Библиографическое описание:

Захаров М. В., Косаревский С. В., Лудыков В. В., Соколов Е. В. Расчёт деформации приспособления для закрепления концевых мер длины, предназначенного для поверки координатно-измерительных машин // Молодой ученый. — 2009. — №4. — С. 7-10.

Введение

 Для выполнения поверки координатно-измерительных машин (КИМ) в соответствии с методикой [1] необходимо закреплять концевые меры длины в рабочем пространстве КИМ в различных положениях. При применении мер длиной до 0.5 метра для этой цели используется сварной или цельнометаллический треугольник с отверстиями, закреплённый в необходимом положении на столе КИМ, и на который устаналиваются меры. Такая конструкция является очень жёсткой и широко используемой при проведении поверок КИМ.

 Согласно методике поверки [1] необходимо, чтобы длина концевой меры составляла не менее 0.8 от максимальной длины рабочего пространства КИМ. Т.е. при поверке больших координатно-измерительных машинах возникает необходимость применения концевых мер длины свыше 0.5 метра, что приводит к сложностям использования и невозможности использования вышеописанного приспособления.

 В данной статье выполнен анализ деформации приспособления под действием усилия, возникающего при ощупывании концевой меры длины, закреплённой в приспособлении, на координатно-измерительной машине. Схема нагружения представлена на рисунке 1.

 

 Fig1alt

Рис. 1: Схема.

 

Уравнение прогиба стержня приспособления

 Определим прогиб стержня, жёстко закреплённого одним концом, под действием силы F перпендикулярной его оси. Для этого запишем формулу Эйлера [3, стр.276]:

 

                                                                                                                  (1)

 

 В данном случае  = , где x - координата вдоль оси стержня (рис. 1). Для нахождения прогиба подставим  в (1) и дважды проинтегрируем по . После первого интегрирования получим:

                                                  

 

 После второго интегрирования уравнение примет вид:

 

                                             

 

 По рис.1 задаём граничные условия  =  и  =  и находим значения констант  и :

                                              

 

                                                        

 

                                          

 

                                                        

 Окончательно формула прогиба примет следующий вид:

 

                                      

 

 Прогиб у вершины стержня, в точке приложения силы, будет равен:

 

                                                                                                              (2)

 

Модуль упругости стержня

 В качестве материала стержня возможно применение стали и алюминия. Справочные значения модулей упругости приведены в таблице 1.

 

Таблица 1: Модули упругости

   Материал

  Модуль упругости, Е,  

 Сталь

  

Алюминий

  

 

 

Осевой момент инерции

 

 Fig2

 

Рис. 2: Сечение.

 

 Рассмотрим кольцевое сечение стержня рис.2, с наружным и внутренним радиусами  и . Сначала определим полярный момент инерции для произвольного сечения радиусом  и шириной  по формуле [2, стр.112]:

 

                                                                                                                          (3)

 

 Принимая во внимание, что площадь  можно представить в следующем виде:

 

                                                         

 

получим следующую формулу для вычисления полярного момента инерции:

 

                                

 Для определения осевого момента инерции воспользуемся зависимостью: . Окончательной будем иметь:

 

                                                                                                          (4)

 

 Частным случаем является использование стержня сплошного сечения ( = ), тогда формула (4) примет вид:

                                                      

 

Расчёт прогибов

 Произведём расчёт прогибов стержней различной формы сечения и изготовленных из различного материала. Рассмотрим четыре случая: два различных сечения изготовленные из двух различных материалов.

 

5.1  Кольцевое сечение

 Примем  =  мм,  =  мм. Подставляя эти величины в формулу (2) вычислим прогибы кольцевого стержня различной высоты. Результаты приведены в таблицах 2 и 3.

 

Таблица 2: Кольцевое сечение. Материал - сталь. 

  Высота стержня (), мм

 100

 200

 300

 400

 500

 600

 700

 800

 900

 1000

 Прогиб (), мкм

<0.01

 0.03

 0.09

 0.22

 0.42

 0.73

 1.15

 1.72

 2.45

 3.37

 

Таблица 3: Кольцевое сечение. Материал - алюминий.

  Высота стержня (), мм

 100

 200

 300

 400

 500

 600

 700

 800

 900

 1000

 Прогиб (), мкм

<0.01

 0.08

 0.26

 0.62

 1.20

 2.08

 3.30

 4.93

 7.01

 9.62

 

5.2  Сплошное сечение

 Примем  =  мм,  =  мм. Подставляя эти величины в формулу (2) вычислим прогибы сплошного стержня различной высоты. Результаты приведены в таблицах 4 и 5.

 

Таблица 4: Сплошное сечение. Материал - сталь.

  Высота стержня (), мм

 100

 200

 300

 400

 500

 600

 700

 800

 900

 1000

 Прогиб (), мкм

 <0.01

 <0.01

 0.03

 0.08

 0.15

 0.25

 0.40

 0.60

 0.86

 1.18

 

 

 Таблица 5: Сплошное сечение. Материал - алюминий.

  Высота стержня (), мм

 100

 200

 300

 400

 500

 600

 700

 800

 900

 1000

 Прогиб (), мкм

 <0.01

 0.03

 0.10

 0.22

 0.42

 0.73

 1.15

 1.72

 2.45

 3.37

 

Выводы

 Алюминиевый стержень кольцевого сечения имеет слишком большие значения прогиба и дальнейшее его рассмотрение в качестве основы для приспособления для закрепления концевых мер нецелесообразно.

 Построим график (рис.3), характеризующий зависимость величины прогиба от высоты стержня. Для наглядности на графике прямыми линиями показана величина погрешности координатно-измерительной машины Carl Zeiss PRISMO 10 S-ACC ( =  мкм) (верхняя прямая) и  этой величины (нижняя прямая).

 Fig3

 

Рис. 3: Зависимость величины прогиба от длины стержня.

 

Список литературы

 

[1] МИ 2569-99 Машины координатно-измерительные портального типа. Методика поверки. Всероссийский Научно-Исследовательский Институт Метрологической Службы (ВНИИМС) Госстандарта России, Москва, 1999.

[2] Александров А.В, Потапов В.Д, Державин Б.П. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 1976 г.

[3] Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1976 г.

[4] Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: АСТ, 2008. 992с.

[5] Голубев Э.А. Сопоставление различных подходов к оценке неопределённости измерений. // Измерительная техника. №3, 2008. С. 6-9

[6] Estler W.T., Phillips S.D., Borchardt B., Hopp T., Witzgall C., Levenson M., Eberhardt K., McClain M., Shen Y., Zhang X. Error compensation for CMM touch trigger probes. // Precision Engineering. Vol. 19, №2, October 1996, pp. 85-97(13).

[7] Cauchick-Miguel P.A., King T.G. Factors which influence CMM touch trigger probe performance. // International Journal of Machine Tools and Manufacture. Vol. 38, №4, March 1998, pp. 363-374(12).

[8] Woniak A., Dobosz M. Metrological feasibilities of CMM touch trigger probes. Part I: 3D theoretical model of probe pretravel. // Measurement. Vol. 34, Issue 4, December 2003, pp. 273-286.

[9] Woniak A., Dobosz M. Metrological feasibilities of CMM touch trigger probes. Part II: Experimental verification of the 3D theoretical model of probe pretravel. // Measurement. Vol. 34, Issue 4, December 2003, pp. 287-299.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle