Библиографическое описание:

Андрейчик М. Н., Коптенок Е. В., Орлова А. А. Интегральные операторы в весовых пространствах измеримых функций // Молодой ученый. — 2013. — №11. — С. 1-5.

Введение

Хорошо известно, что интегральные операторы с ядрами Пуассона и Коши проектируют классы Гельдера на единичной окружности на соответствующие классы аналитических функций ([1], [2]) На этом основаны многие вопросы математической физики (теория краевых задач типа Привалова, Гильберта, Римана и т. д.) ([1], [2]) Однако во многих задачах комплексного и функционального анализа возникает потребность проектирования более широких классов функций, заданных на том или ином множестве на соответствующие пространства аналитических функций.

В последние годы появляется много работ российских и зарубежных математиков посвященных проектированию пространства суммируемых функций на весовые пространства Бергмана. Эти вопросы изложены в известных монографиях ([3], [4]) В этой статье мы продолжаем исследование по проблематике, изложенной в работе [5]. Впервые было замечено, что интегральные операторы с ядрами Бергмана проектируют классы измеримых в единичном круге функций, производная которых по углу суммируема, отображается на пространства аналитических функций удовлетворяющих такому же условию.

В этой статье мы докажем близкие теоремы в том случае, когда производная по одному направлению, скажем по радиусу, имеет определенный рост при приближении к единичной окружности (в случае полуплоскости — к вещественной оси)

Формулировка и доказательство основных результатов статьи

Для формулировки доказательства основных результатов введем следующие обозначения.

Пусть - комплексная плоскость, - верхняя полуплоскость, т. е. ,  — единичный круг на комплексной плоскости , – множество всех аналитических функций в D. Пусть далее  — множество аналитических функций в,

 — ядро Бергмана для круга порядка , а

 — ядро Бергмана для полуплоскости порядка ,

 где . (1)

 где

Если - монотонно возрастающая положительная функция на , а  — множество измеримых функций на измеримом множестве E, то

,

где  — некоторое положительное число, зависящее только от, φ — некоторая монотонно растущая положительная функция на ,  — неотрицательное целое число, то есть

Как указывалось выше, такие операторы были исследованы в пространствах суммируемых функций ([3], [4]). Мы изучаем поведение этих операторов в следующих пространствах суммируемых функций:

, (2)

Определение. Скажем, что функция принадлежит классу , если существует положительное число , такое что:  и и φ удовлетворяет оценке , при всех и при некотором .

Основной результат статьи являются доказательство следующих двух утверждений.

Теорема 1.Пусть функция  интегрируема в  и такая, что  и  принадлежат классу , при некотором, где . Тогда тоже принадлежит классу .

Теорема 2. Пусть - интегрируема в  и такая, что и принадлежат классу при котором . Тогда функция  принадлежит классу т. е. оператор  отображает пространство функций n-ая производная, которых принадлежит классу  на пространство .

Доказательство теоремы 1

Пусть функция  — удовлетворяет условию:

Докажем, что аналогичная оценка справедлива для функции .

Указанную оценку мы получим при , при  основные рассуждения сохраняются, появляются только технические сложности.

Итак, пусть . Заметим, что указанный интеграл (1) абсолютно сходится, если и . Действительно, имеем

,

В последней оценке мы воспользовались тем, что . Учитывая также оценку

окончательно получим:

,

где - постоянное число, зависящие только от и .

Перейдем к оценке функции .

Вычисляя производную функции получаем:

.

Преобразуем внутренний интеграл, интегрируя его по частям и учитывая, что получим:

Тогда

Введем следующие обозначения:

Следующая оценка получается стандартным образом (см. [5])

Перейдем к оценке . Для этого сначала оценим ,учитывая, что

Имеем

Отсюда получаем

Сделаем замену переменной в последнем интеграле,  получим

 (3)

В последней оценке мы воспользуемся тем, что функция . Вернемся к оценке . Не ограничивая общность, можно предположить, что .

Тогда получим:

 (4)

Интеграл оценивается стандартным образом (см. [3], стр.106). Другими словами нетрудно установить, что

 (5)

Для доказательства теоремы 1 остается получить соответствующую оценку для

Учитывая оценку (3) имеем:

.

Следовательно,

Применяя рассуждения, используемые при доказательстве результатов в работе [5] отсюда окончательно получаем:

 (6)

Объединяя оценку (4),(5), (6) получаем:

 (7)

где

Но поскольку функция принадлежит классу , то из оценки (7) немедленно следует утверждение теоремы.

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2 проводится, аналогичным образом, учитывая свойства ядра Бергмана  для полуплоскости.

Замечание. Используя интегральное представление аналитической функции по свойствам ядра Бергмана через вещественную часть и классические теоремы Привалова и Харди — Литлвуда из теоремы 1 и теоремы 2 сразу следует, что, если гармоническая функция и в замкнутом круге имеет модуль непрерывности , то гармонические сопряженные функции будут иметь такой же модуль непрерывности в замкнутом круге, если ω удовлетворяет хорошо известному условию Бари — Стечкина (см. [6]).

Литература:

1.      Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. М.-Л. Гостехиздат. 1946г. 448с.

2.      Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.:Наука, 1977г.

3.      Djrbashian M. M., Shamoyan F. A. Topics in theory of  spaces, Teubner — Verlag, Leipzig, 1988.

4.      H. Hedermalm, B. Korenblum, K. Zhu. Theory of Bergman spaces, Springer — Verlag New York, 2000.

5.      М. Н. Андрейчик, Е. В. Коптенок, А. А. Орлова Интегральные операторы с ядрами типа Бергмана в пространствах аналитических функций, с заданным модулем непрерывности // Молодой ученый. — 2013. — № 8 (55) — с.1–5.

6.      Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // ТММО, Том 5, 1956.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle