Библиографическое описание:

Кожанова Е. Р., Захаров А. А. Применение модернизированной вейвлет-функции «Французская шляпа» для аппроксимации продольного распределения магнитного поля в магнитных реверсивных фокусирующих системах // Молодой ученый. — 2012. — №9. — С. 25-29.

Магнитная реверсивная фокусирующая система (МРФС) обеспечивает возможность качественной фокусировки электронных пучков при большой длине регулярной части СВЧ прибора О-типа и является переходным классом фокусирующих систем между системами с однонаправленным магнитным полем и магнитными периодическими фокусирующими системами (МПФС) [1, 2]. Известны варианты продольного распределения магнитного поля в МРФС (рис. 1) [1].

а) б) в)

Рис. 1. Распределение магнитной индукции BZ в МРФС [1]


Продольное распределение магнитного поля МРФС представляет собой совокупность распределений составляющих ее магнитов (рис. 2).

Рис. 2. Продольное распределение магнитного поля МРФС


Как видно из рис. 2, центральная часть данного распределения представляет собой набор импульсов одинаковой амплитуды чередующей полярности, разнесенных по оси 0z на расстояние d друг от друга.

По виду продольное распределение магнитного поля отдельного магнита, составляющего МРФС (рис. 3а), можно аппроксимировать знакопеременным распределением (пунктирная линия, рис. 3б), которое в свою очередь имеет схожесть с вейвлетом «Французская шляпа» (рис. 3в):

. (1)

Между двумя последними есть существенное отличие, в том, что в графической модели распределения магнита имеется переходная область при изменении полярности магнитного поля, которая зависит от параметра d (рис. 3б), а вейвлет «Французская шляпа» таких участков не содержит (рис. 3в).

а) б) в)

Рис. 3. Продольное распределение отдельного магнита МРФС (а), графическая модель распределения (б) и вейвлет «Французская шляпа» (в)


Возможность формирование суммирующего распределения рассмотрена на примере восьми вейвлет-функций «Французская шляпа» (1), которые чередуются по полярности (рис. 4) и сдвиг одного вейвлета относительно другого составляет 2/3.

Рис. 4. Суммирующее распределение, состоящее из восьми чередующихся вейвлет-функций (1) с разной полярностью


Как видно из рис. 4, центральная часть суммирующего распределения симметрична, что соответствует реальному продольному распределению магнитного поля МРФС. Следовательно, вейвлет (1) может использоваться в качестве аппроксимирующей функции при малых значениях d.

Следующим шагом является получение модернизированной вейвлет-функции «Французская шляпа» для чего необходимо определить величину GH (рис. 5). Известно, что переходная область от положительных значений к отрицательным (расстояние между точками АЕ на рис. 5) зависит от внутреннего диаметра магнита d, а ширина импульса 2/3. Так как прямоугольные треугольники АВС и EDC подобны, причем треугольник АВС в два раза больше треугольника EDC как по площади, так и по величине каждой его стороны (АВ/DE=2). Следовательно, отрезок BD делится точкой С в соотношении BC:CD=2:1, а для сохранения условия нулевого среднего, которое характерно для вейвлет-функций, то прямоугольные треугольники СDE и HGF должны быть равны (площадь треугольника ABC равна сумме треугольников СDE и HGF). Из последнего следует, что CD=GH=d/3. Данное соотношение учтем при составлении графической модели продольного распределения магнитного поля отдельного магнита МРФС.

Рис. 5. Модернизированная вейвлет – функция «Французская шляпа»


Приблизим модернизированную вейвлет-функцию (рис. 5) к реальному распределению магнитного поля отдельного магнита МРФС за счет введения следующих величин:

  1. амплитуды «положительного» импульса M;

  2. ширины импульса L/2;

тогда графическая модель будет иметь следующий вид (рис. 6).

Рис. 6. Графическая модель продольного распределения магнитного поля
отдельного магнита МРФС


На рис. 6 также показаны координаты точек А – Н, которые необходимы для составления аналитического описания данной функции. Стоит заметить, что данная функция имеет три горизонтальных области (ВС, DE, FG) и четыре области (AB, CD, EF, GH), которые задаются уравнениями прямых, проходящими через 2 точки.

Запишем уравнения прямой для АВ [3]:

. (2)

В результате подстановки координат точек А и В получим:

. (3)

По аналогии найдены другие уравнения:

; (4)

; (5)

. (6)

Следовательно, искомая функция, с учетом полученных областей AB, CD, EF, GH запишется (из файла Mathсad) (рис. 7а):

(7)

Чтобы задать обратную функцию для функции (7) необходимо, в среде Mathсad, поставить знак минус (рис. 7б):

y0(x):= - y1(x) (8)

Рис. 7. Полученные математические модели при М=1, L=2, d=3:

а – формула (7), б – формула (8)


Используя реальный механизм формирования МПФС с периодом равным (L/2+d) для математических моделей магнитов (7-8) получим продольное распределение магнитного поля МРФС, состоящее из 6 магнитов (рис. 8).

Рис. 8. Продольное распределение магнитного поля МРФС, состоящее из 6 чередующихся магнитов (7-8) при М=1, L=2, d=3


В дальнейшем планируется проверить полученные аналитические выражения для реальных МРФС.


Литература:

  1. Царев В.А., Спиридонов Р.В. Магнитные фокусирующие системы электровакуумных микроволновых приборов О-типа: учебное пособие. Саратов: изд-во "Новый ветер", 2010. 352 с.

  2. Мельников Ю.А. Постоянные магниты электровакуумных СВЧ приборов. Изд-во «Советское радио», 1967. 183 с.

  3. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: в 2 ч. / Д.Т. Письменный. - 2-е изд., испр. - М.: АЙРИС-ПРЕСС, 2004 - Ч. 1: Тридцать шесть лекций. - 2004. - 289 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle