Библиографическое описание:

Русин А. Ю., Теркин И. А. Метод улучшения оценок метода максимального правдоподобия в автоматизированной системе ремонта электрооборудования // Молодой ученый. — 2013. — №8. — С. 114-117.

В работе [1], [2], была рассмотрена возможность создания адаптивной системы технического обслуживания и ремонта электрооборудования (АСТОР).

Адаптивность системы технического обслуживания и ремонта (ТОР) — это свойство, которое можно охарактеризовать как способность системы самостоятельно настраиваться, приспосабливаться к изменению факторов, характеризующих процесс эксплуатации, условия эксплуатации оборудования, и к изменению надежности электрооборудования (ЭО).

Главная идея состоит в том что адаптивность системы ТОР обеспечивается изменением графика планово-предупредительного ремонта (ППР) в соответствии с изменением надежности оборудования. Это достигается тем, что период между проведением различных плановых работ ТОР рассчитывается по математическим моделям технического обслуживания, текущего и капитального ремонта с учетом функции распределения наработки на отказ, среднего времени восстановления и других показателей надежности эксплуатируемого ЭО. График ППР постоянно корректируется по мере накопления информации о надежности оборудования, работах по ТОР. Исследование оценок параметров функций распределения отказов по малым выборкам и достижение их максимальной точности — очень важная задача при создании системы АСТОР.

Для доказательства адекватности применяемых математических моделей в работе [1] было произведено моделирование отказов оборудования при помощи Программы моделирования отказов, написанной на языке программирования Visual FoxPro для ЭВМ. Исследование точности метода максимального правдоподобия при оценке параметров законов распределения по малым, многократно цензурированным справа выборкам показало что точность оценок параметров закона распределения отказов ЭО не является достаточной. Так например, относительное отклонение от истинного значения (заданного при моделировании) оценок для распределения по закону распределения Вейбулла в 5 % случаев доходит до 10. Таким образом, рассчитанный период ТОР будет значительно отличаться от оптимального.

Автором работы [1] был получен метод увеличения точности оценок, полученных методом максимального правдоподобия. Для построения математических моделей, повышающих точность оценок использовался регрессионный анализ. В результате эксперимента была установлена зависимость между относительным отклонением оценок метода максимального правдоподобия и параметрами, характеризующими структуру выборки. Все параметры измеряются в относительных единицах и не зависят от абсолютных значений случайных величин. Этим достигнута адекватность уравнений регрессии, полученных в эксперименте на ЭВМ с уравнениями регрессии, описывающими аналогичные зависимости для совокупности выборок наработок на отказ, которые должны быть сформированы в автоматизированной системе АСТОР. Экспериментальные данные показали, что после введения поправки, относительные отклонения оценок от истинного значения параметров распределения, в зависимости от вида закона распределения и объема выборки, не превышают 10–30 %, в то время как начальные отклонения могут быть больше 100 %. Исследование эффективности разработанной методики оценки параметров трех законов распределения показало что применение разработанной методики оценки параметров законов распределения отказов ЭО повышает точность оценок максимального правдоподобия экспоненциального распределения в 1,2–2 раза, Вейбулла — 1,5–5 раз, логарифмически нормального — в 1,1–1,5 раз и почти полностью устраняет смещение оценок.

Окончательно можно сделать вывод о том, что применение разработанной методики позволяет увеличить точность оценок максимального правдоподобия в 1,2–5 раз, в зависимости от вида закона распределения, параметра закона распределения и объема выборки.

В работе [1] при проведении исследований и моделировании случайных величин параметры исследуемого и цензурирующего закона распределения формировались с помощью генератора случайных чисел. Это позволило построить универсальные модели, которые можно использовать при расчете показателей надежности оборудования с сильно различающейся средней наработкой до отказа. Повысить эффективность предложенного метода можно путем моделирование случайных величин, близких по значению к показателям надежности исследуемого оборудования, например в области, ограниченной доверительными границами к оценке, рассчитанной по рассмотренной выше методике.

Решение этой задачи представляет собой интервалы значений параметров закона распределения, которые соответствуют выборке значений случайной величины с учетом ее объема и заданной доверительной вероятности.

Для расчета интервальных оценок может быть использован способ предложенный в [3].

В MATLAB Statistics Toolbox расчет точечных оценок параметров выполняется также методом максимального правдоподобия, функция максимального правдоподобия для непрерывной случайной величины примет вид

где f — функция плотности вероятности непрерывной случайной величины X.

Как следует из приведенных выше выражений, функция максимального правдоподобия является функций как выборочных значений , так и определяемых параметров заданного закона распределения.

Рассмотрим численное решение для непрерывной случайной величины на примере расчета параметров нормального закона. Поскольку для оптимизации используется функция минимизации fminsearch [4], то вместо функции максимального правдоподобия L будет использоваться обратная функция 1/L.

Текст обратной функции максимального правдоподобия для нормального закона:

function out=L(param,x)

% обратная функция максимального правдоподобия для нормального закона

Mx=param(1);

sigma=param(2);

out=1;

for i=1:length(x)

out=out*normpdf(x(i),Mx,sigma);

end

out=1/out;

Текст сценария для генерации выборки по нормальному закону и расчета значений параметров соответствующих минимуму обратной функции максимального правдоподобия:

% Генерация выборки по нормальному закону

Mx=1;

sigma=2;

n=20;

x=normrnd(Mx,sigma,n,1);

% Расчет оценок методом максимального правдоподобия

x0= [0 1];

NumDecision=fminsearch(@L,x0, [],x)

AnaliticDecision= [mean(x) std(x)*sqrt((n-1)/n)]

Вектор параметров представлен переменной NumDecision. Для проверки правильности полученного решения переменная AnaliticDecision содержит вектор параметров нормального закона для аналитического решения методом максимального правдоподобия. Вызов файла-сценария:

>> Prim1

NumDecision =

1.0061 1.3717

AnaliticDecision =

1.0061 1.3717

Точечные оценки параметров закона распределения рассчитываются по выборочным данным. Поскольку выборка формируется случайным образом, то и точечные оценки параметров будет случайными величинами. Качество оценок будет определяться способом формирования и объемом выборки.

Для оценки точности расчета параметров параметра закона распределения используются их интервальные оценки. Интервальные оценки принято представлять в виде доверительных интервалов, т. е. интервалов вида ,, где m — число параметров закона распределения. Интервал  представляет границы в которые попадает значение оцениваемого параметра  закона распределения с заданной доверительной вероятностью РД. Или иначе сказанное можно представить в виде

, где α — уровень значимости.

Длина доверительного интервала  выполняет функцию оценки качества получаемых результатов. Малое значение разности говорит о высокой точности полученных результатов. Увеличение значения приводит к невозможности практического использования результатов статистических наблюдений.

Как следует из вышесказанного, длина доверительного интервала оцениваемого параметра зависит от доверительной вероятности, или уровня значимости, и объема выборки. Увеличение объема выборки и уменьшение доверительной вероятности приводит к уменьшению интервала .

Расчет интервальных оценок параметров закона распределения выполняется по следующим этапам:

1)                             по выборке из n элементов рассчитываются точечные оценки, , параметров закона распределения каким либо известным методом, например методом максимального правдоподобия;

2)                             формируется статистика Y, являющаяся функцией оценок параметра, объема выборки n, и имеющая известную функцию распределения F(Y);

3)                             задается доверительная вероятность , как правило, значения принимаются из ряда 0,9, 0,95, 0,99, 0,999, 0,9973;

4)                             рассчитываются квантили статистики Y для вероятностей a/2 и (1–2/a) из соотношений;

5)                             исходя из функциональной зависимости  находят нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала.

Рассмотрим пример расчета интервальных оценок параметров стандартного нормального закона. Приведенные ниже алгоритмы заложены в функцию normfit.

Расчет границ доверительного интервала для математического ожидания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону при неизвестном среднем квадратическом отклонении, выполняется по следующим этапам:

1. для выборки, представленной вектором , методом максимального правдоподобия рассчитываются несмещенные точечные оценки математического ожидания  и среднего квадратического отклонения;

>> x=normrnd(0,1,20,1);

>> xmean=mean(x)

xmean =

0.1161

>> xstd =std(x)

xstd =

0.8773

2. для определения границ доверительного интервала математического ожидания вводится статистика t, распределенная по закону Стьюдента, рассчитываемая по формуле

квадратическое отклонение генеральной совокупности, - случайная величина распределенная по закону хи-квадрат  степенями свободы, n — объем выборки;

3. примем значение доверительной вероятности Pд=0.99;

4. расчет квантилей , статистики t для вероятностей  и  и числа степеней свободы с помощью обратной функции распределения закона Стьюдента:

>> alpha = 1–0.99;

>> n = 20;

>> t1 = tinv(alpha/2,n-1)

t1 =

—2.8609

>> t2 = tinv(1-alpha/2,n-1)

t2 =

2.8609

5. расчет нижней и верхней границ доверительного интервала математического ожидания случайной величины Х по формулам, ,:

>> mu_low = xmean + t1*xstd/sqrt(n)

mu_low =

—0.4451

>> mu_high = xmean + t2*xstd/sqrt(n)

mu_high =

0.6774

Данный алгоритм может быть применен для улучшения оценок, полученных методом максимального правдоподобия в Программе моделирования отказов электрооборудования, написанной на языке Visual FoxPro.

Литература:

1.                                Русин А. Ю. Имитационное моделирование отказов электрооборудования с целью повышения эффективности системы технического обслуживания и ремонта.- Тверь, 1999.- С. 36–89.

2.                                Русин А. Ю. Адаптивная система планово-предупредительного ремонта электрооборудования на персональной ЭВМ: Тез.докл. 2-ой науч.-техн. конф. молодых ученых и специалистов ТвеПИ. 13–14 мая 1991 г.- Тверь, 1991.- С.49 -50.

3.                                Matlab в инженерных и научных рассчетах / А. Ф. Дащенко, В. Х. Кириллов, Л. В. Коломиец, В. Ф. Оробей. — Одесса: Астропринт, 2003. — 212 с.

4.                                Баталова З. Г. Анализ точности метода максимального правдоподобия для случайно цензурированных выборок // Статистические методы обработки результатов наблюдений при контроле качества и надежности машин и приборов.- Л.: ЛДНТП, 1979.

5.                                Чен К. Matlab в математических исследования / К. Чен, П. Джиблин, А. Ирвинг. — М.: Мир, 2001. — 341 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle