Библиографическое описание:

Захаров М. В., Косаревский С. В., Лудыков В. В., Соколов Е. В. Расчёт деформации приспособления для закрепления концевых мер длины, предназначенного для поверки координатно-измерительных машин // Молодой ученый. — 2009. — №4. — С. 7-10.

Введение

 Для выполнения поверки координатно-измерительных машин (КИМ) в соответствии с методикой [1] необходимо закреплять концевые меры длины в рабочем пространстве КИМ в различных положениях. При применении мер длиной до 0.5 метра для этой цели используется сварной или цельнометаллический треугольник с отверстиями, закреплённый в необходимом положении на столе КИМ, и на который устаналиваются меры. Такая конструкция является очень жёсткой и широко используемой при проведении поверок КИМ.

 Согласно методике поверки [1] необходимо, чтобы длина концевой меры составляла не менее 0.8 от максимальной длины рабочего пространства КИМ. Т.е. при поверке больших координатно-измерительных машинах возникает необходимость применения концевых мер длины свыше 0.5 метра, что приводит к сложностям использования и невозможности использования вышеописанного приспособления.

 В данной статье выполнен анализ деформации приспособления под действием усилия, возникающего при ощупывании концевой меры длины, закреплённой в приспособлении, на координатно-измерительной машине. Схема нагружения представлена на рисунке 1.

 

 Fig1alt

Рис. 1: Схема.

 

Уравнение прогиба стержня приспособления

 Определим прогиб стержня, жёстко закреплённого одним концом, под действием силы F перпендикулярной его оси. Для этого запишем формулу Эйлера [3, стр.276]:

 

                                                                                                                  (1)

 

 В данном случае  = , где x - координата вдоль оси стержня (рис. 1). Для нахождения прогиба подставим  в (1) и дважды проинтегрируем по . После первого интегрирования получим:

                                                  

 

 После второго интегрирования уравнение примет вид:

 

                                             

 

 По рис.1 задаём граничные условия  =  и  =  и находим значения констант  и :

                                              

 

                                                        

 

                                          

 

                                                        

 Окончательно формула прогиба примет следующий вид:

 

                                      

 

 Прогиб у вершины стержня, в точке приложения силы, будет равен:

 

                                                                                                              (2)

 

Модуль упругости стержня

 В качестве материала стержня возможно применение стали и алюминия. Справочные значения модулей упругости приведены в таблице 1.

 

Таблица 1: Модули упругости

   Материал

  Модуль упругости, Е,  

 Сталь

  

Алюминий

  

 

 

Осевой момент инерции

 

 Fig2

 

Рис. 2: Сечение.

 

 Рассмотрим кольцевое сечение стержня рис.2, с наружным и внутренним радиусами  и . Сначала определим полярный момент инерции для произвольного сечения радиусом  и шириной  по формуле [2, стр.112]:

 

                                                                                                                          (3)

 

 Принимая во внимание, что площадь  можно представить в следующем виде:

 

                                                         

 

получим следующую формулу для вычисления полярного момента инерции:

 

                                

 Для определения осевого момента инерции воспользуемся зависимостью: . Окончательной будем иметь:

 

                                                                                                          (4)

 

 Частным случаем является использование стержня сплошного сечения ( = ), тогда формула (4) примет вид:

                                                      

 

Расчёт прогибов

 Произведём расчёт прогибов стержней различной формы сечения и изготовленных из различного материала. Рассмотрим четыре случая: два различных сечения изготовленные из двух различных материалов.

 

5.1  Кольцевое сечение

 Примем  =  мм,  =  мм. Подставляя эти величины в формулу (2) вычислим прогибы кольцевого стержня различной высоты. Результаты приведены в таблицах 2 и 3.

 

Таблица 2: Кольцевое сечение. Материал - сталь. 

  Высота стержня (), мм

 100

 200

 300

 400

 500

 600

 700

 800

 900

 1000

 Прогиб (), мкм

<0.01

 0.03

 0.09

 0.22

 0.42

 0.73

 1.15

 1.72

 2.45

 3.37

 

Таблица 3: Кольцевое сечение. Материал - алюминий.

  Высота стержня (), мм

 100

 200

 300

 400

 500

 600

 700

 800

 900

 1000

 Прогиб (), мкм

<0.01

 0.08

 0.26

 0.62

 1.20

 2.08

 3.30

 4.93

 7.01

 9.62

 

5.2  Сплошное сечение

 Примем  =  мм,  =  мм. Подставляя эти величины в формулу (2) вычислим прогибы сплошного стержня различной высоты. Результаты приведены в таблицах 4 и 5.

 

Таблица 4: Сплошное сечение. Материал - сталь.

  Высота стержня (), мм

 100

 200

 300

 400

 500

 600

 700

 800

 900

 1000

 Прогиб (), мкм

 <0.01

 <0.01

 0.03

 0.08

 0.15

 0.25

 0.40

 0.60

 0.86

 1.18

 

 

 Таблица 5: Сплошное сечение. Материал - алюминий.

  Высота стержня (), мм

 100

 200

 300

 400

 500

 600

 700

 800

 900

 1000

 Прогиб (), мкм

 <0.01

 0.03

 0.10

 0.22

 0.42

 0.73

 1.15

 1.72

 2.45

 3.37

 

Выводы

 Алюминиевый стержень кольцевого сечения имеет слишком большие значения прогиба и дальнейшее его рассмотрение в качестве основы для приспособления для закрепления концевых мер нецелесообразно.

 Построим график (рис.3), характеризующий зависимость величины прогиба от высоты стержня. Для наглядности на графике прямыми линиями показана величина погрешности координатно-измерительной машины Carl Zeiss PRISMO 10 S-ACC ( =  мкм) (верхняя прямая) и  этой величины (нижняя прямая).

 Fig3

 

Рис. 3: Зависимость величины прогиба от длины стержня.

 

Список литературы

 

[1] МИ 2569-99 Машины координатно-измерительные портального типа. Методика поверки. Всероссийский Научно-Исследовательский Институт Метрологической Службы (ВНИИМС) Госстандарта России, Москва, 1999.

[2] Александров А.В, Потапов В.Д, Державин Б.П. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 1976 г.

[3] Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1976 г.

[4] Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: АСТ, 2008. 992с.

[5] Голубев Э.А. Сопоставление различных подходов к оценке неопределённости измерений. // Измерительная техника. №3, 2008. С. 6-9

[6] Estler W.T., Phillips S.D., Borchardt B., Hopp T., Witzgall C., Levenson M., Eberhardt K., McClain M., Shen Y., Zhang X. Error compensation for CMM touch trigger probes. // Precision Engineering. Vol. 19, №2, October 1996, pp. 85-97(13).

[7] Cauchick-Miguel P.A., King T.G. Factors which influence CMM touch trigger probe performance. // International Journal of Machine Tools and Manufacture. Vol. 38, №4, March 1998, pp. 363-374(12).

[8] Woniak A., Dobosz M. Metrological feasibilities of CMM touch trigger probes. Part I: 3D theoretical model of probe pretravel. // Measurement. Vol. 34, Issue 4, December 2003, pp. 273-286.

[9] Woniak A., Dobosz M. Metrological feasibilities of CMM touch trigger probes. Part II: Experimental verification of the 3D theoretical model of probe pretravel. // Measurement. Vol. 34, Issue 4, December 2003, pp. 287-299.

Основные термины: CMM touch trigger, CMM touch trigger, touch trigger probes, touch trigger probes, of cmm touch, of cmm touch, концевых мер длины, концевых мер длины, feasibilities of cmm, model of probe, feasibilities of cmm, закрепления концевых мер, model of probe, закрепления концевых мер, of probe pretravel, of probe pretravel, поверки координатно-измерительных машин, поверки координатно-измерительных машин, theoretical model of, theoretical model of

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle