Библиографическое описание:

Жмурова И. Ю., Бесперстова А. Ю. Использование историко-математических сведений в курсе теории чисел // Молодой ученый. — 2013. — №10. — С. 503-506.

Статья посвящена историзации теоретико-числовой подготовки будущего учителя математики.

Ключевые слова: интеграционные связи, историко-математические сведения, гуманитаризация педагогико-математического образования.

Центром современной системы образования и воспитания, бесспорно, является человеческая личность. В связи с этим ключевой фигурой образования становится учитель — носитель общечеловеческих ценностей, созидатель творческой личности. Перемены, происходящие в обществе, их сложность и неоднозначность, ставят учителя перед необходимостью ценностного самоопределения, требуют от него реализации демократических и гуманистических принципов в педагогической деятельности, что обусловливает серьезные перемены в системе подготовки учителя-воспитателя. Новый Федеральный государственный образовательный стандарт высшего педагогического образования существенно расширил возможности вариативной составляющей профессиональной подготовки. Методологической основой нового стандарта явился компетентностный подход. Вузу дано право самостоятельно определять вариативную часть образовательной программы исходя из особенностей научно-педагогических кадров, специфики региона и т. п.

Одним из принципов, на котором основывается политика государства в области образования, является гуманистический характер образования, приоритет общечеловеческих ценностей, свободного развития личности, и, следовательно, одной из основных компонент современной парадигмы математического образования является его гуманитаризация. Гуманитарный подход к математическому образованию способствует формированию у будущего учителя математической культуры, развитию творческих способностей [3]. В этих условиях значительно повышается необходимость создания оптимальной системы интегративного содержания образования и процесса обучения. Интеграция является сегодня одной из определяющих тенденций познавательного процесса. Особенно актуальна эта проблема для высшего педагогико-математического образования.

Одним из средств гуманитаризации педагогико-математического образования является историзация специальной подготовки учителя математики, которая разрешает противоречия аксиологического характера между различными системами ценностей [6].

Культурно-содержательная точка зрения на образование предполагает его исторический характер. Принцип историзма — один из принципов, на который опирается современное, в частности, высшее педагогико-математическое образование. Его роль значительно возрастает на современном этапе перехода общества в информационную стадию развития. Образование должно не только формировать у учащихся знания и опыт интеллектуальной деятельности, но и приобщать их к духовным и культурным ценностям.

Историко-персоналистические знания, знакомство с незаурядными личностными и профессиональными качествами творцов математики, деятелей отечественного (и, в частности, регионального) математического образования позволяют повысить уровень историко-математической и историко-методической компетентности будущего учителя.

Одной из важнейших функций историзации является формирование у будущего учителя математики взгляда на математику и математическое образование как общекультурную ценность. Кроме того, историзация раскрывает перед ним уникальный характер развития отечественной математики, дает повод не только для национальной рефлексии, но и для национальной гордости.

Например, возможности историзации теоретико-числовой подготовки бакалавра педагогического образования связаны, прежде всего, с тем, что теория чисел обладает значительным историческим потенциалом. Теория чисел имеет богатую и драматичную историю. История становления и развития теории чисел связана с именами таких выдающихся ученых, как Евклид, Паскаль, Ферма, Эйлер, Гаусс, Лагранж, Абель и мн. др. Этапы исторического развития теории чисел позволяют обратиться к истории и культуре цивилизаций Древней Греции и Востока, Китая, Индии, Европы. Проблемам теории чисел уделяли большое внимание и отечественные математики — В. Я. Буняковский, П. Л. Чебышев, А. А. Марков, Н. И. Лобачевский, И. М. Виноградов и многие другие. Курс теории чисел содержит значительное число задач, как исторических, так и современных, решение которых позволяет взглянуть на эту науку, как на одну из составляющих общечеловеческой культуры. Многие разделы теории чисел обладают значительным гуманитарным потенциалом. Ее практические приложения неисчерпаемы.

В частности, одним из компонент историзации теоретико-числовой подготовки будущего учителя математики является, по нашему мнению, исследовательская работа историко-математического характера. Итогом такой работы может стать выступление студента на научно-практической конференции, курсовая работа по теории чисел, выпускная квалификационная работа бакалавра. В качестве примера рассмотрим такую тему, как кольцо целых гауссовых чисел.

Гауссовы целые числа (или целые комплексные числа) — комплексные числа, у которых как вещественная, так и мнимая часть — числа целые, были введены Гауссом в 1825 году [7].

Карл Гаусс пришел к мысли о возможности и необходимости расширения понятия целого числа в связи с поиском алгоритмов решения сравнений второй степени.

Он перенес понятие целого числа на числа вида a+bi, где а, b–произвольные целые числа, а i является корнем уравнения x2 + 1 = 0.

На данном множестве Гаусс впервые построил теорию делимости, аналогичную теории делимости целых чисел. Он обосновал справедливость основных свойств делимости; показал, что в кольце комплексных чисел существует только четыре обратимых элемента: 1, –1, i, –i; доказал справедливость теоремы о делении с остатком, теоремы о единственности разложения на простые множители; показал какие простые натуральные числа останутся простыми и в кольце гауссовых чисел Z [i].

В 1796 году девятнадцатилетний Гаусс доказал квадратичный закон взаимности — один из замечательных фактов теории чисел. Квадратичный закон взаимности позволяет исчерпывающим образом исследовать уравнения видa x2aº0(mod b) т. е. найти все целые х, для которых число x2a нацело делится на b.

С 1798 г. Гаусс записывает свои результаты по теории чисел. На эту работу ушло четыре года, и в 1801 г. вышли знаменитые «Арифметические исследования» Гаусса. Эта огромная книга (более 500 страниц крупного формата) содержит основные результаты Гаусса: квадратичный закон взаимности, задачу деления круга, вопросы о представлении целых чисел в виде суммы квадратов. Книга была издана на средства герцога Брауншвейгского и ему посвящена. В изданном виде книга состояла из семи частей. На восьмую часть денег не хватило. В этой части речь должна была идти об обобщении квадратичного закона взаимности на степени выше второй, в частности — о биквадратичном законе взаимности. Полное доказательство биквадратичного закона Гаусс нашел лишь 23 октября 1813 г.

За пределами «Арифметических исследований» Гаусс по существу теорией чисел больше не занимался. Он лишь продумывал и доделывал то, что было задумано в те годы. Например, он придумал еще шесть различных доказательств квадратичного закона взаимности. «Арифметические исследования» сильно опередили свое время. В процессе из создания Гаусс не имел серьезных математических контактов, а вышедшая книга долго не была доступна никому из немецких математиков. Во Франции, где можно было рассчитывать на интерес Лагранжа, Лежандра и др., книге не повезло: обанкротился книготорговец, который должен был распространять книгу, и большая часть тиража пропала. В результате ученикам Гаусса приходилось позднее переписывать отрывки из книги от руки. Положение в Германии стало меняться лишь в сороковых годах, когда Дирихле основательно изучил «Исследования» и читал по ним лекции [2].

«Арифметические исследования» оказали огромное влияние на дальнейшее развитие теории чисел и алгебры. Так, например, отталкиваясь от работы Гаусса о делении круга, Галуа пришел к решению вопроса о разрешимости уравнений в радикалах. Законы взаимности до сих пор занимают одно из центральных мест в алгебраической теории чисел. [1]. Теорию, аналогичную квадратичному закону взаимности, Гаусс пытался построить и для сравнений более высокой степени, например, x4aº0(mod b), и поэтому начал поиски «биквадратичного закона взаимности». Но выяснилось, что хотя это уравнение первоначально изучается в области натуральных чисел, законченный результат практически невозможно даже сформулировать без целых гауссовых чисел. Впоследствии, в 1832 г., Гаусс писал: «После того как мы начали исследовать эти вопросы в 1805 г., (…) мы скоро пришли к убеждению, что (…) для общей теории необходимо в некотором смысле бесконечно расширить область высшей арифметики. Как только мы вступаем в эту область, тотчас же обнаруживается подход к индуктивному нахождению весьма простых и исчерпывающих всю теорию теорем; однако доказательства их скрыты столь глубоко, что их удалось извлечь на свет только после бесплодных попыток» (цит. по [2, с.13]). Область, о которой пишет Гаусс, и есть теория чисел, которые сейчас носят его имя — теория целых гауссовых чисел.

При подготовке выпускной квалификационной работы по данной теме необходимо было доказать основные свойства кольца гауссовых чисел, рассмотреть специфические особенности отношения делимости в этом кольце, выяснить природу простых и составных гауссовых чисел и применить их свойства к решению теоретико-числовых задач. Подобная работа, безусловно, способствовала не только усвоению математических знаний, но и расширению опыта применения этих знаний к решению прикладных задач, повышению как математического, так и общекультурного уровня.

Кроме того, некоторые приложения теории целых гауссовых чисел (представление натурального числа в виде суммы двух квадратов, структура пифагоровых троек и т. п.) могут быть интересны школьникам старших классов и стать основой элективного или факультативного курса для профильной школы [5]. Проектирование подобного курса позволяет реализовать интеграционные связи не только между школьным и вузовским курсами математики, но и между учебной деятельностью студента и профессиональной деятельностью учителя математики [4].

Таким образом, будучи специальным математическим курсом, теория чисел оказывают существенное влияние на формирование математической, методической и педагогической культуры студента, и, следовательно, использование исторических сведений при изучении теории чисел позволяет увидеть в ней не только мощное средство решения прикладных задач и универсальный язык науки, но также и элемент общей культуры.

Литература:

1.      Гиндикин С. Г. Карл Фридрих Гаусс // Квант, 1977, № 8

2.      Гончаров А. Б. Арифметика гауссовых чисел // Квант, 1985, № 12

3.      Дорофеев, С.Н., Давыдова, Н.В., Пильщикова, И. Ю. Гуманитаризация математического образования как фактор повышения качества подготовки будущих инженеров // Известия вузов. Поволжский регион. Гуманитарные науки. 2010. № 2

4.      Жмурова И. Ю. Роль теории чисел в профессиональной подготовке бакалавров педагогического образования по профилю «Математика» // Сборник научных трудов Sworld по материалам международной научно-практической конферениции. 2011. Т. 18, № 2

5.      Жмурова И. Ю., Коршунова Л. А. Элективный курс «Эйлеровы графы» как средство реализации интеграционных связей математики // Молодой ученый, 2013, № 5

6.      Полякова Т. С. История отечественного школьного математического образования. Два века. Кн. I: век восемнадцатый. — Ростов н/Д: Изд–во РГПУ, 1997

7.      Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1982

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle