Библиографическое описание:

Емельянов А. А., Медведев А. В., Кобзев А. В., Козлов А. М., Бесклеткин В. В., Авдеев А. С., Киряков Г. А., Чернов М. В., Габзалилов Э. Ф., Иванин А. Ю. Моделирование линейного асинхронного двигателя с укладкой обмотки индуктора (Z1 = 6) через спинку ярма // Молодой ученый. — 2013. — №10. — С. 39-54.

В работе [4] рассматривался линейный асинхронный двигатель (ЛАД) с числом пазов в индукторе Z1 = 12 и намоткой обмотки через ярмо. В данной статье объектом рассмотрения является линейный асинхронный двигатель с числом пазов индуктора равным шести (Z1 = 6), математическая модель которого реализована в MATLAB [6]. Магнитная система под набегающим и сбегающим краями в шунтирующих зонах ЛАД осталась такой же, как в работе [1]. Асинхронные двигатели с различными способами укладки обмотки статора [1]…[5] необходимы для дальнейших работ, связанных с питанием двигателя от многообразных источников несинусоидального напряжения. Данная работа адресована студентам младших курсов, поэтому из методических целей представлена без сокращений.

На рис.1,а показан ЛАД с одной парой полюсов (2р = 2, Z1 = 6) и укладкой обмотки через спинку ярма статора. На рис. 1,б дана его магнитная схема замещения. Запишем основные уравнения для «n»-ого участка схемы замещения.

Баланс магнитных напряжений магнитной цепи

 – контурные магнитные потоки;

 – магнитные сопротивления воздушных участков;

 – магнитодвижущая сила, созданная статорным током , протекающим по всем проводникам паза ();

 – М.Д.С. тока ротора в стержне ();

– в шунтирующих зонах.

Баланс М.Д.С. для «n»-го участка имеет следующий вид:

.

Отсюда ток в стержне ротора определится по следующему выражению:

.

(1)


Рис. 1. а) Линейный асинхронный двигатель (2р = 2, Z1 = 6); б) Магнитная схема замещения


Уравнение баланса напряжений электрической цепи ротора

(2)

Выразим производные во времени через конечные разности:

,

где      n – номер зубцового деления;

k – номер шага разбиения по времени.

В формуле (2) скорость подвижного элемента принимаем равным  и в пределах «k» интервала считается постоянным.

Производные по пространственной координате «х» выразим через центральные конечные разности:

.

С учетом вышеприведенных замечаний уравнение (2) примет следующий вид:

(3)

Исключим из уравнения (3) токи в роторе. Для этого подставим выражение (1) в уравнение (3) и получим:

(4)

Это уравнение может быть реализовано при произведении матрицы А, элементы которой записаны в квадратных скобках, на матрицу-столбец X, состоящей из потоков (Ф) и токов статорной обмотки. Правая часть уравнения (4) формирует первые четырнадцать элементов матрицы-столбца свободных членовS в (k-1) момент времени. Остальные шесть (s15, … , s20) будут сформированы из баланса напряжений статорной обмотки. Матрица-столбец Х сформирована из первых четырнадцати элементов, соответствующие потокам Ф1, Ф2, … , Ф14, а остальные с 15 по 20 – токам статорной обмотки is1, … , is6. Общий вид матриц A, X и S при числе полюсов 2р = 2 и общем числе пазов статора (индуктора) Z1 = 6 приведен на рис.3.

Введем следующие обозначения:

-                   Магнитные сопротивления в шунтирующих зонах:

R1 = R2 = R14 = R15 = 500∙Rδ;

R3 = R13 = 50∙Rδ;

R4 = R12 = 5∙Rδ.

-                   Магнитные сопротивления в индукторной зоне:

R5 = R6 = … = R11 = Rδ.

-                   Элементы матрицы А, перемножаемые на потоки матрицы-столбца Х:


Матрица А

Х

S

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

a1,1

a1,2

a1,3

×

x1 = Ф1

=

s1

2

a2,1

a2,2

a2,3

a2,4

x2 = Ф2

s2

3

a3,1

a3,2

a3,3

a3,4

a3,5

x3 = Ф3

s3

4

a4,2

a4,3

a4,4

a4,5

a4,6

a4,15

x4 = Ф4

s4

5

a5,3

a5,4

a5,5

a5,6

a5,7

a5,15

a5,16

x5 = Ф5

s5

6

a6,4

a6,5

a6,6

a6,7

a6,8

a6,15

a6,16

a6,17

x6 = Ф6

s6

7

a7,5

a7,6

a7,7

a7,8

a7,9

a7,16

a7,17

a7,18

x7 = Ф7

s7

8

a8,6

a8,7

a8,8

a8,9

a8,10

a8,17

a8,18

a8,19

x8 = Ф8

s8

9

a9,7

a9,8

a9,9

a9,10

a9,11

a9,18

a9,19

a9,20

x9 = Ф9

s9

10

a10,8

a10,9

a10,10

a10,11

a10,12

a10,19

a10,20

x10 = Ф10

s10

11

a11,9

a11,10

a11,11

a11,12

a11,13

a11,20

x11 = Ф11

s11

12

a12,10

a12,11

a12,12

a12,13

a12,14

x12 = Ф12

s12

13

a13,11

a13,12

a13,13

a13,14

x13 = Ф13

s13

14

a14,12

a14,13

a14,14

x14 = Ф14

s14

15

a15,5

a15,15

x15 = i1S

s15

16

a16,6

a16,16

x16 = i2S

s16

17

a17,7

a17,17

x17 = i3S

s17

18

a18,8

a18,18

x18 = i4S

s18

19

a19,9

a19,19

x19 = i5S

s19

20

a20,10

a20,20

x20 = i6S

s20

Рис. 3. Общий вид матриц A, X и S.


-                   Элементы матрицы А, перемножаемые на токи i1, … , i6 матрицы Х:

-                   Элементы матрицы-столбца свободных членов S:

Уравнение (4) позволит определить для первых четырнадцати строк элементы матрицы А и с первый по четырнадцатый элементы матрицы-столбца S, для этого последовательно зададимся n:

n = 1.

Запишем элементы матрицы А:

;   .

В правой части сформирован элемент  матрицы-столбца S:

Примечание: вначале матрица А предстанет «пустой» и после каждой операции     n = … определятся постепенно элементы для каждой строки и только в конце всех операций матрица А предстанет перед читателем в том виде как она дана на рис. 3. Но эта «пустая» матрица А уже должна быть подготовлена. Эта «пустая» форма направляет, выступает «организующим началом» по поиску элементов в каждой строке.

При n = 1, как было показано выше, определились элементы первой строки. Найденные коэффициенты вписываем в матрицу А. В дальнейшем становится понятным алгоритм заполнения матрицы.

n = 2.

; ; .

n = 3.

; ; ;

n = 4.

; ; ; ;  

.

n = 5.

; ; ; ;  

n = 6.

; ; ;

n = 7.

; ; ; ;  

n = 8.

; ; ;

n = 9.

; ; ;

n = 10.

; ; ; ; .

n = 11.

; ; ; .

n = 12.

; ; ; ; .

n = 13.

; ; ; .

n = 14.

; ;

Остальные элементы матрицы А (для строк n = 15, … , 20) и соответствующие элементы матрицы-столбца S определяются из баланса электрических напряжений обмоток статора [2].

В данной работе принято отдельное управление напряжением обмотки каждого паза  (Z1 = 6), следовательно, необходимо задать шесть напряжений. В качестве одного из вариантов примем синусоидальные напряжения со сдвигом на π/3:

                              

                    

Рассмотрим баланс напряжений для первой обмотки.

,

где       – число витков паза (обмотки);

 – сопротивление обмотки, проходящей через спинку ярма;

 – индуктивность обмотки первого паза.

Выразим производные через конечные разности:

;         .

Тогда после подстановки получим:

.

Преобразуем выражение к виду:

.

Обозначим:

;       .

Тогда для элементов пятнадцатой строки матрицы А и пятнадцатого элемента матрицы-столбца S (n = 15):

.

Отсюда элементы матрицы А: ; .

Пятнадцатый элемент  матрицы-столбца S:

.

Аналогично для  n = 16, … , 20 запишем:

n = 16.          .

;  

n = 17.          .

  

n = 18.          .

  

n = 19.          .

  

n = 20.          .

  

Окончательно, матрица А примет следующий вид, удобный для программирования в MATLAB:




1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

B4

C5

D2

2

E4

B5

C6

D1

3

-D3

E5

B6

C7

D

4

-D2

E6

B7

C

D

T

5

-D1

E7

B

C

D

Y

T

6

-D

E

B

C

D

-T

Y

T

7

-D

E

B

C

D

-T

Y

T

8

-D

E

B

C

D

-T

Y

T

9

-D

E

B

C

D

-T

Y

T

10

-D

E

B

C1

D1

-T

Y

11

-D

E

B1

C2

D2

-T

12

-D

E1

B2

C3

D3

13

-D1

E2

B3

C4

14

-D2

E3

B4

15

UA

KS

16

UA

KS

17

UA

KS

18

UA

KS

19

UA

KS

20

UA

KS

Неизвестные переменные (потоки и токи в статорной обмотке) в k-й момент времени определяются в результате следующей операции с матрицами:

X=A-1·S,

Далее, подставляя в уравнение (1) n = 1…14, определяем токи в роторе:

Электромагнитные усилия на зубцовом делении определяются по следующим формулам:

                                                                         

                                                                   

                       

      

Суммарное усилие: .

Скорость в k-й момент времени:

Математическая модель линейного асинхронного двигателя реализована в программном пакете MATLAB методом Гаусса-Жордана. Ниже приведен пример расчета.

   

   

        

               

Временные зависимости скорости и электромагнитного усилия  линейного асинхронного двигателя в режиме прямого пуска, полученные на математической модели, представлены на рис.4.

Рис. 4. Результат моделирования линейного асинхронного двигателя в режиме прямого пуска

Литература:

1.         Сарапулов Ф.Н., Емельянов А.А., Иваницкий С.В., Резин М.Г. Исследование электромеханических переходных процессов линейного асинхронного короткозамкнутого двигателя // Электричество. – 1982. – №10. – С. 54–57.

2.         Емельянов А.А., Богатов Е.А., Клишин А.В., Медведев А.В., Симонович В.Г. Математическая модель линейного асинхронного двигателя на основе магнитных схем замещения // Молодой ученый. – 2010. – №5. – С.14–22.

3.         Емельянов А.А., Медведев А.В., Богатов Е.А., Кобзев А.В., Бочкарев Ю.П. Программирование линейного асинхронного двигателя в MATLAB // Молодой ученый. – 2013. – №3. – С. 129-143.

4.         Емельянов А. А., Медведев А. В., Кобзев А.В., Бесклеткин В.В., Козлов А. М. Моделирование асинхронного двигателя с укладкой обмотки статора (Z1 = 12) через спинку ярма // Молодой ученый. – 2013. – №7. – С. 12-27.

5.         Емельянов А. А., Медведев А. В., Кобзев А.В., Евдокимов О.В., Габзалилов Э.Ф., Авдеев А.С. Моделирование асинхронного двигателя с укладкой обмотки статора (Z1 = 6) через спинку ярма // Молодой ученый. – 2013. – №6. – С. 1-11.

6.         Ануфриев И.Е. и др. MATLAB 7 / Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н.. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 1104 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle