Библиографическое описание:

Емельянов А. А., Медведев А. В., Кобзев А. В., Бочкарев Ю. П., Евдокимов О. В. Моделирование асинхронного двигателя с помощью магнитных и электрических схем замещения с двумя пазами на полюс и фазу // Молодой ученый. — 2013. — №5. — С. 4-16.

Данная работа является продолжением работ [1], [2] и [3]. В работе [4] рассматривалось моделирование двухполюсного асинхронного двигателя с числом пазов на полюс и фазу q = 1. В этом случае размерность квадратной матрицы А равна девяти. В данной работе с увеличением числа пазов на полюс и фазу до двух размерность квадратной матрицы А, как будет показано ниже, возрастет до пятнадцати, что существенно расширит требования к инструментарию при программировании. В данной работе будет представлено сравнение характеристик линейного асинхронного двигателя с разомкнутым магнитопроводом, приведенного в работе [3], с круговым асинхронным двигателем. В обоих случаях расчет проводился с помощью магнитных и электрических схем замещения.

В пакете учебных программ по матрицам при подготовке студентов к исследовательской работе данная статья, на наш взгляд, займет важной место.

На рис.1,а показана линейная развертка кругового асинхронного двигателя с одной парой полюсов (2р = 2) и двумя числами пазов на полюс и фазу (q = 2). На рис. 1,б дана его магнитная схема замещения, где токи и потоки на входе двигателя являются соответствующими токами и потоками на его выходе.

Запишем основные уравнения для «n»-ого участка схемы замещения.

Баланс магнитных напряжений магнитной цепи

 — контурные магнитные потоки;

 — магнитные сопротивления воздушных участков;

 — магнитодвижущая сила, созданная статорным током , протекающим по всем проводникам паза ();

– в шунтирующих зонах;

 — М. Д. С. тока ротора в стержне ().

Баланс М. Д. С. для «n»-го участка имеет следующий вид:

.

Отсюда ток в стержне ротора определится по следующему выражению:

                        .                            (1)

Рис. 2. Магнитная схема замещения

Уравнение баланса напряжений электрической цепи ротора

                                                                (2)

Выразим производные во времени через конечные разности:

,

где      n — номер зубцового деления;

k — номер шага разбиения по времени.

В формуле (2) скорость подвижного элемента принимаем равным  и в пределах «k» интервала считается постоянным.

Производные по пространственной координате «х» выразим через центральные конечные разности:

.

С учетом вышеприведенных замечаний уравнение (2) примет следующий вид:

                (3)

Исключим из уравнения (3) токи в роторе. Для этого подставим выражение (1) в уравнение (3) и получим:

      (4)

Это уравнение может быть реализовано при произведении матрицы А, элементы которой записаны в квадратных скобках, на матрицу-столбец из потоков (Ф) и токов статорной обмотки. Правая часть уравнения (4) формирует матрицу-столбец S из свободных членов в (k-1) момент времени. Матрица-столбец Х сформирована из первых двенадцати элементов, которые соответствуют потокам, а с 13 по 15 — токам iА, iВ, iС. Общий вид матриц при числе пазов на полюс и фазу q = 2 и числе полюсов 2р = 2 примет следующий вид:



Матрица А

Х

S

a1,1

a1,2

a1,3

0

0

0

0

0

0

0

a1,11

a1,12

a1,13

0

a1,15

×

x1=Ф1

=

s1

a2,1

a2,2

a2,3

a2,4

0

0

0

0

0

0

0

a2,12

a2,13

a2,14

0

x2=Ф2

s2

a3,1

a3,2

a3,3

a3,4

a3,5

0

0

0

0

0

0

0

a3,13

a3,14

0

x3=Ф3

s3

0

a4,2

a4,3

a4,4

a4,5

a4,6

0

0

0

0

0

0

0

a4,14

a4,15

x4=Ф4

s4

0

0

a5,3

a5,4

a5,5

a5,6

a5,7

0

0

0

0

0

0

a5,14

a5,15

x5=Ф5

s5

0

0

0

a6,4

a6,5

a6,6

a6,7

a6,8

0

0

0

0

a6,13

0

a6,15

x6=Ф6

s6

0

0

0

0

a7,5

a7,6

a7,7

a7,8

a7,9

0

0

0

a7,13

0

a7,15

x7=Ф1

s7

0

0

0

0

0

a8,6

a8,7

a8,8

a8,9

a8,10

0

0

a8,13

a8,14

0

x8=Ф2

s8

0

0

0

0

0

0

a9,7

a9,8

a9,9

a9,10

a9,11

0

a9,13

a9,14

0

x9=Ф3

s9

0

0

0

0

0

0

0

a10,8

a10,9

a10,10

a10,11

a10,12

0

a10,14

a10,15

x10=Ф4

s10

a11,1

0

0

0

0

0

0

0

a11,9

a11,10

a11,12

a11,13

0

a11,14

a11,15

x11=Ф5

s11

a12,1

a12,2

0

0

0

0

0

0

0

a12,10

a12,11

a12,12

a12,13

0

a12,15

x12=Ф6

s12

a13,1

a13,2

0

0

a13,5

a13,6

a13,7

a13,8

0

0

a13,11

a13,12

a13,13

0

a13,15

x13=iA

s13

0

0

a14,3

a14,4

a14,5

a14,6

0

0

a14,9

a14,10

a14,11

a14,12

0

a14,14

a14,15

x14=iC

s14

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

x15=iB

s15

Так как в асинхронном двигателе сопротивления на всех зубцовых делениях одинаковы Rn=Rб, то уравнение (4) примет следующий вид:

        (5)

Введем следующие обозначения:

-        Элементы матрицы А, перемножаемые на потоки матрицы-столбца Х:

-                   Элементы матрицы А, перемножаемые на токи ia, ib, ic матрицы Х:

-                   Элементы матрицы-столбца свободных членов S:

С учетом обозначений уравнение (5) примет следующий вид:

   (6)

Уравнение (6) позволит определить для первых двенадцати строк элементы матрицы А и с первой по двенадцатый элементы матрицы-столбца S, для этого последовательно зададимся n:

n = 1.

Запишем элементы матрицы А:

a1,1=B; a1,2=C; a1,3=D; a1,11=-D; a1,12=E; a1,13=М; a1,15=T.

В правой части сформирован элемент s1 матрицы-столбца S:

.

Примечание: Условно в начале обмотки принимаем знак «+», а в конце — «–», поэтому в элементе a1,15 появилось умножение на (-1) в соответствии с рис.1,а.

n = 2.

Отсюда элементы матрицы А:

a2,1=E; a2,2=B; a2,3=C; a2,4=D; a2,12=-D; a2,13=N; a2,14=T• (-1).

Второй элемент s2 матрицы-столбца S:

.

Аналогично, задаваясь n от 3 до 12 получим:

a3,3= a4,4= a5,5= a6,6=a7,7= a8,8= a9,9= a10,10=a11,11= a12,12=B;

a3,4= a4,5= a5,6= a6,7=a7,8= a8,9= a9,10= a10,11=a11,12= a12,1=С;

a3,5= a4,6= a5,7= a6,8=a7,9= a8,10= a9,11= a10,12=a11,1= a12,2=D;

a3,2= a4,3= a5,4= a6,5=a7,6= a8,7= a9,8= a10,9=a11,10= a12,11= a1,12=E;

a3,1= a4,2= a5,3= a6,4=a7,5= a8,6= a9,7= a10,8=a11,9= a12,10= a1,11= a2,12=-D;

a3,13= a6,13= a7,15= a10,15=a11,14=-T;

a3,14= a7,13= a11,15=-M;

a4,14= a6,15= a10,14=N;

a5,14=a8,14= a9,13=a12,13=a4,15=T;

a1,13=a5,15=a9,14=M.

Элементы матрицы-столбца свободных членов S:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Элементы 13 и 14 строк матрицы А и элементы s13 и s14 матрицы-столбца S формируются из баланса напряжения электрической цепи статорной обмотки. Если обмотка индуктора питается от трехфазного напряжения с соединением в «звезду» без нулевого провода, то

        (7)

где   

С учетом шага по времени Δt в k-ый момент времени:

Уравнения (7) при выражении производных по времени через конечные разности примут следующий вид:

где

Обозначим rs+Lst=KS, тогда

a13,1= a13,2= a13,11= a13,12=U;

a13,5= a13,6= a13,7= a13,8=-U;

a13,13=KS;

a13,15=-KS;

Правая часть определяет свободный член s13 матрицы-столбца S:

Аналогично, для второго уравнения (7) определим элементы 14 строки матрицы А и элемент s14 матрицы-столбца S:

Тогда:

a14,3= a14,4= a14,5= a14,6=U;

a14,9= a14,10= a14,11= a14,12=-U;

a14,14= -KS;

a14,15=KS;

Правая часть определяет свободный член s14 матрицы-столбца S:

.

Наконец, сумма токов определяет элементы пятнадцатой строки матрицы А и элемент s15 матрицы-столбца S.

Окончательно, матрица А примет следующий вид, удобный для программирования в MatLab:

А=

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

-D

E

M

0

T

E

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

-D

N

-T

0

-D

E

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

-T

-M

0

0

-D

E

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

-N

T

0

0

-D

E

B

C

D

0

0

0

0

0

0

T

M

0

0

0

-D

E

B

C

D

0

0

0

0

-T

0

N

0

0

0

0

-D

E

B

C

D

0

0

0

-M

0

-T

0

0

0

0

0

-D

E

B

C

D

0

0

-N

T

0

0

0

0

0

0

0

-D

E

B

C

D

0

T

M

0

0

0

0

0

0

0

0

-D

E

B

C

D

0

N

-T

D

0

0

0

0

0

0

0

-D

E

B

C

0

-T

-M

C

D

0

0

0

0

0

0

0

-D

E

B

T

0

-N

U

U

0

0

-U

-U

-U

-U

0

0

U

U

KS

0

-KS

0

0

U

U

U

U

0

0

-U

-U

-U

-U

0

-KS

KS

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

Неизвестные переменные (потоки и токи в статорной обмотке) в k-ый момент времени определяется в результате следующей операции с матрицами:

X=A-1S,

Далее, подставляя в уравнение (1) n = 1… 12, определяем токи в роторе:

Электромагнитные усилия на зубцовом делении определяются по следующим формулам:

          

          

          

    

Суммарное усилие:

Скорость в k-ый момент времени:

Произведем построение математической модели асинхронного двигателя методом Гаусса-Жордана с использованием языка программирования MatLab. Ниже приведен пример кода:

function AD_q_2

% Начальные условия

Rb=0.1003*10^7;

rs=19;

Ls=0.074;

rr=9.269*10^-5;

Lr=0.00372*10^-5;

dt=0.001;

tz=9.769*10^-3;

m=1.9;

v0=0;

wn=200;

f=50;

w=2*pi*f;

U=wn/dt;

Um=310;

X=zeros(15,1);

F=0;

K=input('длительность цикла k=');

for k=1:(K+1)

    v(1,k)=v0;                  % Создание вектор-строки для графика скорости

    f(1,k)=sum(F);              % Создание вектор-строки для графика усилия

    Uab=Um*cos(w*(k-1)*dt+2*pi/3);

    Ubc=Um*cos(w*(k-1)*dt);

% Заполнение матрицы А

A=zeros(15);

B=2*Rb*(rr+Lr/dt)+1/dt;

C=-Rb*(rr+Lr/dt)+(2*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

D=-Rb*Lr*v0/(2*tz);

E=-Rb*(rr+Lr)-(2*Rb*Lr+1)*v0/(2*tz);

T=-wn*Lr*v0/(2*tz);

F1=-wn*(rr+Lr/dt);

M=F1+T;

N=-T+F1;

KS=rs+Ls/dt;

W=-wn*Lr/dt;

P=-Rb*Lr/dt;

Q=(2*Rb*Lr+1)/dt;

% Заполнение матрицы сопротивлений 

for n=1:12

    A(n,n)=B;

end;

for n=1:11

    A(n,n+1)=C;

    A(n+1,n)=E;

end;

for n=1:10

    A(n,n+2)=D;

    A(n+2,n)=-D;

end;

for n=1:2

    A(n,n+10)=-D;

    A(n+10,n)=D;

end;

A(1,12)=E;

A(12,1)=C;

% Заполнение столбцов 13,14 и 15 матрицы А

for n=1:2

    A(4-n,n+12)=-T;

    A(6-n,n+13)=T;

    A(10-n,n+12)=T;

    A(12-n,n+13)=-T;

    A(n,13)=(2-n)*M+(n-1)*N;

    A(n+2,14)=(n-2)*M+(1-n)*N;

    A(n+4,15)=(2-n)*M+(n-1)*N;

    A(n+5,13)=(n-2)*T+(1-n)*M;

    A(n+8,14)=(2-n)*M+(n-1)*N;

    A(n+10,15)=(n-2)*M+(1-n)*N;

end;

A(1,15)=T;

A(7,15)=-T;

A(8,13)=-N;

A(12,13)=T;

for n=1:2

   A(12+n,12+n)=((-1)^(n+1))*KS;

    A(12+n,15)=((-1)^n)*KS;

end;

for n=1:3

    A(15,n+12)=1

end;

% Заполнение строк 13 и 14 матрицы А

for n=1:4

    A(13,n+4)=-U;

    A(14,n+2)=U;

    A(14,n+8)=-U;

end;

for n=1:2

    A(13,n)=U;

    A(13,n+10)=U;

end;

% Матрица свободных членов

S=[W*X(13)+P*(X(12)+X(2))+Q*X(1);

   W*X(13)+P*(X(1)+X(3))+Q*X(2);

   W*(-1)*X(14)+P*(X(2)+X(4))+Q*X(3);

   W*(-1)*X(14)+P*(X(3)+X(5))+Q*X(4);

   W*X(15)+P*(X(4)+X(6))+Q*X(5);

   W*X(15)+P*(X(5)+X(7))+Q*X(6);

   W*(-1)*X(13)+P*(X(6)+X(8))+Q*X(7);

   W*(-1)*X(13)+P*(X(7)+X(9))+Q*X(8);

   W*X(14)+P*(X(8)+X(10))+Q*X(9);

   W*X(14)+P*(X(9)+X(11))+Q*X(10);

   W*(-1)*X(15)+P*(X(10)+X(12))+Q*X(11);

   W*(-1)*X(15)+P*(X(11)+X(1))+Q*X(12);

  (X(1)+X(2)-X(5)-X(6)-X(7)-X(8)+X(11)+X(12))*U+(Ls/dt)*(X(13)-X(15))+Uab;

  (X(5)+X(6)-X(11)-X(12)-X(9)-X(10)+X(3)+X(4))*U+(Ls/dt)*(X(15)-X(14))+Ubc;

   0];

% Решение методом Гаусса-Жордана

Z=rref([A S]);

X=Z(1:15,16:16);

% Матрица токов ротора

Ir=[-wn*X(13)-Rb*X(12)+2*Rb*X(1)-Rb*X(2);

-wn*X(13)-Rb*X(1)+2*Rb*X(2)-Rb*X(3);

-wn*(-1)*X(14)-Rb*X(2)+2*Rb*X(3)-Rb*X(4);

-wn*(-1)*X(14)-Rb*X(3)+2*Rb*X(4)-Rb*X(5);

-wn*X(15)-Rb*X(4)+2*Rb*X(5)-Rb*X(6);

-wn*X(15)-Rb*X(5)+2*Rb*X(6)-Rb*X(7);

-wn*(-1)*X(13)-Rb*X(6)+2*Rb*X(7)-Rb*X(8);

-wn*(-1)*X(13)-Rb*X(7)+2*Rb*X(8)-Rb*X(9);

-wn*X(14)-Rb*X(8)+2*Rb*X(9)-Rb*X(10);

-wn*X(14)-Rb*X(9)+2*Rb*X(10)-Rb*X(11);

-wn*(-1)*X(15)-Rb*X(10)+2*Rb*X(11)-Rb*X(12);

-wn*(-1)*X(15)-Rb*X(11)+2*Rb*X(12)-Rb*X(1)];

% Электромагнитное усилие

F=[(X(2)-X(12))*Ir(1)/(2*tz);

   (X(3)-X(1))*Ir(2)/(2*tz);

   (X(4)-X(2))*Ir(3)/(2*tz);

   (X(5)-X(3))*Ir(4)/(2*tz);

   (X(6)-X(4))*Ir(5)/(2*tz);

   (X(7)-X(5))*Ir(6)/(2*tz);

   (X(8)-X(6))*Ir(7)/(2*tz);

   (X(9)-X(7))*Ir(8)/(2*tz);

   (X(10)-X(8))*Ir(9)/(2*tz);

   (X(11)-X(9))*Ir(10)/(2*tz);

   (X(12)-X(10))*Ir(11)/(2*tz);

   (X(1)-X(11))*Ir(12)/(2*tz)];

% Скорость

v0=v0+(sum(F)/m)*dt;

end;

% Построение графиков

   k=0:(K);

   subplot(2,1,1);

   plot(k*dt,v);title('Скорость');

   xlabel('t, c');

   ylabel('v, м/c');

   grid on

   subplot(2,1,2);

   plot(k*dt,f);

   title('Электромагнитное усилие');

   xlabel('t, c');

   ylabel('F, H');

   grid on

end

Результаты моделирования представлены в таблице 1, а также на рис.3 и 4.

Таблица 1

Результаты расчета

k = 1

k = 2

 

X

S

irn,k

Fn,k

 

X

S

irn,k

Fn,k

Ф1

-1,74E-05

-0,001

147,78

0,57

Ф1

-4,88E-05

-0,011

323,19

1,88

Ф2

-2,91E-06

0,002

44,55

0,19

Ф2

-2,16E-05

-0,001

171,12

1,28

Ф3

6,81E-05

0,022

-347,01

-1,39

Ф3

9,77E-05

0,055

-321,33

-2,22

Ф4

7,54E-05

0,024

-413,91

-0,36

Ф4

0,000113

0,06

-442,01

-1,1

Ф5

8,55E-05

0,024

-494,79

-0,07

Ф5

0,000146

0,067

-644,53

-0,71

Ф6

7,83E-05

0,021

-458,47

1,59

Ф6

0,000135

0,061

-613,13

3,06

Ф7

1,74E-05

0,001

-147,78

0,57

Ф7

4,88E-05

0,011

-323,19

1,88

Ф8

2,91E-05

-0,002

-44,55

0,19

Ф8

2,16E-05

0,001

-171,12

1,28

Ф9

-6.81E-05

-0,02

347,01

-1,39

Ф9

-9,77E-05

-0,05

321,33

-2,22

Ф10

-7.54E05

-0,02

413,91

-0,36

Ф10

-0,00011

-0,06

442,01

-1,105

Ф11

-8.55E-05

-0,02

494,79

-0,07

Ф11

-0,00014

-0,06

644,53

-0,71

Ф12

-7.83E-05

-0,02

458,47

1,59

Ф12

-0,0001

-0,06

613,13

3,06

Ia

-0,51

-358,98

FΣk

0,064

Ia

-1,31

-583,89

FΣk

1,061

Ic

-2,05

552,29

   

Ic

-2,12

715,37

   

Ib

2,56

0

   

Ib

3,44

0

   

Рис. 3. Результат моделирования асинхронного двигателя в режиме прямого пуска

Рис. 4. Сравнение характеристик F(t) и v(t) линейного (--) и кругового (- - -)

асинхронных двигателей для 2р = 2 и q = 2

Как и следовало ожидать, в линейном асинхронном двигателе (рис.4) с увеличением скорости возрастают тормозные усилия от взаимодействия токов в подвижном элементе с неподвижным в пространстве и пульсирующим во времени потоками индуктора, возникающими вследствие разомкнутости магнитопровода. Это, в свою очередь, приводит к снижению скорости подвижного элемента (ротора), как это и было отмечено в [1].

Литература:

1.         Сарапулов Ф. Н., Емельянов А. А., Иваницкий С. В., Резин М. Г. Исследование электромеханических переходных процессов линейного асинхронного короткозамкнутого двигателя // Электричество. — 1982. — № 10. — С. 54–57.

2.         Емельянов А. А., Богатов Е. А., Клишин А. В., Медведев А. В., Симонович В. Г. Математическая модель линейного асинхронного двигателя на основе магнитных схем замещения // Молодой ученый. — 2010. — № 5. — С.14–22.

3.         Емельянов А. А., Медведев А. В., Богатов Е. А., Кобзев А. В., Бочкарев Ю. П. Программирование линейного асинхронного двигателя в MATLAB // Молодой ученый. — 2013. — № 3. — С. 129–143.

4.         Емельянов А. А., Медведев А. В., Кобзев А. В., Бочкарев Ю. П., Евдокимов О. В. Моделирование асинхронного двигателя с помощью магнитных и электрических схем замещения // Молодой ученый. — 2013. — № 4. — С. 1–10.

5.         Ануфриев И. Е. и др. MATLAB 7 / Ануфриев И. Е., Смирнов А. Б., Смирнова Е. Н. — СПб.: БХВ-Петербург, 2005. — 1104 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle