Библиографическое описание:

Селиванов К. М. Интегрирование уравнений динамики твердого тела // Молодой ученый. — 2012. — №6. — С. 14-17.

При конструировании, создании и последующей эксплуатации систем различного назначения важнейшими вопросами являются исследование условий устойчивости их движения для обеспечения безопасности. Натурное воспроизведение неустойчивых режимов движения связано с большим риском.

Альтернативой является использование математических моделей для описания указанных систем.

Предметом исследования в статье являются математические модели динамики твердого тела в форме уравнений Гамильтона и численные методы их интегрирования, применительно к описанию транспортных, авиационных, космических систем.

Для численного интегрирования уравнений Гамильтона [1] использован канонический метод, в основе которого лежит принцип консервативных возмущений. Согласно этому принципу все вычислительные процессы численного интегрирования уравнений движения должны соответствовать малому консервативному возмущению. Такой подход приводит к значительному повышению достоверности и информативности результатов компьютерного эксперимента. Следуя результатам канонической теории возмущений КолмогороваАрнольдаМозера [2], малые консервативные возмущения не могут нарушать устойчивость консервативной системы при ее движении вблизи положения равновесия.

Неустойчивость консервативно возмущенной системы, воспроизводимая в процессе компьютерного эксперимента, всегда определяет неустойчивость исходной системы. Имеется реальная возможность использования результатов указанной теории в исследовании динамики твердого тела, в частности для определения условий устойчивости летательных аппаратов.

Запишем исходную систему уравнений Гамильтона для невозмущенного движения твердого тела:

(1)

где функция Гамильтона, обобщенные импульсы и координаты.

Связь между исходной и консервативно возмущенной системой осуществляется бесконечно малыми каноническими преобразованиями.
Этому соответствуют алгоритмы численного интегрирования, обеспечивающие консервативность возмущения в форме импульс – координата (2) и координата – импульс (3):

(2)

(3)

где шаг интегрирования.

На основе использования алгоритмов (2), (3) построены компьютерные модели, воспроизводящие движение твердого тела в условиях свободного вращения в потенциальном поле.

Представим физическую модель объекта как свободное вращение твердого тела вокруг точки, относительно неподвижной системы координат , а в качестве углов выберем навигационные углы поворота относительно оси крена, тангажа и курса (рисунок 1).

Рис. 1. Навигационные углы вращения летательного аппарата


Для записи кинематических формул летательного аппарата необходимо определить проекции угловой скорости на оси подвижной системы координат , выразив их через углы поворота и их производные .

Получим выражение проекций угловых скоростей твердого тела на оси подвижной системы координат [3]:

(4)

Если главные моменты инерции твердого тела отнесены к осям системы , то кинетическая энергия вращения выразится квадратичной формой вида:

(5)

где главные моменты инерции.

Схема построения функции Гамильтона, заключается в преобразовании производных функции навигационных углов в обобщенные импульсы .

(6)

Используя выражения для преобразования координат, запишем кинетическую энергию твердого тела в случае свободного вращения:

,

(7)

где значения коэффициентов квадратичной формы имеют вид:

(8)

Определим проекции кинетического момента (обобщенные импульсы) через производные функций углов поворота и разрешим полученную систему, используя формулу Крамера:

((9)

((10)

где определители системы (9), алгебраические дополнения.

Подставляя выражения производных функций углов поворота (10) в функцию кинетической энергии (7), получим функцию Гамильтона для случая свободного вращения:

.

(11)

В динамические уравнения Гамильтона входят частные производные функций Гамильтона по импульсам и координатам и представляют собой достаточно громоздкие выражения, поэтому предварительно следует определить соответствующие частные производные всех промежуточных выражений. При создании и тестировании компьютерных программ эти промежуточные выражения удобно представить как упорядоченную систему функций (банк функций) в табличном виде [4].

Алгоритм интегрирования может быть представлен в виде следующей схеме (рисунке 2).

Рис. 2. Схема формирования системы функций и алгоритма


Разработанная схема обобщает построение алгоритмов для различных видов углов поворота и систем координат.

Фазовые траектории для случая свободного вращения летательного аппарата изображены на рисунке 3.

Рис. 3. Фазовые траектории свободного вращения


Воспроизводимое компьютером движение соответствует движению исходной системы в условиях действия консервативных возмущений. Действительно консервативные возмущения, вызванные процессом счета, не нарушают исходную устойчивость движения [5].

При движении в потенциальном поле к функции Гамильтона добавим потенциальную энергию . Фазовые траектории при длительных временах наблюдений описывают устойчивые колебаниям относительно трех осей и представлены на рисунке 4.

Рис. 4. Фазовые траектории движения в потенциальном поле


Консервативные возмущения, вызванные процессом счета, не нарушают устойчивость режима движения твердого тела, то есть движение осуществляется в окрестности точки минимума потенциальной энергии.

Под устойчивым режимом движения будем понимать способность объекта сколь угодно долго оставаться в фиксированной окрестности невозмущенной фазовой траектории при действии на него малых возмущающих факторов.

При движении с диссипацией энергии к первому уравнению системы (1) добавим диссипативную составляющую . На рисунке 5 представлены фазовые траектории в виде асимптотически сходящейся спирали.

Рис. 5. Фазовые траектории движения в потенциальном поле

под действием диссипативных сил

Математическая модель движения твердого тела [5] построенная на основе, фундаментальных положений аналитической динамики, позволяет исследовать его поведение в условиях свободного вращение, под действием консервативных и диссипативных сил. Алгоритмы численного интегрирования уравнений Гамильтона, устойчивы к накоплению погрешности во времени, повышают точность решения и быстродействие, что подтверждается малой относительной величиной изменения гамильтониана и наименьшим числом используемых арифметических операций. Программный комплекс моделирования и исследования динамической устойчивости летательного аппарата [6] использован для сравнительной характеристики устойчивости движения твердого тела по методу Эйлера и по каноническому методу.


Литература:
  1. Ефимов И.Н., Морозов Е.А. Каноническое интегрирование динамических систем. Екатеринбург-Ижевск: Изд-во Института экономики УрО РАН, 2006. – 198 с.

  2. Мозер Ю. КАМ – тория и проблема устойчивости. – Ижевск: ИРТ, 2001. – 448 с.

  3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1977. – 832 с.

  4. Ефимов И.Н., Морозов Е.А., Селиванов К.М., Ермолаева Е.В. Канонические преобразования фазового пространства в динамике твердого тела // Вестник ИжГТУ. – 2009. − №4. − С. 190−195.

  5. Селиванов К.М. Канонический метод интегрирования в исследовании движения твердого тела // Интеллектуальные системы в производстве. 2010. – № 1. – С. 67–76.

  6. Якимович Б.А., Ефимов И.Н., Морозов Е.А., Ермолаева Е.В., Селиванов К.М. Программно-методический комплекс моделирования и исследования динамической устойчивости летательного аппарата // Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики и экономики: сб. науч. тр. XII Международной научно-практической конференции. – М.: МГУПИ, 2009. – С. 193–197.

Основные термины (генерируются автоматически): твердого тела, движения твердого тела, Фазовые траектории, летательного аппарата, уравнений Гамильтона, численного интегрирования уравнений, Фазовые траектории движения, динамики твердого тела, интегрирования уравнений Гамильтона, вращения летательного аппарата, устойчивости летательного аппарата, динамической устойчивости летательного, системы координат, интегрирования уравнений движения, потенциальном поле, подвижной системы координат, устойчивости движения твердого, вращение твердого тела, невозмущенного движения твердого, скоростей твердого тела.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle