Библиографическое описание:

Гарькина И. А., Гарькин И. Н. Идентификация и аппроксимация колебаний конструктивных элементов // Молодой ученый. — 2013. — №3. — С. 44-48.

Анализ и синтез сложных конструкций во многих случаях связаны с построением вибрационной карты и селекцией конструктивных элементов с недопустимым уровнем вибрации. Положительный эффект при решении этих задач дает использование метода экспоненциально-тригонометрической аппроксимации функции , заданной таблично (экспериментальные данные) на отрезке . Для определенности будем искать приближение выражением вида

,

где чётный тригонометрический полином. Для определения параметров и α экспоненциального множителя построим огибающую заданной функции, выделив из конечной последовательности модулей заданных значений функции строго убывающую, вогнутую последовательность ординат:

  • построим (конечную) последовательность модулей заданных значений функций ,;

  • извлечём из этой последовательности строго убывающую последовательность ,, сравнивая поочерёдно смежные члены; если данный член окажется не меньше предыдущего, то все предыдущие члены, которые не больше данного, исключаются;

  • из полученной последовательности извлечем строго вогнутую последовательность , сравнивая поочерёдно угловые коэффициенты смежных звеньев полученной ломаной; если данный угловой коэффициент не больше предыдущего, то исключим все те предыдущие вершины ломаной, которые окажутся, ниже прямой, продолжающей влево данное звено. Ординаты вершин полученной ломаной и дадут требуемую конечную строго убывающую, строго вогнутую последовательность , где - отобранные значения независимой переменной , .

Далее полученную зависимость , аппроксимируем экспоненциальной функцией методом наименьших квадратов. Параметры A и α определятся из системы уравнений

,

Затем по заданной таблице значений функции построим таблицу значений функции и интерполируем величину t чётным тригонометрическим полиномом

, .

Окончательно:

.

В качестве иллюстрации рассмотрим экспоненциально тригонометрическую аппроксимацию экспериментальных данных (табличные значения , полученные по осциллограммам, табл.1)

Таблица 1

1

0,2967

19

0,2803

37

-0,0322

55

-0,1925

73

0,0430

3

0,0499

21

0,1622

39

-0,0156

57

-0,1668

75

0,0517

5

-0,3358

23

0,0932

41

0,0315

59

-0,1060

77

0,0549

7

-0,7092

25

0,0794

43

0,0772

61

-0,0380

79

0,0340

9

-0,5298

27

0,0769

45

0,0970

63

0,0366

81

-0,0100

11

-0,5676

29

0,0675

47

0,0717

65

0,0901

83

-0,0481

13

-0,1125

31

0,0409

49

0,0057

67

0,1051

85

-0,0451

15

0,2613

33

0,0057

51

-0,0897

69

0,0835

87

-0,0519

17

0,5613

35

-0,0284

53

-0,1655

71

0,0535

89

-0,0313


Определим параметры А и α экспоненциального множителя (график функции вписывается в область, ограниченную кривыми , ). Для этого по заданной последовательности значений функции, где (, n=44 — четное число) построим последовательность модулей этих значений и из неё извлечём строго убывающую последовательность , . А именно последовательность:

,,,,,; (q=5).

Угловые коэффициенты звеньев полученной ломаной (-0,0336; -0,0097; -0,0073; -0,0050; -0,0033) строго возрастают; последовательность совпадает с выделяемой из неё строго убывающей, вогнутой последовательностью :, , ;. Аппроксимируем эту последовательность функцией вида методом наименьших квадратов, используя результаты, приведенные в табл.2.

Таблица 2

k

l

0

1

9

0,8298

81

-0,18657

-1,67913

1

1

17

0,5613

289

-0,57750

-9,8175

2

1

55

0,1925

3025

-0,64766

-90,6213

3

1

67

0,1021

4489

-2,25284

-150,94028

4

1

77

0,0549

5929

-0,90224

-223,47263

5

1

87

0,0519

7569

-0,29844

-257,38428

6

312

-

21382

-10,525292

-733,91522


Получим

,

.

Откуда:

, , ().

Далее функцию аппроксимируем частной суммой ряда Фурье, добавляя в неё новые члены до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность аппроксимации. В рассматриваемом случае функция на заданном отрезке обнаруживает приблизительную периодичность с периодом 2l=48=24h. Рассмотрим разложение на отрезке длиной 2l=48 тригонометрическим полиномом

(в данном случае достигается удовлетворительная точность; для достижения большей точности следует добавить новые члены).

Коэффициенты Фурье

,

приближённо определялись по формуле Симпсона. Для этого составлялись следующие таблицы (табл.3,4), где , l=24


Таблица 3

0

1

0,2967

1,03684

0,99144486

0,965926

0,92338796

0,30763

1

3

0,0499

1,1146414

0,92387955

0,707107

0,38268946

0,05562

2

5

-0,3358

1,198208

0,79335337

0,258819

-0,38268346

-0,40238

3

7

-0,7092

1,2881963

0,60876152

-0,258819

-0,9236796

-0,91359

4

9

-0,8298

1,3848588

0,32268346

-0,707107

-0,9238796

-1,14916

5

11

-0,5676

1,4887745

0,13052629

-0,965926

-0,38268346

-0,84503

6

13

-0,1125

1,6004878

-0,13052629

-0,965926

0,38268346

-0,18005

7

15

0,2613

1,7205837

-0,32268346

-0,707107

0,9238796

0,44959

8

17

0,5613

1,8496913

-0,60876152

-0,258819

0,9238769

1,03883

9

19

0,2803

1,9884867

-0,79335337

0,258819

0,38268346

0,55737

10

21

0,1622

2,1376969

-0,92387955

0,707107

-0,38268346

0,34673

11

23

0,0932

2,298134

-0,99144486

0,965926

-0,9238796

0,21419

12

25

0,0794

2,4705464

0,99144486

0,965926

-0,9238796

0,19616

13

27

0,0769

2,655929

-0,32387955

0,707107

-0,38268346

0,20424

14

29

0,0675

2,8552222

-0,79335337

0,258819

0,38268346

0,19273

15

31

0,0409

3,0694697

-0,60876152

-0,258819

0,9238796

0,12554

16

33

0,0057

3,2997938

-0,32268346

-0,707107

0,9238796

0,01881

17

35

-0,0284

3,5474007

-0,13052629

-0,965926

0,38268346

-0,10075

18

37

-0,0332

3,8135873

0,13052629

-0,965926

-0,38268346

-0,12661

19

39

-0,0156

4,0997478

0,32268346

-0,707107

-0,92387696

-0,06396

20

41

0,0315

4,4073809

0,60876152

-0,258819

-0,92387696

-0,13883

21

43

0,0772

4,7380979

0,79335337

0,258819

-0,38268346

0,36578

22

45

0,0970

5,093631

0,92387955

0,707107

0,38268346

0,49408

23

47

0,0717

5,4758422

0,99144486

0,965926

0,9238796

0,39262

24

49

0,0057

5,8867335

0,99144486

0,965926

0,9238796

0,03355


Таблица 4

0

1

0,2967

1,03684

0,13052629

0,25881903

0,38268343

0,30763

1

3

0,0499

1,1146414

0,32268346

0,707107

0,9238796

0,05562

2

5

-0,3358

1,198208

0,60876152

0,965926

0,9238796

-0,40238

3

7

-0,7092

1,2881963

0,793353337

0,965926

0,38268343

-0,91359

4

9

-0,8298

1,3848588

0,92397955

0,707107

-0,38268343

-1,14916

5

11

-0,5676

1,4887745

0,99144486

0,25881903

-0,9238796

-0,84503

6

13

-0,1125

1,6004878

0,99144486

-0,25881903

-0,9238796

-0,18005

7

15

0,2613

1,7205837

0,92397955

-0,707107

-0,38268343

0,44959

8

17

0,5613

1,8496913

0,793353337

-0,965926

0,38268343

1,03823

9

19

0,2803

1,9884867

0,60876152

0,965926

0,9238796

0,55737

10

21

0,1622

2,1376969

0,32268346

-0,707107

0,9238796

0,34673

11

23

0,0932

2,298134

0,13052629

-0,25881903

0,38268343

0,21419

12

25

0,0794

2,4705464

-0,13052629

0,25881903

-0,38268343

0,19616

13

27

0,0769

2,655929

-0,3226846

0,707107

-0,9238796

0,20424

14

29

0,0675

2,8552222

-0,60876152

0,965926

-0,9238796

0,19273

15

31

0,0409

3,0694697

-0,793353337

0,965926

-0,38268343

0,12554

16

33

0,0057

3,2997938

-0,92397955

0,707107

0,38268343

0,01881

17

35

-0,0284

3,5474007

-0,99144486

0,25881903

0,9238796

-0,10075

18

37

-0,0332

3,8135873

-0,99144486

-0,25881903

0,9238796

-0,12661

19

39

-0,0156

4,0997478

-0,92397955

-0,707107

0,38268343

-0,06396

20

41

0,0315

4,4073809

-0,793353337

-0,965926

-0,38268343

-0,13883

21

43

0,0772

4,7380979

-0,60876152

-0,965926

-0,9238796

0,36578

22

45

0,0970

5,093631

-0,3226846

-0,707107

-0,9238796

0,49408

23

47

0,0717

5,4758422

-0,13052629

-0,25881903

-0,38268343

0,39262

24

49

0,0057

5,8867335

0,13052629

0,25881903

0,38268343

0,03355


По формуле Симпсона имеем:

, ;

, ;

; ;

.

Подставляя a0= 0,07933, a1= -0,17080, b1= -0,13193, a2= 0,23027, b2= -0,32187,

a3= 0,30377, b3= 0,02186, получим

.

Эту аппроксимацию табулируем с помощью следующей таблицы:

1

-0,1693

0,2224

0,2813

-0,0172

-0,0833

0,0084

1,0368

0,3785

0,2967

9

-0,0551

-0,1628

-0,2806

-0,1219

-0,2276

-0,0084

1,3849

-0,6375

-0,8298

17

0,1039

-0,0596

0,2803

-0,1047

0,3109

0,0084

1,8497

0,3799

0,5613

25

0,1693

0,2224

-0,2806

0,0172

0,0833

-0,0084

2,4705

0,0506

0,0794

29

0,1355

0,0259

0,1162

0,0803

-0,3109

-0,2872

2,8552

0,0315

0,0675

33

0,0551

-0,1625

-0,2806

0,1219

-0,2276

0,0084

3,2988

0,0533

0,0057

37

-0,0223

-0.2224

-0,1162

0.1308

0,0833

0,0202

3.8136

-0,0141

-0,0332

45

-0,1578

0,1628

0,1162

0,0803

0,2276

-0,0202

5,0936

1,0885

0,0970


Рассмотренный метод аппроксимации с большой эффективностью использовался при выполнении научно-исследовательских работ в соответствии с тематическим планом ВУЗа [1,2].


Литература:

  1. Гарькина И. А. Математическое и компьютерное моделирование сложных систем / И. А. Гарькина, А. М. Данилов, Э. Р. Домке. — Пенза: ПГУАС, 2011. -296 с.

  2. Данилов А. М., Гарькина И. А., Гарькин И. Н. Защита от удара и сопровождающей вибрации: экспоненциально-тригонометрическая аппроксимация функций / Региональная архитектура и строительство, № 3(14), 2012 г. С.85–89.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle