Библиографическое описание:

Боталова О. С. Понятие развивающей задачи // Молодой ученый. — 2013. — №4. — С. 110-114.

Обосновано понятие «развивающая задача», с теоретической точки зрения, используемая учителями информатики в профильном школьном курсе информатики. Приведены примеры развивающих задач из разных разделов информатики, рассмотрены комплексы задач разного уровня сложности, стимулирующие неординарность и развитие мышления.

Ключевые слова: развивающая задача, профильное обучение.


Современное информационное общество задаёт темпы развития нашего социума, в обществе востребованы грамотные, образованные, информированные, целеустремленные граждане. Образование нацелено на качественное обучение детей, которое должно соответствовать новым образовательным стандартам. Профильное обучение информатике ставит перед учителем и учеником следующие планки:

  • освоение и систематизация знаний, относящихся к математическим объектам информатики; построению описаний объектов и процессов, позволяющих осуществлять их компьютерное моделирование; средствам моделирования; информационным процессам в биологических, технологических и социальных системах;

  • овладение умениями строить математические объекты информатики, в том числе логические формулы и программы на формальном языке, удовлетворяющие заданному описанию; создавать программы на языке программирования по их описанию; использовать общепользовательские инструменты и настраивать их для нужд пользователя;

  • развитие алгоритмического мышления, способностей к формализации, элементов системного мышления;

  • воспитание чувства ответственности за результаты своего труда; формирование установки на позитивную социальную деятельность в информационном обществе, на недопустимость действий, нарушающих правовые, этические нормы работы с информацией;

  • приобретение опыта проектной деятельности, создания, редактирования, оформления, сохранения, передачи информационных объектов различного типа с помощью современных программных средств; построения компьютерных моделей, коллективной реализации информационных проектов, информационной деятельности в различных сферах, востребованных на рынке труда.

Для реализации поставленных задач в полной мере подходит использование развивающих задач из предметной области. Но прежде, чем углубиться в практическую значимость развивающих задач необходимо определиться с теоретическим значением, с понятием «развивающая задача». Термин «развивающая задача» многие подменяют разными омонимами, кто-то называет её учебной задачей, другие — проблемной. Что же такое «развивающая задача»?

Развитие — это процесс изменения, перехода от старого к новому, более совершенному; от простого к сложному; от низшего к высшему.

Развитие — степень сознательности, просвещенности, умственной и духовной зрелости, культурности.

Развитие — развёртывание. Постепенное проявление всех возможностей, с самого начала заложенных в зародыш.

Развитие — приобретение новых способностей, знаний, умений, навыков.

Развитие — процесс, связанный с наращиванием сознательного усилия, которое определяет не только возможность или невозможность нахождения на пути познания, но и оперирование им. Развитие может считаться таковым, только если познан алгоритм совершенствования, который является не только следствием развития, но и его фактором. Сознательное управление процессом не только совершенствует сам процесс — им совершенствуется и самосознание.

Развитие — это условие, которое не может иметь предела.

Задача — это есть цель, данная в определённых условиях (согласно Леонтьеву А. Н.). Современному учителю информатики необходимо не только правильно выставлять цель перед учениками, но и грамотно, можно даже сказать искусно, создавать условия для достижения учащимися поставленной цели, для возникновения непреодолимого желания двигаться к этой цели. Движение есть жизнь или развитие.

Развивающая задача — это цель, данная в определенных условиях, которые не имеют предела.

Рис. 1. Развивающая задача (начало решения)


Рис. 2. Развивающая задача (задача решена)


Решая развивающие задачи, ученик движется по пути известного философа, который сказал: «Я знаю только то, что ничего не знаю» (Сократ, 477–399 г.г. до н. э.). Решение одной задачи становится целью для другой, обрастая новыми условиями — вопросами. Рассмотрим развивающие задачи из разных разделов информатики:

1. Информация: кодирование, шифрование, измерение. Информационно–логические задачи. Задачи с решениями.

1.1 Возможна ли ЭВМ с быстродействием 1020 операций в секунду? Ответ подтвердить убедительными вычислениями.

Решение. Самая большая скорость переноса электронов ≈ скорость света в вакууме v=3╢1010 см/сек. При выполнении одной операции свет (электрон) должен пройти расстояние не меньшее диаметра атома водорода s=10≈8 см. Время этого пути равно:

t = s/v = 10≈8 см/(3╢1010 см/сек) = 10≈18 /3 сек.

Следовательно, в идеальном варианте (если вообще удастся технически это когда–то реализовать) быстродействие компьютеров на принципах переноса электронов, не может превышать 3╢1018 операций в секунду.

1.2. Привести пример лексикографически упорядоченной, а также неупорядоченной последовательностей. Добавьте слова, изменяющие упорядоченность (неупорядоченность), если это возможно.

Решение. Слова «арбуз», «банан», «киви», «лимон», «тыква» ≈ лексикографически упорядочены по входному алфавиту русского языка. Добавляемое в конце слово — «яблоко». Слова двоичного алфавита "101", "011", "010", "000" лексикографически неупорядочены. Добавить (вставить) слова упорядочивающие слова ≈ невозможно (почему?).

1.3. Описать словесно и математически закон формирования чисел данного ряда (начиная с третьего): 1, 1, 2, 5, 29, 866,....

Решение. Нетрудно заметить, что начальный отрезок похож на ряд Фибоначчи, но это обманчиво. На самом деле, каждый член ряда (с третьего) получается не сложением двух предыдущих, а сложением их квадратов. Математически это записывается в виде:

xn = (xn≈1) 2 + (xn≈2)2, n=3, 4,....

1.4 Найти систему кодировки (т. е. правило шифровки) текста, если текст «АРГУМЕНТФУНКЦИИ» зашифрован с помощью этого кода как «БСДФНЖОУХФОЛЧКК».

Решение. Сравнивая число символов исходного и зашифрованного текста (они равны) и символы, стоящие на одинаковых местах в исходном и шифрованном тексте, замечаем, что этот текст закодирован кодом Цезаря: каждый символ алфавита (любого выбранного множества символов) кодируется следующим за ним по порядку (определенном в алфавите) символом, причем последний символ кодируется первым символом алфавита т. е. алфавит «закольцован».

1.5 С некоторой планеты поступают импульсы. Отождествив один импульс с полубайтом, получаем последовательность сообщений вида:

X [1]=000100001001010101100001,

X [2]=00010001000010010101010101100001,

X [3]=0001000100010000100101010101010101100001 и т. д.

Выдвинута гипотеза: если сообщения X [i], i=1,2,3,... подчиняются некоторому простому закону, то на планете живут разумные существа. Разумные ли существа живут на планете?

Решение. Переводя полубайты в десятичную систему, получаем сообщения вида:

X [1]=109561, X [2]=11095561, X [3]=1110955561,....

Нетрудно видеть, что X [n] = 111...11109555...55561. (n единиц n пятерок). Представим его в виде:

X [n]=11...1´ 10 n+4+9´ 10 n+2+55...5´ 10 2 +61=(10 n≈1)/9´ 10 n+4+9´ 10 n+2+ +5(10 n≈1)10 2/9+61=(10 2n+4≈14´ 10 n+2+49)/9= [(10 n+2≈7)/3] 2.

Следовательно, последовательность сообщений подчиняется закону:

X [1]=3312, X [2]=33312, X [3]=333312,.... Вывод: на планете живут разумные существа.

2. Системы счисления (задачи с решениями)

2.1. Вычислить наибольшее и наименьшее 5–разрядное целое число в системе счисления с основанием 4.

Решение. Наибольшее целое n–разрядное число, которое возможно записать в системе счисления с основанием р, очевидно, равно:

Наименьшее целое n — разрядное число в этой системе равно xmin = ≈ xmax = 1 ≈ рn. Таким образом, в системе счисления с основанием 4 и числом разрядов 5 представим диапазон следующих чисел:

≈ 1023 =1 ≈ 45 £ (x)4 £ 45 ≈ 1 = 1023.

Этим формулам можно придать более компактный вид с использованием комбинаторики (или добавляя и затем отнимая 1). Например, для двоичной системы

a = 1 1 1... 1 1 12 = (2n ≈ 1)10, b = (1 ≈ 2n)10, n разрядов

а в восьмеричной системе счисления эти числа определяются в виде:

а = 7 7 7... 7 7 78 = (8n ≈ 1)10, b = (1 ≈ 8n)10. n разрядов

2.2. Привести основные общие (различные) стороны множества чисел (–1;1) в обычной и машинной n–разрядной алгебре (арифметике).

Решение. С точки зрения обычной арифметики в интервале (–1;1) имеется бесконечное множество «плотно» расположенных точек, причем в любой окрестности каждой такой точки имеется хотя бы одна точка из этого множества. Такую арифметику называют часто регулярной арифметикой. Машинная арифметика имеет следующие особенности. Она нерегулярна — точки интервала сгущаются около нуля; кроме того, в этом интервале точка х «изолирована» — если взять её любую окрестность (х–а; х+а), где а — число, которое не превосходит машинный нуль, то в этом интервале нет других точек (отличных от х). Есть и другие особенности этих множеств (связанные с выполнением операций, например), но указанные особенности– основные.

2.3. Что такое числа (арифметика) с плавающей запятой, какие неудобства чисел с ограниченной разрядностью можно указать?

Решение. Эта форма представления чисел была предложена в 1937 году Конрадом Цузе для увеличения диапазона чисел, представимых в арифметике двоичных чисел, а также для повышения точности этого представления чисел. Например, в 16–разрядной арифметике двоичных чисел можно представить диапазон целых х (старший разряд — под знак числа): 1 ≈ 215 < x < 215 ≈ 1.

Если же в этой арифметике (не меняя её разрядность) отвести 7 разрядов под мантиссу, а 7 разрядов — под порядок, то уже представим диапазон чисел: ≈ 127´ 2127 < x < 127´ 2127 (два разряда — под знак числа и знак порядка; несколько упрощена и общая картина представления — для наглядности).

К «неудобствам» этой формы представления чисел можно отнести возможность возникновения следующих «особо опасных» ситуации:

а) если число достаточно мало, например, а=0.12Е+00, то оно может быть представлено любым числом из наименьшего интервала включающего а, в частности, числом 0.120000001 или 0.199999999 и в этом случае сравнивать на равенство «в лоб» нельзя;

б) порядок выполнения операций может влиять на результат, например, в четырехразрядной арифметике с фиксированной запятой имеем:

20.0000+0.0001=20.0001, но при этом

0.2000Е+02+0.1000Е–05=0.2000Е+02;

в) может возникнуть так называемая ситуация «переполнения порядка» при сложении (умножении) очень больших чисел или «исчезновения порядка» при сложении (умножении) «очень малых чисел», например,

0.6000Е+39´ 0.1200Е+64=0.9999Е+99 (или неопределенно),

0.6000Е≈35´ 0.0200Е≈65=0.9999Е≈99 (или неопределенно)

при соответствующим образом определенной разрядности десятичной арифметики.

2.4. Выяснить, в какой системе счисления было выполнено сложение, где * обозначены неизвестные числа (возможно, разные), т. е. найти основание системы счисления р:

(33*5*)p + (1*643)p = (52424)p.

Решение. Так как во втором разряде (5+4) получается число меньшее 9, то основание системы будет меньше 9, а так как в третьем разряде (*+6) есть цифра 6 (определенная только в системах счисления с р³ 7), то 7£ р£ 8. Из второго разряда (5+4=2) следует, что был перенос в старший разряд единицы основания, т. е. 5+4≈р=2 или p=7.

2.5. В саду 100 фруктовых деревьев — 14 яблонь и 42 груши. В какой системе счисления посчитаны деревья?

Решение. Из условия задачи и переводом указанных чисел в систему счисления с пока неизвестным основанием р можно записать равенство:

1´ р2 + 0´ р1 + 0 = 1´ р1 + 4 + 4´ р1 + 2

или р2≈5р≈6=0. Из корней этого уравнения подходит в качестве основания системы только один — р=6. Деревья посчитаны в 6–ной системе счисления.

3. Алгоритмы и алгоритмизация (Задачи с решениями)

3.1 Формализовать (записать алгоритм) сложения двух целых положительных чисел и оценить число операций алгоритма.

Решение. Пусть числа заданы своими разрядами в виде: a=anan–1...a1a0, b=bmbm–1...b1b0, где ai и bj ≈ i–ый и j–ый разряды этих чисел. Разряды нумеруются справа налево. Алгоритм состоит из следующих пунктов:

1) Найти k — минимальное из n и m т. е. выполнить операцию k:=min(n,m).

2) Положить i=0 (т. е. выбрать младший разряд у складываемых чисел).

3) Если ai+bi<10, то в i–ый разряд формируемой суммы c=a+b записать цифру ci=ai+bi, в противном случае — записать цифру суммы ci=ai+bi≈10.

4) Увеличить следующий, (i+1)– ый разряд числа a на 1 (ai+1:=ai+1+1).

5) Если i³ k, то проверить, был ли перенос в предыдущем пункте 3 (в разряде i≈1) и, если он был, то в следующем разряде суммы записать цифру ci=ai+1, а все остальные разряды сj положить равными аj, j=i+2, i+3,..., n (при k=m) или записать цифру ci=ci+1, а все остальные разряды cj положить равными bj, j=i+2, i+3,..., m (при k=n); если же i<k, то перейти к п.7.

6) Заменить текущее i на i+1 (i:=i+1) и перейти к п.3.

7) Записать сумму: c=cncn–1...c0 (или же c=cn+1cn...c0) — при k=m, или c=cmcm–1...c0 (или же c=cm+1cm...c0) — при k=n. Интересен этот пример и тем, что обычно и интуитивно просто исполняемая нами процедура оказалась не очень простой при её формализации (здесь полную формализацию, т. е. запись процедуры на формальном языке, например, на учебном алгоритмическом мы не провели — оставляем это как упражнение для читателя).

3.2. Составить алгоритм выделения знака и всех цифр заданного натурального n–разрядного числа х. Цифры выдавать пользователю с младшего разряда. Составить достаточный на ваш взгляд набор тестов. Указать число, функцию, выражение или способ для оценки эффективности этого алгоритма. Как можно решить эту задачу, если n не задается? Изменится ли сложность алгоритма по выбранной вами оценке или оценкам при этом и почему?

Решение. Алгоритм имеет вид:

алг Выделение цифр (арг цел n, х);

дано | натуральное n–разрядное число х, которое может быть | записано в виде, например, своими цифрами: х=х [1]x [2]...x [n]

надо | выделить и вывести по мере выделения все цифры этого числа

нач | начало тела алгоритма

цел i, | переменная цикла выделения (номер выделяемой цифры)

х, | заданное число

у | выделенная очередная цифра

если x>0 | число положительно (можно и через sign(x))?

то вывод («знак числа: + ") | да, положительно

иначе | остальные случаи

если x=0 | число равно нулю?

то вывод («число 0") | да, это нуль

иначе вывод («знак числа: — ") | нет, отрицательно

все | закончили с неположительными числами

все | закончили со всеми числами

нц для i от 1 до n | заголовок цикла для выделения цифр

y:=mod(x,10) | выделяем последнюю цифру текущего

| значения числа х (оно по ходу будет изменяться так, как это указано ниже)

вывод (у) | выдача очередной цифры числа

x:=div(x,10) | заменяем х числом, получаемым из х «отбрасыванием» последней цифры: | она была уже выше найдена

кц | конец тела цикла выделения цифр

кон | конец тела алгоритма.

Набор тестов должен включать, как минимум, тесты типа:

а) все разряды числа х — равны (в том числе и нулю);

б) среди разрядов есть равные между собой (в том числе и идущие последовательно);

в) случай n=1.

Функцию эффективности можно строить исходя из различных критериев эффективности, например, из числа операций, операндов, команд и т. д. В частности, показателем эффективности может служить простая интегральная оценка вида:

1) операций присваивания — 3n (2 явные операции в теле и одна неявная — в заголовке цикла и они повторяются n раз);

2) операций проверки простых предикатов — n+2 (в заголовке цикла, неявно, — n и явно в условных командах — 2);

3) вычислений функций — 2n;

4) логическая сложность, например, оцениваемая по глубине вложения циклов (равна 1) и условных команд (равна 2).

Если n неизвестно, то для решения задачи вместо цикла типа «до» можно использовать цикл типа «пока»:

n:=0 | начальное значение счетчика разрядов

нц пока x>0 | пока «есть цифры в числе»

y:=mod(x,10) | выделяем очередную цифру

x:=div(x,10) | «отбрасываем» найденную цифру

n:=n+1 | переходим к следующей цифре

вывод (n»,-я цифра:", y) | выдача очередной цифры

кц | конец цикла поиска следующих цифр в числе.

