Библиографическое описание:

Кожокарь О. А. Изучение функциональной линии в курсе алгебры средней школы на основе метаметодического подхода (на примере функции вида y=kx) // Молодой ученый. — 2013. — №7. — С. 384-387.

«Язык изменчив, как изменчива сама жизнь» — с такого высказывания С. Маршака начинается изложение материала в учебнике русского языка 7 класса. Чтобы учащиеся осознали, что язык — изменяющееся со временем явление, в учебнике приводятся следующие мысли о всеобщей зависимости и изменчивости окружающих нас процессов: «Всё живое в природе находится в постоянном движении, развитии, изменении. Маленький жёлудь, попав в землю, со временем может превратиться в хрупкое деревце. Пройдут годы, и оно станет могучим развесистым дубом … Так происходит и в природе, и в человеческом обществе, в котором с течением времени меняются уклад, обычаи, развиваются культура, наука» [10, с. 3]. На разных учебных предметах учащиеся знакомятся с реальными процессами, протекающими в природе, обществе и технике. Другими словами, изучают различные зависимости. Среди этих зависимостей немало функциональных, например, все процессы, зависящие от времени, являются функциональными зависимостями.

Функциональная линия — одна из основных содержательных линий школьного курса алгебры. Изучение функциональной линии имеет общекультурное, мировоззренческое значение. С помощью функции описываются многие реальные процессы. В истории математики уточнение и обобщение понятия «функция», появление новых видов функций было связано с необходимостью описания вновь открытых законов природы. То есть, на уроках алгебры целесообразно устанавливать связь функции и реальных процессов, это будет способствовать естественному пути построения математических знаний у учащихся.

Изучение функциональной линии на уроках алгебры начинается в 7 классе, но к моменту изучения ребёнок уже имеет опыт работы с зависимостями. Например, по пути в школу, ребёнок может рассуждать о том, быстро или медленно ему надо идти в зависимости от того, опаздывает он или нет. Уже с начальной школы на разных предметах учащиеся неявно знакомятся с зависимостями: результат зависит от компонентов действий, спряжение глагола зависит от того, какая буква стоит перед –ть в неопределённой форме глагола и т. д. В учебниках для 7 класса рассматривается множество зависимостей. Например, из учебника обществознания можно узнать, что величина переменных затрат зависит от изменения объёма выпуска продукции [7, с.111], в учебнике физики рассматривается зависимость веса тела от его массы [11, с.78]. В учебнике географии подробно описана зависимость климата территории от широтного положения, влияния океана, преобладающих ветров и рельефа [5, с.69]; зависимость русской культуры от церкви описывается в учебнике истории [6, с. 75]. В каждом приведённом примере рассматривается зависимость между множествами определённой природы. Среди перечисленных зависимостей есть и функциональные, есть и те, которые можно описать с помощью формулы. Математика позволяет обобщить все эти зависимости — рассматривает множества любой природы.

Таким образом, при изучении функции на уроках алгебры у учащихся появляется возможность обобщить представления о зависимостях, полученные в повседневной жизни и из других предметов. Это позволит научиться мыслить в терминах переменных и зависимостей, развить представление о взаимной зависимости величин — что сыграет огромную роль в познании ребёнком реального мира и повысит уровень усвоения учащимися функциональной линии.

Кроме того, в ФГОС второго поколения делается акцент на активном использовании учащимися знаний, полученных при изучении одного учебного предмета, на других учебных предметах и в жизни.

Проведённый нами анализ учебников алгебры 7 класса позволил сделать вывод, что в учебниках мало внимания уделяется связи линейной функции с реальными процессами, в некоторых учебниках эта связь вообще отсутствует. В рамках учебников не учитывается субъектный опыт ребёнка.

Из вышесказанного следует, что при изучении функциональной линии на уроках алгебры необходимо, во-первых, устанавливать связь с жизненными представлениями учащихся, так как в субъектном опыте учащихся накоплен довольно большой запас зависимостей, в том числе функциональных, во-вторых, устанавливать связь с содержанием других учебных предметов.

Реализовать такую связь можно с помощью метаметодического подхода к образовательному процессу. В рамках метаметодического подхода интеграция осуществляется в двух направлениях: «интеграция общественно-исторического опыта, реализуемого в разных учебных предметах с сохранением специфика каждого, и интеграция общественно-исторического опыта и субъектного опыта учеников» [8].

Установление такой связи полезно в первую очередь для усвоения алгебры, так как она больше всего оторвана от жизни. Но и на других учебных предметах полезно учитывать изученные на уроках алгебры связи между величинами. Рассмотрим пример из учебника физики. В начале изучения темы «Расчёт массы и объёма тела по его плотности» автор учебника выделяет практическую значимость изучения темы: «Инженер, создавая машину, заранее по плотности и объёму материала может рассчитать массу будущей машины. Строитель может определить, какова будет масса строящегося здания» [11, с.65]. Эти примеры, безусловно, важны, показывают применение данной темы в строительстве и машиностроении. Но при таком пояснении не выделяется зависимость массы тела от его объёма, учащиеся воспринимают формулу m= pV статично, как инструмент для разовых вычислений. А в реальной жизни, такие характеристики, как масса и объём строения могут использоваться именно во взаимной зависимости и изменении. Например, известно, что Александровская колонна, расположенная на Дворцовой площади установлена без всяких креплений, держится за счёт собственного веса. В проектировании колонны был важен точный расчёт архитектора. Архитектор, занимаясь проектом колонны, имел дело с зависимостями, необходимо было соотнести высоту, диаметр и массу колонны, чтобы она могла держаться за счёт собственной силы тяжести. Можно предложить учащимся на уроке физики разработать один из вариантов проектирования колонны — с использованием формулы m= pV. Масса тела прямо пропорциональна его объёму, то есть зависимость массы от объёма является функцией вида y=kxиобладает следующей особенностью: при увеличении (уменьшении) объёма тела в какое-то число раз, масса тела увеличивается (уменьшается) в то же число раз. В учебнике физики нет даже упоминания о том, что данная зависимость относится к линейной функции, а именно к прямой пропорциональности. Физика изучает явления природы, то есть изменения, происходящие с телами и веществами в окружающем мире. То есть каждая тема, изучаемая на уроках физики, связана с зависимостями. Явления природы изучает не только физика, но и другие науки — биология и география. Выше были приведены примеры, подтверждающие наличие зависимостей и в учебниках по другим учебным предметам. В идеале для реализации метаметодического подхода требуется создание временных научно-исследовательских коллективов (ВНИКов) из учителей-предметников разных дисциплин, работающих на одной параллели [8]. А у учителей не всегда есть возможность и желание работать совместно. С целью решения этой проблемы нами были разработаны основные положения реализации метаметодического подхода к изучению функциональной линии на уроках алгебры:

1)                           понятие «функция» вводится на основе этапов формирования межпредметных и подчинённых им понятий;

2)                           частные виды функциональных зависимостей вводятся на основе выделенных требований к введению частных видов функций.

Этапы формирования межпредметных и подчинённых им понятий были подробно описаны нами в работе [9]. В данной статье остановимся на требованиях к введению частных видов функций. Раскроем эти требования и рассмотрим их реализацию на примере введения линейной функции.

Требование 1. Изучение частных видов функций начинается с рассмотрения ситуаций, связанных с субъектным опытом ребёнка.

Одно из направлений реализации метаметодического подхода — интеграция субъектного и общественно-исторического опыта. Чем теснее обучение связано с субъектным опытом ребёнка, тем осмысленнее происходит усвоение им новых знаний.

При изучении функции вида y=kx можно предложить ситуации, с которыми учащиеся встречаются в школьной жизни, например, стоимость нескольких одинаковых пирожков в столовой прямо пропорциональна количеству купленных пирожков.

Требование 2. При рассмотрении реальной ситуации на её основе формулируется задача.

Для того чтобы каждый ребёнок мог понять специфику реальной ситуации лишь обозначить такую ситуацию недостаточно. Необходимо создать условия, чтобы каждый учащийся мог решить задачу, сформулированную на основе данной ситуации.

Например: Один пирожок в столовой стоит 12 рублей. Сколько стоят пять пирожков? Семь пирожков? Ты купил в 2 раза больше пирожков, чем твой друг. Во сколько раз больше тебе надо будет заплатить?

Требование 3. Задачи рассматриваются в определённой последовательности.

Реализация метаметодического подхода предполагает интеграцию содержания различных учебных предметов. В учебниках рассматриваются различные зависимости, с какими-то процессами учащиеся уже знакомы на момент изучения функции вида y=kx, а какие-то ещё предстоит изучить. Для более эффективного усвоения знаний, задачи, сформулированные на основе этих процессов целесообразно предлагать учащимся в следующей последовательности:

1)                 «детские» задачи: задачи, сформулированные на основе процессов, которые возможно не существуют в природе в силу определённых условий, но тесно связаны с субъектным опытом ребёнка. Решая такие задачи, учащиеся могут интуитивно выделить похожие задачи, то есть задачи, сформулированные на основе реальных процессов, которые описываются с помощью одной и той же функции.

К «детским» задачам относятся и задачи, сформулированные на основе зависимостей, взятых из учебников 7 класса по разным предметам. Зависимости необходимо выбирать из уже пройденного материала на момент изучения функции вида y=kx. Например, на основе материала, представленного в учебнике биологии можно составить следующую задачу: Известно, что губки могут питаться взвешенными в воде частичками тел отмерших растений и животных, активно фильтруя воду, осуществляя тем самым санитарные функции в водоёме. За сутки одиночная губка фильтрует до 20 л воды. Допустим, что Пресноводная губка бадяга фильтрует 18 л воды в сутки. Сколько литров воды эта губка отфильтрует за 3 дня? За неделю?

2)                 задачи, придуманные учащимися самостоятельно. Самостоятельное конструирование учащимися задач позволит выявить, встроились ли новые знания в субъектный опыт ребёнка, а именно, сумели ли учащиеся интуитивно выделить особенность процессов, на основе которых были сформулированы задачи, и применить полученные знания.

3)                 «реальные» задачи: задачи, сформулированные на основе реальных процессов, по возможности с достоверными данными.

Здесь рассматриваются процессы, которые встречаются в разных учебных предметах и которые можно описать формулой. Зависимости могут быть уже пройдены детьми, а могут изучаться позже, в том числе в следующих классах. Рассмотрим пример задачи, сформулированной на основе зависимости из курса физики: Денис едет на велосипеде со скоростью 20 км/ч. За 6 минут он может доехать от дома до школы, а за 10 минут от дома до стадиона. Какой путь надо проделать Денису от дома до школы? От дома до стадиона? От дома до бассейна Денис едет в 2 раза дольше, чем от дома до школы. Во сколько раз путь от дома до бассейна больше, чем путь от дома до школы?

Требование 4.После решения «детских задач» и задач, придуманных детьми, формулируется особенность процессов, которые описываются с помощью изучаемой функции.

Особенности процессов позволяют установить связь между математической функцией и реальными процессами. Особенность процессов, описывающихся функцией вида y=kx, формулируется следующим образом: при увеличении (уменьшении) одной величины в какое-то число раз, другая величина увеличивается (уменьшается) в то же число раз. Данная особенность верна только для положительных значений x и y. В дальнейшем, когда будет осуществлён переход на математическую формулировку, необходимо обратить внимание учащихся на этот факт.

Требование 5.На основе выделенной особенности процессов, после решения «реальных» задач, записывается характеристическое свойство функции.

Замена особенности процессов характеристическим свойством — ещё один шаг к установлению связи между числовой функцией и реальными процессами. Учащимся предлагается набор заданий, в результате выполнения которых они смогут заменить особенность процессов на характеристическое свойство: .

Требование 7.Из характеристического свойства функции выводится формула.

Пользуясь свойствами пропорции, характеристическое свойство можно записать так:  = k. Из этого равенства выводится формула y= kx.

Требование 8.На заключительном этапе введения частных видов функций выполняются упражнения на распознавание введённой функции среди зависимостей, рассматриваемых на разных учебных предметах.

Учащимся можно предложить самостоятельно или с помощью учителя найти в учебниках по разным предметам зависимости и объяснить, описываются ли они функцией вида y= kx.

Описанные выше требования необходимо соблюдать при введении каждого частного вида функции, изучаемого на уроках алгебры. Такой подход будет обеспечивать целостность образовательного процесса, интеграцию различных учебных предметов, и способствовать реализации требований ФГОС второго поколения.

Литература:

1.                  Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — М.: Мнемозина, 2009.

2.                  Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учрежедний / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин]. — М.: Просвещение, 2012.

3.                  Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений. / под ред. С. А. Теляковского. — М.: Просвещение, 2009.

4.                  Биология. Животные. 7 кл.: учеб. Для общеобразоват. учреждений / В. В. Латюшин, В. А. Шапкин. — М.: Дрофа, 2009.

5.                  География: Материки и океаны: в 2 ч. Ч.1. Планета, на которой мы живём. Африка. Австралия: учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений / Е. М. Домогацких, Н. И. Алексеевский. — М.: ООО «Русское слово — учебник», 2012.

6.                  История России: конец XVI — XVIII век: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений /А. А. Данилов, Л. Г. Косулина. — М.: Просвещение, 2008.

7.                  Обществознание: человек, право, экономика: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений /под ред. Л. Н. Боголюбова, Л.Ф, Ивановой. — 4-е изд. — М.: Просвещение, 2008.

8.                  Подходова Н. С. Метаметодическая модель школы (в контексте образовательных стандартов второго поколения) // Письма в Эмиссия.оффлайн, 2010.

9.                  Подходова Н. С., Иванова О. А. Проблемы формирования межпредметных понятий при изучении математики // Письма в Эмиссия.Оффлайн, 2013.

10.              Русский язык. 7 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений / под ред. М. М. Разумовской, П.А, Леканта. — М.: Дрофа, 2010.

11.              Физика. 7кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений /А. В. Перышкин. — М.: Дрофа, 2012.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle