Библиографическое описание:

Гайбуллаев Р. К. О дискретном спектре одного матричного оператора // Молодой ученый. — 2013. — №7. — С. 1-2.

В рамках проблемы нескольких тел на непрерывном пространстве и на решетке решено большое число задач о собственных значениях для систем квазичастиц, число которых сохраняется. Однако имеются в определенном смысле более интересные задачи, возникающие в теории твердого тела, в которых число квазичастиц не сохраняется . Следует отметить, что системы с несохраняющимся ограниченным числом частиц на непрерывном пространстве рассмотрены в работах .

Гамильтонианы системы с сохраняющимся ограниченным числом квазичастиц (на примере модели Гейзенберга и Хаббарда ) и несохраняющимся ограниченным числом квазичастиц на решетке (на примере s-d модели ) приводят к матричным операторам. Поэтому исследование спектральных свойств таких операторов играет важную роль в современной математической физике.

В настоящей работе рассматривается некоторый матричный оператор. Описывается множества собственных значений этого оператора и задача состоит в обосновании этих описаний.

Пусть  — трехмерный куб,  — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на , С — одномерное комплексное пространство.

Обозначим через  прямую сумму пространств  и , т. е. .

Определение. Гильбертово пространство  называется “двухчастичным обрезанным подпространством пространства Фока.

Рассмотрим оператор , действующий в гильбертовом пространстве  и задающийся как операторная матрица

где операторы  определяются по формулам

Здесь , a — фиксированное вещественное число,  вещественнозначная непрерывная (ненулевая) функция на , а функция  определена по формуле

Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования.

В математической физике оператор  называется оператором уничтожения, а оператор  называется оператором рождения.

Оператор возмущения  оператора  является самосопряженным оператором ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Г.Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечнего ранга вытекает, что существенный спектр оператора  совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что

.

Из последних двух фактов следует, что

.

При каждом фиксированном  определим регулярную  функцию

(детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором )

.

Теперь установим связь между собственными значениями оператора  и нулями функции . Верна следующая

Лемма 1. Число  является собственным значением оператора  тогда и только тогда, когда .

Из леммы 1 вытекает, что для дискретного спектра  оператора  имеет место равенство

.

Отметим, что для любого  справедливо неравенство , отсюда следует, что

,

а также

при .

Так как функция  имеет единственный невырожденный минимум в точке  имеет единственный невырожденный максимум в точке  а также функция  есть непрерывная функция на , то

,

являются конечными интегралами.

При  положим

а также при  положим

Следующие теоремы описывают множества собственных значений оператора .

Теорема 1. 1) Пусть  Тогда при всех значениях  оператор  имеет единственное простое отрицательное собственное значение;

2) Пусть . Тогда для любого  оператор  не имеет отрицательных собственных значений, а при всех значениях  оператор  имеет единственное простое отрицательное собственное значение.

Теорема 2. 1) Пусть . Тогда при всех значениях  оператор  имеет единственное простое собственное значение, лежащее правее точки ;

2) Пусть . Тогда для любого  оператор  не имеет собственных значений, лежащее правее точки , а при всех значениях  оператор  имеет единственное простое собственное значение, лежащее правее точки .

Доказательство теоремы 1 и 2 основаны на свойствах функции  и леммы 1.

Замечание. Из теоремы 1 и 2 видно, что если , то при всех значениях  оператор  имеет две простых собственных значений, лежащих левее точки  и правее точки , соответственно.

Литература:

1.                 Изюмов Ю. А., Медведев М. В. Магнитный полярон в ферромагнитном кристалле. Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1970, вып. 2(8), 553–560.

2.                 Minlos R. A., Spohn H. The Three-Body Problem in Radioactive Decay: The Case of One Atom and At Most Two Photons. Amer. Math. Soc. Transl. 177 (1996), pp. 159–193.

3.                 Жуков Ю. В., Минлос Р. А. Спектр и рассеяние в модели “спин-бозон” с не более чем тремя фотонами. Теоретическая и математическая физика, 103 (1995), No 1, c. 63–81.

4.                 Mattis D. The few-body problem on a lattice. Rev. Modern Phys., 58 (1986), pp. 361–379.

5.                 Lieb E. Two theorems of the Hubbard model. Phys. Rev. Lett. 62 (1989), pp. 1201–1204.

6.                 Mogilner A. J. Hamiltonians in Solit-State Physics as Multi-particle Discrete Shro’dinger Operators: Problems and Results. Adances in Soviet Mathematics, 5 (1991), pp. 139–194.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle