Библиографическое описание:

Локтев В. И., Агуреев С. М. Механика и техника «сухого листа» // Молодой ученый. — 2013. — №2. — С. 4-9.



Один из стандартных игровых эпизодов в футболе – розыгрыш мяча с линии ворот, с угла футбольного поля. При определенных условиях и навыках футболист может так пробить угловой, что мяч аккуратно, как бы сбоку залетит в створ ворот. Такой удар известен под названием «сухой лист». Подобные голы в свое время забивали лишь немногие высококлассные футболисты – мастер спорта СССР, впоследствии выдающийся тренер Валерий Васильевич Лобановский, бразилец Валдир Перейра (Диди), итальянец Андреа Пирло.

Классическая задача Галилея [2, 4] не допускает такого, порой непредсказуемого движения тела или точки, брошенной под углом к горизонту. Под действием одной только постоянной силы тяжести мяч будет двигаться по плоской параболической траектории и с линии ворот никогда не попадет в ворота. Даже с учетом силы сопротивления воздуха, направленной в сторону, противоположной скорости [3], траектория мяча будет более сложной, но по-прежнему в лучшем случае будет расположена в плоскости створа ворот. В чем же причина поворота мяча в сторону створа ворот? При каких условиях возможны такие великолепные голы-красавцы? Исследовав механику процесса, можно в конечном итоге предложить технику «сухого листа».

Рис. 1. Эффект Магнуса

Прежде всего, следует учесть, что в общем случае с позиций классической механики мяч – это не точка, а тело, которому свойственно, кроме поступательного движения, совершать движение вращательное. В природе существует явление, названное в честь немецкого физика Генриха Густава Магнуса, который открыл и описал это явление в 1853 году. Суть его в том, что при движении вращающегося тела в потоке жидкости или газа скорость движения среды с одной стороны тела увеличивается, с другой стороны – уменьшается (рис.1). Разность скоростей приводит к разности давлений (P1P2) и, в конечном итоге, к поперечной силе F, действующей на вращающееся тело.

Рассмотрим движение мяча массой m, движущегося от удара футболиста с углового с начальной скоростью V0 в сторону ворот (рис. 2) без учета сопротивления воздуха, но с учетом силы Магнуса Fм. Если мячу придано вращение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью , сила Fм будет направлена в сторону плоскости ворот yz [1]. Дифференциальные уравнения движения мяча имеют вид (g – ускорение свободного падения, Fтяж = mg – сила тяжести или вес мяча):

Рис. 2. «Сухой лист» – удар с углового в створ ворот

Для интегрирования этих дифференциальных уравнений следует использовать начальные условия:

где – угол между вектором начальной скорости V0 и горизонтальной плоскостью xy, – угол между проекцией вектора V0 на горизонтальную плоскость и плоскостью створа ворот yz.

Решение дифференциальных уравнений (1) с учетом начальных условий (2) приводит к уравнениям движения мяча теперь уже не по плоской, а пространственной траектории:

В створ ворот мяч попадает при одновременном выполнении нескольких условий (табл. 1).

Таблица 1. Условия попадания в створ ворот

Физический смысл

Математическое условие

Примечания (см. рис. 2)

Пересечение плоскости ворот

Из этого условия можно найти время T от удара до попадания в ворота

Попадание в ворота по ширине

а – расстояние от угла до ближайшей стойки ворот, b – расстояние между стойками ворот

Попадание в ворота по высоте

h – высота до верхней перекладины ворот


Несмотря на кажущуюся простоту кинематических уравнений движения мяча (3) и условий попадания в ворота (табл. 1), разрешить их аналитически в полном объеме довольно сложно. С учетом возможностей компьютерной техники дальнейшее решение задачи выполнено численным методом в оболочке Excel. Для численного эксперимента исходные данные были разбиты на две группы: постоянные и варьируемые.

Постоянные исходные данные: масса мяча m = 0,45 кг, расстояние от угла до ближайшей стойки ворот а = 30,34 м, расстояние между стойками ворот b = 7,32 м, высота до верхней перекладины ворот h = 2,44 м.

Варьируемые исходные данные:

Угол между вектором начальной скорости V0 и горизонтальной плоскостью xy, . Шаг варьирования 10.

Угол между проекцией вектора V0 на горизонтальную плоскость и плоскостью створа ворот yz, . Шаг варьирования 10.

К варьируемым исходным данным относится также сила Магнуса Fм. Для вращающегося шара (мяча) она находится по формуле [1, 6]:

(4)

где = 1,225 кг/м3 – плотность воздуха, V – варьируемая скорость мяча, м2 – поперечная площадь футбольного мяча со стандартным радиусом R = 0,1114 м, k – постоянный коэффициент, зависящий от угловой скорости вращения мяча и скорости V его движения; примерные экспериментальные значения коэффициента k при движении в воздухе . Примем шаг изменения коэффициента при одной и той же скорости равным 0,1. Таким образом, сила Магнуса в зависимости от скорости V движения мяча и коэффициента k варьируется в пределах с шагом . Как частный случай, при k = 0 сила Магнуса Fм = 0.

Еще один варьируемый параметр – это начальная скорость мяча в пределах от минимальной до максимальной скорости . Из имеющихся источников известно, что максимальная начальная скорость мяча от удара футболиста составляет порядка 30-35 м/с, а рекордная зафиксированная начальная скорость – 36 м/с (130 км/ч). В дальнейшем максимальную начальную скорость примем как для высококлассного игрока: м/c. Что касается минимальной начальной скорости , то она должна быть рассчитана исходя из первого попадания в ворота при ее увеличении (варьировании) от м/с. Шаг варьирования начальной скорости 1 м/c.

Программа численного эксперимента в оболочке Excel составлена так, что результаты получаются в виде электронной таблицы (табл. 2), содержащей примерно 8000 строк. При варьировании углов и (столбцы А и В) рассчитывается время Т движения мяча от удара с углового до пересечения с плоскостью ворот (столбец С), определяются координаты z и y (столбцы D и Е) и проверяются условия попадания в ворота (столбцы F и G), в столбце Н (Гол?) дается ответ: «ДА» (попадание в створ ворот) или «НЕТ». Формирование электронной таблицы в виде списка дает возможность отсортировать все строки, содержащие «ДА» (столбец H).

Таблица 2. Фрагмент электронной таблицы при V0 = 22 м/с, k = 0,4


Варьируя коэффициент k и начальную скорость от самых минимальных значений , с помощью электронных таблиц было выяснено, при какой минимальной начальной скорости можно попасть в створ ворот (рис. 3). Очевидно, при возрастании коэффициента k минимальная начальная скорость возрастает.

Рис. 3. Минимальная начальная скорость мяча

С помощью этих же электронных таблиц (см. табл. 2) при варьировании начальной скорости V0 и коэффициента k построены области изменения углов и для попадания в ворота (рис. 4). Совокупности углов образуют четко выраженную область. Так, при V0 = 22 м/c и k = 0,4 пределы изменения углов , . Если обратить внимание на число точек, соответствующих каждому α, то можно заметить, что при α от 25° до 36° их наибольшее количество (достигает 5). В области от 22° до 24° их максимум две. Таким образом, можно сделать вывод, что при достаточно сильном крученом ударе с углового футболисту необходимо бить под углом к полю в 30°±5°, угол β дает больше свободы выбора – его значения находятся в диапазоне 37°±11°. Чем выше удар, тем сильнее надо отклонять его направление от плоскости ворот. При этом наиболее высока вероятность попадания в ворота.


а б

Рис 4. Совокупности углов для попадания в ворота при V0 = 22 м/с, k = 0,4:

а – мелкий масштаб, б – увеличенный масштаб

Еще один важный результат, который получен с помощью электронных таблиц в виде списка – «кучность» попадания в ворота (рис. 5). Видно, что подавляющее число попаданий приходится на левую половину створа, и лишь малая часть располагается в центре внизу. Следовательно, вратарю и защите в данном случае необходимо наибольшее внимание обратить именно на эту часть створа ворот. Удар «сухим листом» тем и хорош, что может легко ввести в заблуждение противника.

Возможны и другие начальные скорости мяча – все зависит от мастерства футболиста и силы удара. Численный эксперимент показал, что при уменьшении начальной скорости при тех же остальных параметрах наблюдается существенное уменьшение области возможных сочетаний углов α и β и, как следствие, меньшая вероятность забить гол. Причем все места попадания в этих случаях сконцентрированы в нижней части левой половины ворот (это наблюдается уже при скорости в 20 м/с). При увеличении скорости сначала наблюдается расширение области возможных сочетаний углов, потом при скорости примерно 26 м/с ее сужение и разрыв в определенном диапазоне α (это будет наблюдаться при ). Интересен и тот факт, что при увеличении начальной скорости распределение мест возможных голов становится равномерным по всему створу, а при скоростях м/с происходит концентрация мест попадания на правой части створа ворот (удаленной от места удара). Значит, чем сильнее удар, тем выше вероятность попадания мяча за вратарем.

Рис 5. «Кучность» попадания в ворота при V0 = 22 м/с, k = 0,4: а – мелкий масштаб, б – увеличенный масштаб по размеру ворот

Таким образом, явление, которое в мире футбола называется «сухой лист», является весьма сложным для строгого аналитического решения, однако возможно ее численное решение и анализ. Даже упрощенный подход, без учета сопротивления воздуха, определяет причину необычного поведения мяча и довольно реалистично описывает явление удара «сухим листом». Уже на основании полученных результатов можно дать вполне определенные рекомендации для тренеров, футболистов, для секций и спортивных школ, ориентированных на футбол, так как полученные выводы и закономерности весьма наглядно дают понять, с какой скоростью, в каком направлении нужно пробить угловой удар, чтобы забить мяч в ворота.

Продолжение этой работы видится в том, что с помощью подобного численного эксперимента можно учесть сопротивление воздуха, изменение во время движения мяча силы Магнуса, другие факторы. Но поправки не должны быть слишком большими, так как время движения мяча и расстояния невелики. Подобные исследования могут представлять интерес для мини-футбола, других видов спорта, где используются «резаные» удары – теннис, волейбол, гандбол, баскетбол и другие.

Литература:
  1. Аппель П. Теоретическая механика. Том первый. Статика. Динамика точки. – М.: Физматгиз, 1960. – 516 с.

  2. Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин. Курс теоретической механики. Том второй. Динамика. – М.: Наука, 1979. – 544 с.

  3. Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье. Курс теоретической механики. Том второй. Динамика. – М.: Наука, 1983. – 640 с.

  4. Локтев В.И. Теоретическая механика. Конспект-справочник. – Астрахань: АГТУ, 2010. – 132 с.

  5. Ехсеl 2003. Библия пользователя. – М.: ИД “Вильямс”, 2008. – 768 с.

  6. http://ru.wikipedia.org/wiki - эффект Магнуса



Обсуждение

Социальные комментарии Cackle