Оценки 2) — 4) при этом не изменяются, а число присваиваний станет равно 3n+1 (все явные). Это демонстрирует тот факт, что недостаток информации для решения задачи (в исходной форме) может увеличивать хаос и сложность.

4. Типы и структуры данных (Задачи с решениями)

4.1. Описать полно все основные стандартные типы данных, т. е. не описываемые в алгоритме специально.

Решение. 1) Тип «целые числа». Имя типа данных: цел. Область определения типа: целые числа iÎ Z. Разрешенные для типа операции::=, +, –, *, **, =, ¹, <, >, ³, £. Функции от аргумента типа: int, mod, abs, sqrt, sign, sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg. ln, lg, exp, div, rnd.

2) Тип «вещественные числа». Имя типа данных: вещ. Область определения типа: вещественные числа rÎ R.. Разрешенные для типа операции::=, +, –, *, **, =, ¹, <, >, ³, £. Функции от аргумента типа: как в типе цел, кроме mod, div.

3) Тип «символьная константа». Имя типа данных: сим. Область определения типа: литеры (символы) языка. Разрешенные для типа операции::=, +, =, ¹, <, >, ³, £. Функции от аргумента типа: длина, [] (вырезка, сечение).

4) Тип «литерная константа». Имя типа данных: лит. Область определения типа: последовательность литер (символов). Разрешенные для типа операции::=, +, =, ¹, <, >, ³, £. Функции от аргумента типа: длина, [] (вырезка, сечение).

5) Тип «логическая константа». Имя типа данных: лог. Область определения типа: 1 («истина»), 0 («ложь»). Разрешенные для типа операции: Ù, Ú, Ø, =, ¹, <, >, ³, £. Функции от аргумента типа: отсутствуют.

4.2 Дана некоторая абстрактная структура данных Список_учеников_школы, состоящая из определенного числа учеников. Привести примеры корректных абстрактных операций для структуры.

Решение. Разрешены, например, абстрактные операции: добавить ученика; удалить ученика; выдать атрибуты ученика.

4.3. Пусть х — переменная типа цел, у — типа вещ, s –типа лог. Определить неправильные (с указанием ошибок) команды:

a) z:=4*x+100; б) y:=max(z,100)<y;

в) s:=(x<0)Ú (y=4); г) x:=mod(x,y).

Решение. Команда а) неверна, логической переменной z будет сделана попытка присвоения целочисленного значения; б) неверна, делается попытка присвоения вещественной переменной у логического значения (значение отношения неравенства — «истина» или «ложь»); в) — верное присваивание; г) неверно, аргумент y функции mod — не целый.

4.4. Описать абстрактные типы данных: День, День_недели, Жилище, Религия.

Решение. День=(пасмурный, светлый, теплый, холодный, дождливый);

День_недели=(понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье);

Жилище=(дом, квартира, шалаш, пещера);

Религия=(буддизм, ислам, христианство).


Литература:

  1. Давыдов В. В. Проблемы развивающего обучения. М., 1986

  2. Давыдов В. В. Теория развивающего обучения. М., 1996

  3. Казиев В. М. Развивающие задачи //Информатика и образование.1997, № 3; 1998, № 2.

  4. Философский энциклопедический словарь / М.: Инфра-М, 1997–576 с.

  5. Федеральный государственный образовательный стандарт общего образования. Среднее (полное) общее образование. http://standart.edu.ru/catalog.aspx?Catalogld=6408

  6. Ясенева, Г. Г. Развитие интеллектуальной сферы учащихся на уроках информатики / Г. Г. Ясенева. //Информатика и образование. 2006, № 2.


Основные термины (генерируются автоматически): Область определения типа, Имя типа данных, системе счисления, аргумента типа, «развивающая задача», арифметике двоичных чисел, представления чисел, Задачи следующих десятилетий, разных разделов информатики, решения задачи, развивающих задач, развивающие задачи, объектов различного типа, n–разрядное число, знак числа, Решение задачи повышения, Итеративный алгоритм, цикла типа «до», цикл типа «пока», восьмеричной системе счисления.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle