В стандарте основного общего образования по математике [5] отмечается, что изучение математики направлено на достижение следующей цели: интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и точность мысли, критичность мышления, интуиция, способность к преодолению трудностей. Основой для развития этих качеств служит самоконтроль, посредством которого человек всякий раз осознает правильность своих действий.
Рассмотрим понятие самоконтроля в педагогике: определение и пути его формирования.
Авторы, пользующиеся понятием самоконтроля, понимают его далеко не всегда одинаково. Но при всем разнообразии определений в это понятие обязательно входит такой признак, как сопоставление своего действия, его хода, или его результата, или того и другого вместе — с эталоном, образцом. В одних случаях под образцом понимают заданный результат действия, в других — образцом является сам порядок выполнения основного действия, содержания и последовательность его операций.
Отметим наиболее распространённые в педагогике толкования понятия самоконтроля.
В. И. Страхов [6] считает, что самоконтроль есть форма деятельности, проявляющаяся в проверке поставленной задачи, в критической оценке процесса работы, в исправлении ее недочетов.
Д. Б. Эльконин [7] немного иначе формулирует понятие самоконтроля, но смысл его остается тем же. Действие контроля состоит в сопоставлении воспроизводимого ребенком действия и его результата с образцом через предварительный образ. Прямое наложение на образец невозможно, потому что образец, данный учителем (даже если он находится перед глазами ребенка), всегда лишь единичный случай усваиваемого способа действия, и как таковой он никогда не может совпадать со столь же единичным случаем произведенного ребенком действия.
При обучении математике возможно использовать разнообразные приемы формирования самоконтроля, которые можно классифицировать следующим образом: сверка с образцом, повторное решение задачи, решение обратной задачи, проверка полученных результатов по условию задачи, решение задачи различными способами, моделирование, примерная оценка искомых результатов (прикидка).
Следует отметить, что под словом «задача» здесь подразумеваются не только текстовые задачи, но и другие виды математических заданий.
Эта классификация приемов самоконтроля составлена С. Г. Манвеловым [3]. Мы рассмотрим подробнее некоторые из них.
Сверка с образцом.
Ключевым звеном в проведении контроля над действиями является сверка с образцом. Чтобы сформировать самоконтроль у школьников, надо сначала обеспечить усвоение образца действия. Более того, процесс развития самоконтроля школьников базируется на переходе от готовых образцов к составным и их сочетаниям при постепенном проведении контролируемого действия.
Решение обратной задачи.
В. И. Кузнецов [2] считает, что в качестве эффективного средства формирования самоконтроля могут выступать обратные задачи. Убедившись в правильности решения задачи, учитель обращается к классу с предложением: «Будем считать эту задачу прямой. Теперь составим обратную к ней задачу».
В подобных заданиях правильность решения прямой задачи проверяется решением обратной задачи, что позволяет быстрее обнаружить ошибки, выявить их причины, и на основе этого анализа внести соответствующие коррективы.
Решение задачи различными способами.
Кроме того, для проверки правильности решения задач можно использовать решение разными способами, так как в большинстве случаев математические упражнения решаются несколькими способами. Обычно сравнивают, какой из способов лучше, но необходимо подчеркнуть, что решение задачи новым способом одновременно означает проверку ответа, полученного первым способом.
Использование специальных заданий будет способствовать развитию умений самоконтроля. Приведем фрагменты уроков и опишем упражнения.
В первом фрагменте урока показан пример развития самоконтроля при помощи сверки с образцом.
Во втором фрагменте приведена задача с заведомо ложным условием, где учащимся без подсказки учителя потребуется найти ошибку в формулировке задания и самостоятельно исправить её. Поскольку прежде, чем начать контролировать свои действия, необходимо научиться контролировать действия других людей, при развитии умений самоконтроля мы будем использовать взаимный контроль.
В третьем фрагменте урока проиллюстрировано, как осуществляется коллективная проверка решения задач, которая является промежуточным звеном между контролем педагога и самоконтролем учащихся.
Четвертый и пятый фрагменты урока построены при помощи двух приёмов развития умений самоконтроля — решение задач разными способами, составление и решение взаимно обратных задач.
Фрагмент урока № 1
На данном фрагменте урока мы покажем, как можно развивать умения самоконтроля при помощи работы с образцом.
Классу выдаётся схема решения неравенств методом интервалов. Учащиеся обсуждают её, задают учителю вопросы.
Схема решения неравенства (метод интервалов).
1) Перенести все слагаемые из правой части в левую (неравенство должно иметь вид 
).
2) Если в левой части стоит дробь, то найти корни числителя и знаменателя. Если многочлен — то его корни.
3) Разложить левую часть неравенства в произведение многочленов первой степени. Если в левой части стоит дробь, то на множители разложить числитель и знаменатель.
4) На числовом луче отметить корни числителя и знаменателя. Корни знаменателя всегда открытые точки. Корни числителя открытые, если неравенство строгое, и закрашенные, если нестрогое.
5) На каждом из образовавшихся промежутков определить знак каждого сомножителя и затем знак левой части неравенства.
6) Выбрать промежутки со знаком «+», если неравенство имеет вид 
.
Выбрать промежутки со знаком «–», если неравенство имеет вид 
.
7) Записать ответ.
Учащимся предлагают решить два однотипных неравенства методом интервалов: 
и 
.
После того, как учащимися были решены неравенства, к доске вызывались два человека. Они должны представить своё решение одной из предложенных задач.
Итак, слушаем первого человека, а все остальные будут контролерами. Вам нужно определить, правильно ли решена задача.
Учащиеся по очереди объясняют своё решение, поясняя каждое действие по общей схеме решения неравенства.
В этом фрагменте урока умения самоконтроля формируется не только с помощью сверки с образцом, но и в процессе коллективной проверки задач. Дети, которые слушают выступающего ученика, являются контролерами, а не просто пассивными слушателями. Им нужно не только сказать верно, или нет, решена задача, но и обосновать свое мнение.
Фрагмент урока № 2
Задачу, которую я предложу, вам необходимо прослушать особенно внимательно и сказать, можем мы решить ее или нет.
Найти значение выражение 
при 
.
В условии предлагаемой задачи содержится ошибка. Значение данного выражения невозможно определить при , так как знаменатель обращается в ноль. Дети должны были, слушая задачу, заметить это. Самоконтроль предполагает умение находить и анализировать ошибки не только в своей работе, но и в предлагаемых заданиях.
Необходимо переформулировать задание. Учащиеся предлагают, как это можно сделать.
Например, найдём значение выражение при 
. Здесь все проблемы снимаются. Ответ: 
.
Теперь поменяйтесь тетрадями и проверьте друг у друга, но карандашом исправьте ошибки, если они есть, и объясните друг другу, в чем заключается ошибка и почему то, что написано в тетради неправильно.
Поменявшись тетрадями, дети стали выступать в роли контролеров. Во-первых, это повышает ответственность учащихся при проверке работ, а во-вторых, чтобы установить, правильно или нет решена задача у другого ученика, детям было необходимо еще раз решить ее. Кроме того, детям было дано задание объяснить найденные ошибки тому, чью работу они проверяли. Это значит, им приходилось не просто механически исправлять то, что было неверно, а обосновывать свое решение. Умение не только видеть ошибки, но и исправлять их и объяснять их причины, является составной частью самоконтроля.
Фрагмент урока № 3
Для выполнения задания дети объединяются в группы. В группах они решают задачи. Для каждой группы задачи разные. Разберем, как проходила работа на примере одной из них.
Задача. Найти область определения функции: 
.
Решение.
1. Выражение, стоящее под корнем второй степени должно быть неотрицательным, поэтому 
. Тогда 
.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому 
. Тогда 
.
3. На числовой оси отображаем и . Выбираем ответ.
Ответ: 
, 
.
Каждая группа записывает решение задачи на доске.
Итак, слушаем первую группу, а все остальные будут контролерами. Вам нужно определить, правильно ли решена задача.
Объясните решение вашей задачи. Группа рассказывает, как они решали задачу, поясняя каждое действие.
В этом фрагменте урока умения самоконтроля развиваются в процессе коллективной проверки задач. Дети, которые слушают выступающую группу, являются контролерами, а не просто пассивными слушателями. Им нужно не только сказать верно или нет решена задача, но и обосновать свое мнение.
При такой форме работы как коллективная проверка определенная роль принадлежит учителю, так как, если дети сами ничего не доказывают, учитель задает им вопросы, подталкивающие к объяснению ответа. Группа, которая выступает у доски, тоже осуществляет контроль, только это контроль за своими действиями, то есть самоконтроль. Поясняя свое решение задачи, они не просто перечисляют выполненные действия, а объясняют каждое из них, в результате чего дети принимают осознанное верное решение.
Следует отметить, что здесь было предусмотрено, что дети должны постоянно объяснять, обосновывать, доказывать свои ответы и действия. К этому их приучают. Дети привыкают следить за правильностью и логичностью действий других, а также критически относиться к своим собственным действиям.
Фрагмент урока № 4
Среди приемов развития умений самоконтроля мы описывали прием решения задач разными способами. Мы воспользовались им и при построении следующего фрагмента урока.
Детям предлагается решить разными способами систему уравнений 
.
1 способ. Алгебраическое сложение.
Сложим первое уравнение со вторым, т. е. сложим их соответствующие части. Получаем, что 
и . Выразим из первого уравнения переменную 
. 
. Подставим в последнее уравнение 
; 
.
Ответ: , .
2 способ. Метод подстановки.
Выражаем из первого уравнения: и подставляем во второе 
. Решаем последнее уравнение. 
, , .
Ответ: , .
После того, как дети решили задачу, решения были обсуждены и вынесены на доску, затем проведена беседа.
— Что вы можете сказать о полученных ответах? — спрашивает учитель.
— Каким бы способом мы не решали задачу, ответы всегда получаются одинаковые.
— Какой из этого можно сделать вывод?
— Задача решена верно.
— Как вы думаете, есть ли нам смысл тратить время и учиться решать задачи разными способами, или достаточно освоить какой-нибудь один способ?
— Если мы знаем несколько способов, то можем для решения каждой задачи выбирать более короткий, а еще, решив задачу одним способом, мы можем проверить правильность ответа другим способом.
Во время этого урока необходимо обратить внимание детей на то, что проверить правильность выполнения задания можно, решив его другим способом. На примере конкретной задачи дети должны вспомнить, каким образом, решив задачу другим способом, можно получить косвенное подтверждение правильности ответа. Умение находить разные способы решения задач означает овладение одним из приемов самоконтроля.
Фрагмент урока № 5
Составление и решение обратных задач также является приемом развития умений самоконтроля при обучении математике. И мы использовали его в пятом фрагменте урока.
Задание. Решить следующие две задачи и сравнить их решение.
Задача 1. Решить квадратное уравнение 
.
Задача 2. Составить квадратное уравнение со старшим коэффициентом, равным 2 и корнями 
и 3. Записать в стандартном виде.
Решение задачи 1.
Находим дискриминант 
, 
.
Ищем корни 
. 
, 
.
Ответ: 
, 
.
Решение задачи 2.
Воспользуемся формулой разложения квадратного трёхчлена на множители: 
. Подставляем значения, которые даны в задаче. Получаем уравнение что 
.
Раскрываем скобки, приводим подобные: 
, 
, .
Ответ: .
Здесь следует обратить внимание на то, как проводилась работа с задачами после обсуждения решения каждой из них отдельно. Самоконтроль развивается в процессе сравнения условий задач и их решений, записанных на доске. На уроке должны повторить, что такое задача, обратная данной, и обратить внимание на необходимость умения составлять и решать такие задачи.
Детям было предложено самим составить задачу, обратную данной.
После обсуждения решений детям задается вопрос: «Что можно сказать об этих двух задачах?»
— Они обратные.
— Почему вы так решили?
— То, что спрашивается в первой, дано во второй.
— Зачем нам их составлять и решать?
— Чтобы проверить, верно мы выполнили решение или нет.
— А каким образом мы можем это сделать?
— Ответ обратной задачи должен совпадать с данными первой.
Мы используем этот прием, так как составление и решение обратной задачи позволяет быстрее обнаруживать ошибки и выявлять их причины. Если дети учатся и привыкают работать с обратными задачами, то постепенно они привыкнут контролировать решение прямой задачи, а значит, у них будут развиваться умения самоконтроля.
На современном этапе школьного образования развитие умений самоконтроля учащихся в учебной деятельности выделяются как приоритетные характеристики. Подчеркивается актуальность создания эффективных методик, применение которых будут развивать умения самоконтроля учащихся.
Но прежде чем создать методику, необходимо определить, что такое самоконтроль и какие существуют приемы его формирования. Данные характеристики были представлены в статье.
Итак, мы отметили наиболее распространённые в педагогике толкования понятия самоконтроля и сделали вывод, что при всем разнообразии определений в это понятие обязательно входит такой признак, как сопоставление своего действия, его хода, или его результата с эталоном, образцом. А также охарактеризовали приемы формирования самоконтроля, классификация которых была составлена С. Г. Манвеловым [3].
В статье описаны разработанные фрагменты уроков, в которых представлены упражнения для развития умений самоконтроля при обучении алгебре в 9 классе.
Литература:
1. Алимов, Ш. А. Алгебра 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин — М: Просвещение, 2011. — 288 с.
2. Кузнецов, В. И. Контроль и самоконтроль — важные условия формирования учебных навыков / В. И. Кузнецов // Начальная школа — 1986. — № 2. — С. 18–24.
3. Манвелов, Н. С. Проектирование системы заданий по математике на развитие самоконтроля у учащихся V–VI классов: диссертация... кандидата педагогических наук: 13.00.02 / Н. С. Манвелов. — Армавир, 2005. — 190 с.
4. Репкина, Г. В. Оценка уровня сформированности учебной деятельности / Г. В. Репкина, Е. В. Заика — Томск: Пеленг, 1993. — 245 с.
5. Стандарт основного общего образования по математике // Математика в школе. — 2004. № 4. — С. 4–9.
6. Эльконин, Д. Б. Возрастные возможности усвоения знаний /Под ред. Д. Б. Эльконина, В. В. Давыдова — М.: Просвещение, 1966.
7. Эльконин, Д. Б. Избранные психологические труды / Д. Б. Эльконин — М.: Международная педагогическая академия, 1995. — 217 с.
