Библиографическое описание:

Смородинов Д. А. Оценивание рабочей ёмкости и эквивалентной диэлектрической проницаемости изоляции витой пары кабеля связи // Молодой ученый. — 2013. — №4. — С. 27-33.

Первичные и вторичные параметры передачи и параметры взаимных влияний кабелей связи определяются геометрическими и электрическими параметрами направляющей среды. Не имеющими общего решения являются задачи оценивания рабочей ёмкости кабеля и эквивалентной диэлектрической проницаемости среды между двумя проводниками. Решение данной задачи является актуальным при алгоритмизации автоматического управления параметрами экструдируемой пористой изоляции с введением межконтурной связи, обеспечивающей компенсацию влияния динамической ошибки регулирования одного из параметров (диаметра или диэлектрической проницаемости изоляции) на обобщенный параметр качества кабеля (рабочую ёмкость или волновое сопротивление) путем формирования возмущенного процесса в контуре автоматической стабилизации второго параметра (диэлектрической проницаемости или диаметра изоляции) [1].

Рассматривается задача определения электрических параметров витой пары, которая составляет основу радиочастотных кабелей для передачи данных (LAN-кабель). На рис. 1 показано сечение неэкранированной витой пары, содержащей две жилы, диаметры изоляций которых различны.

Рис. 1. Сечение LAN-кабеля


Традиционно эквивалентная диэлектрическая проницаемость направляющей среды оценивается как средневзвешенное значение изоляции обеих жил, с учетом соотношения площадей их сечения. Данная оценка характеризуется невысокой точностью, что недопустимо при проектировании и изготовлении кабелей с высокой пропускной способностью. Для оценки рабочей ёмкости традиционно останавливаются на формуле, выведенной В. Н. Кулешовым [2], которая также характеризуется невысокой точностью. Рассматривается решение данной задачи с помощью конформных преобразований.

Для получения исходных соотношений, определяющих процессы в цепях, используют первичные параметры цепи. Параметры R и L, отображают в эквивалентной схеме (рис. 2) продольное сопротивление цепи Z=R+jωL, а параметры C и G — поперечную суммарную проводимость цепи Y=G+jωC, где Rпогонное сопротивление линии, L — погонная индуктивность, C — погонная емкость линии, G — погонный коэффициент утечки.

Рис. 2. Эквивалентная схема линии связи


Если значение первичных параметров цепи остаются неизменными по всей длине, то такую цепь называют регулярной (однородной) [3]. При этом активные потери электромагнитной энергии при её распространение вдоль цепи обусловлены первичными параметрами R и G: первый характеризует тепловые потери в проводниках и других металлических частях направляющей системы (экран, оболочка, броня), второй — потери в изоляции.

Рассмотрим однородную цепь с первичными параметрами R, L, C, G (рис. 2). Система дифференциальных уравнений, определяющая напряжение и ток в любой точке цепи как функции координаты x, имеет вид [4]:

(1)

Данная система справедлива по отношению к любой однородной цепи независимо от её конструкции. Изменение конструкции приводит только к изменению значений первичных и вторичных параметров, в том числе волнового сопротивления:

. (2)

Будем рассматривать LAN-кабель как линию без потерь. Это значит, что считаем утечку равной нулю (G=0), т. е. полагаем, что пространство между проводниками является непроводящим. Кроме того, пренебрегаем потерями в проводах, считая их идеально проводящими (R=0). Так как для идеальных проводников внутренняя индуктивность равна нулю, то в этом случае полная погонная индуктивность линии L сводится к её внешней индуктивности Le. При этих упрощениях формула (2) принимает вид:

. (3)

Для определения рабочей ёмкости воспользуемся конформным преобразованием, используя дробно-линейную функцию, которая имеет вид [5]:

, (4)

где a, b, c, d — постоянные, причем ad-bc≠0. Решая соотношение (4) относительно z, получаем также дробно-линейное преобразование:

. (5)

Дробно-линейное преобразование обладает тем свойством, что любая окружность в плоскости z переходит в окружность на плоскости ω и обратно, при этом прямая может рассматриваться как окружность с бесконечно большим радиусом.

Дробно-линейное преобразование обладает также важным свойством сохранения симметричных точек: оно преобразует любую пару точек z1 и z2, симметричных относительно произвольной окружности Cz в плоскости z, в пару точек ω1 и ω2, симметричных относительно Cω — образа окружности Cz на плоскости ω [5].

Используем свойство дробно-линейного преобразования сохранять окружности, и отобразим область между жилами LAN-кабеля (рис. 3) на концентрическое кольцо, которое представляет собой простейшую двухсвязную область.

Рис. 3. Взаимоположение жил LAN-кабеля в плоскости Z

Рис. 4. Взаимоположение жил LAN-кабеля в плоскости W


Если разыскать положение точек z1 и z2, одновременно симметричных относительно обеих данных окружностей С1 и C2, которые совпадают с поверхностями электродов, то при отображении

(6)

окружностей С1 и C2 перейдут в окружности С’1 и C2, для которых точки ω1 = 0 и ω2 = ∞ также будут симметричными. Отсюда следует, что окружности С’1 и C2концентрические, и их центр совпадает с началом координат в плоскости ω, что дает возможность определить рабочую ёмкость, возникающую между жил LAN-кабеля, по известной формуле для сферического конденсатора (рис. 4).

Найдем теперь симметричные точки относительно окружностей С1 и C2. Из рис. 3 имеем:

(7)

Решая эту систему относительно a1 и a2, получим:

, (8)

где введены обозначения

.

В выражениях (8) перед корнями, очевидно, необходимо взять знак минус, т. к. a1<R1 и a2<R2.

Поместив начало координат в симметричной точке Z1, расположенной внутри окружности С1, получим:

т. к. легко убедиться, что

следовательно, функция ω примет вид:

. (9)

Вычислим радиусы ρ1 и ρ2 (рис. 4). Радиус внутренней окружности С1 определим, например, по положению точки М1, соответствующей точке М1, (Z=R1-a1) окружности С1. Получаем

. (10)

Аналогично определим радиус окружности С2 по точке М2 (Z=D+R2-a1) окружности С2:

. (11)


Принимая во внимание свойство сохранения неизменной величины ёмкости при конформных преобразованиях, найдем последнюю в плоскости ω для параллельно расположенных жил кабеля [5]:

. (12)

Считая что:

, (13)

выражение (12) примет вид:

. (14)

Чтобы определить эквивалентную диэлектрическую проницаемость εэкв снова воспользуемся конформным отображением, но теперь отобразим плоскость z (рис. 5) на плоскость t (рис. 6),

Рис. 5. Взаимоположение жил LAN-кабеля с изоляцией в плоскости Z


Рис. 6. Результат отображения плоскости z на плоскость t

где

, (15)

а

. (16)

Для данного отображения необходимо чтобы выполнялось следующее условие [5]:

. (17)

Определим u и v, учитывая выражения (15), (16) и (17):

. (18)

Отобразив плоскость z на плоскость t, мы получили плоский конденсатор с бесконечными пластинами. В данном случае представляется возможным определение его диэлектрической проницаемости. Она и будет являться неизвестной эквивалентной диэлектрической проницаемостью среды между двумя проводниками.

Для решения данной задачи полученный конденсатор можно разделить на три последовательносоеденненых конденсатора с однородными диэлектриками между их пластин с соответствующими диэлектрическими проницаемостями: ε1, ε2, ε (рис. 7).

Рис. 7. Эквивалентная схема соединения трех конденсаторов с однородными диэлектриками между их пластин


Общая ёмкость схемы С, расположенной на рис. 7 определяется из выражения:

. (19)

Подставив параметры конденсаторов в выражение (19), получим:

. (20)

Из выражения (20) следует, что:

, (21)

где a, b, c — соответствующие расстояния между пластинами конденсаторов C1, C2, C3 (рис 7), S — площадь их пластин.

Емкость конденсатора высчитывается по формуле:

, (22)

где l — расстояние между пластинами:

. (23)

Из выражения (21) введем переменную m:

. (24)

Учитывая выражения (21)-(24) получим:

. (25)

Остается лишь найти расстояния a, b, c, определив координаты точек на плоскости t (рис. 6), имеющие на плоскости z (рис. 5) координаты:

.

Используя выражение (18), получим координаты этих точек на плоскости t соответственно:

.

Следовательно:

, (26)

, (27)

. (28)

Подставив выражения (24),(26)-(27) в выражение (25), и учитывая, что:

,

где Dи1, Dи1 — диаметры изоляций соответственно, d — диаметр проводящей жилы, получим:

. (28)

В выражение (14) подставим (28), и учитывая, что:

,

получим:

. (29)

Выражение (29) справедливо и для экранированной витой пары LAN-кабеля, если ввести в него коэффициент экранирования и коэффициент скрутки.


Литература:

  1. Чостковский, Б. К. Структурный синтез оптимального управления обобщенными параметрами электрических кабелей связи // Вестник СамГТУ Сер. «Технические науки». Самара, 2007. № 1. С. 54–57

  2. Власов, В. Е. Кабели цифровых сетей электросвязи. Конструирование, технология, применение/ В. Е. Власов, Ю. А. Парфенов. — М.: Эко-Трендз, 2005.

  3. Ионов, А. Д. Линии связи: Учеб. пособие для вузов/ А. Д. Ионов, Б. В. Попов. — М.: Радио и связь, 1990.

  4. Вайнштейн, Л. А. Электромагнитные волны. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Радио и связь, 1998.

  5. Миролюбов, Н. Н. Методы расчета электростатических полей. — М.: Наука, 1963.



Обсуждение

Социальные комментарии Cackle