сначала по области , а затем по времени от  до

Левая часть после интегрирования принимает вид:

                        (16)

Преобразуем интегралы по частям поверхности :

После ряда преобразований получаем:

                                                             (17)

Левая часть равенства (21) больше либо равна нулю, так как  − функция возводится в квадрат (концентрации  необязательно положительны);  − функция возведена в квадрат и умножена на положительную скорость осаждения примесей;  − выражение неотрицательно, так как на поверхности , по которой берется интеграл, =;  − выражение неотрицательно, так как на поверхности , по которой берется интеграл, .

В случае, если правая часть равенства (21) меньше либо равна нуля, т. е. выполняется:

                                                (18)

обе части равенства (2) должны быть равны нулю и, значит, все слагаемые левой части тождественно равны нулю во всей рассматриваемой области для любого . В частности, , откуда следует совпадение двух решений и .

Выясним, при каких условиях справедливо неравенство (19). Для этого оценим выражение

 и

Следовательно, если  то неравенство (2) справедливо.

Вывод: таким образом, условие  является достаточным условием единственности решения задачи (1) — (3).

Литература:

1.                                         Мозаичная структура распределенного сообщества трансгенной кукурузы. Кажарова И. А. Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2009. Т. 97. № 8. С. 148–155.

2.                                         Об одной демогенетической модели адаптации насекомых к изменению кормовой базы. Ляпунова И. А. Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2013. № 4. С. 235–239.

3.                                         Сухинов А. И., Чистяков А. Е. Параллельная реализация трехмерной модели гидродинамики мелководных водоемов на супервычислительной системе//Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. 2012. Т. 13. № 1. С. 290–297.

Основные термины: Южного федерального университета, равны нулю, Граничные условия, концентрации вредителей равны, модели адаптации вредителей, тензор диффузии вредителей, часть равенства, вертикальная боковая поверхность, поверхности граничное условие, кормовой базы, следующим образом, части уравнений, макроскопического движения вредителей, решения задачи, поверхность ненулевой поток, и конвективный потоки равны, поверхности поля, скорость осаждения примесей, часть поверхности, поверхность поля

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle