Библиографическое описание:

Игамбердиев Х. З., Юсуфбеков А. Н. Регулярные алгоритмы синтеза приспосабливающихся регуляторов в задачах управления динамическими объектами // Молодой ученый. — 2012. — №1. Т.1. — С. 13-16.


Приводятся регулярные алгоритмы синтеза приспосабливающихся регуляторов в задачах управления динамическими объектами на основе ретроспективных и рекуррентных выражений калмановской фильтрации.

Решение задач оптимального управления многими технологическими объектами с использованием их математической модели может быть осуществлено системой управления, работающей на основе принципа компенсации возмущений [1,2]. Принцип управления по возмущению может быть охарактеризован использованием явления компенсации возмущений, математическим выражением которых в настоящее время стали условия инвариантности. Теория инвариантности располагает широкими возможностями для создания высокоточных автоматических систем управления объектами в условиях, когда возмущающие воздействия непосредственно наблюдаемы. К настоящему времени получили дальнейшее развитие прикладные разделы теории управления по возмущению сложными технологическими комплексами, в том числе с применением ЭВМ в комбинированных системах оптимального управления процессами [3,4].

В условиях неконтролируемых возмущений известные методы синтеза инвариантных систем в значительной степени утрачивают свою эффективность. Связано это в первую очередь с необходимостью дополнительного оценивания неизвестных возмущений. Для решения этой задачи при описании системы управления оказывается целесообразным использование моделей возмущений, основанных на концепциях формирующих фильтров и волнового представления. Модели возмущений, основанные на этих концепциях, способны точно описать широкий класс реальных неопределенных возмущений, встречающихся при практическом проектировании систем управления динамическими объектами. Использование указанного подхода к описанию возмущений совместно с современными методами теории управления позволяет получить некоторое многообразие высококачественных регуляторов, обладающих свойствами приспособления к возмущениям [2,5]. Применение такого рода регуляторов позволяет строить многомерные замкнутые системы управления, весьма эффективные в противодействии разного рода временным и постоянно действующим возмущениям, которые сопутствуют реальным системам.

Будем рассматривать управляемую систему, описываемую уравнениями

(1)

(2)

где xn – вектор состояния системы, ur- вектор входных сигналов системы, wp - вектор неизвестных возмущений, приложенных к системе, ym -вектор выходных сигналов системы, и – матрицы соответствующих размерностей.

Возмущающие воздействия wk, фигурирующие в (1), (2), будем определять уравнениями вида

, (3)

, (4)

где z&#; - вектор состояния возмущения wk, – последовательность типа дискретного белого шума, матрицы Hk, Lk, Dk и Mk определяются процедурами построения формирующих фильтров посредством линейных моделей состояния.

В задачах управления динамическими системами мгновенное «состояние» неопределенных возмущений является наиболее важной информацией о возмущениях. В частности, оказывается, что величина мгновенного «состояния» zk неопределенного возмущения wk содержит всю информацию, необходимую для корректного выбора управления в момент времени k, хотя будущее поведение возмущения неизвестно. Этот результат называют «принципом оптимального приспособления к возмущениям» [5].

Общее управляющее воздействие uk представим в виде , при этом на компоненту возлагается задача поглощения возмущений wk, а на компоненту – задача требуемого управления состоянием xk и выходной переменной yk.

Можно показать [5], что условие минимизации влияния возмущений имеет вид:

, (5)

где xk и zk – текущие состояния системы и вектора возмущений.

Для оценивания состояний xk и zk в сформулированных выше условиях можно использовать методы построения наблюдателей состояния неизмеряемых воздействий.

Таким образом, для синтеза регуляторов, минимизирующих возмущения, необходимо решить уравнение (5).

Производя некоторые преобразования относительно уравнения (5) можно написать

, (6)

где , , , .

В уравнении (6) правая часть представляет собой оценки состояния системы xk и возмущения zk, формируемые на основе расширенного оценивателя состояния. В связи с этим обстоятельством уравнение (6) запишем в виде

, (7)

где помеха vk имеет нулевое среднее и неотрицательно определенную ковариационную матрицу Rk, или , где , и .

Практическая реализация указанного подхода приводит к необходимости разработки эффективных вычислительных процедур синтеза приспосабливающихся регуляторов с использованием регулярных методов. Это обусловлено тем, что при решении уравнения (6) могут нарушаться условия устойчивости решения, связанные с возможной плохой обусловленностью матрицы . Поэтому целесообразно рассмотреть различные возможные подходы к решению задач повышения точности вычисления управляющего воздействия методами регуляризации и выявить наиболее перспективные для практического использования методы и алгоритмы решения некорректно поставленных задач.

Рассмотрим задачу оценивания управляющего воздействия приспосабливающегося регулятора при различном объеме априорной информации о уравнении наблюдения объекта. Построение оценки для будем производить при следующих предположениях: априорная информация о векторе задана математическим ожиданием и корреляционной матрицей ; помеха измерения имеет нулевое среднее и корреляционную матрицу ; вектор помехи измерения подчиняется нормальному распределению; матрицы и обратимы. Принятые предположения являются довольно общими и широко используются при решении разнообразных теоретических задач синтеза систем управления динамическими объектами.

В условиях принятых предположений на основе методов статистического оценивания [6,7] можно показать, что оценка может быть определена из системы уравнений вида:

. (8)

Систему (8) можно получить и как первый шаг алгоритма калмановской фильтрации. Однако при решении большинства практических задач априорное распределение вектора неизвестно. Тогда оценку можно найти из следующей системы алгебраических уравнений

, (9)

где – неотрицательно определенная симметричная матрица.

Параметр регуляризации в (9) целесообразно определять на основе способов квазиоптимальности, отношений и взаимной значимости [6,8]. Можно показать [6,7], что если корреляционная матрица помехи измерения допускает представление и выбор параметра регуляризации &#; удовлетворяет условию при , то сходится в среднем квадратическом к при , где – псевдорешение матричного уравнения (7) при точной правой части.

Для повышения точности решения уравнения (7) целесообразно производить последовательную компенсацию смещения оценки. Ошибку решения уравнения (7) обозначим в виде . Здесь вектор характеризует систематическую составляющую ошибки решения, а вектор - случайную составляющую. Для решения , определяемого формулой (9) вектор можно находить из системы уравнений

,

при этом справедливы следующие предельные соотношения

,

где – точное решение уравнения (7).

Ввиду того, что априори точное решение уравнения (7) неизвестно, целесообразно вычислять нулевое приближение вектора на основе выражения вида

.

Тогда регуляризованное решение характеризуется смещением . Такой итерационный процесс уточнения оценки вектора смещения можно представить в виде

Решение можно записать в виде

,

где . Тогда вектор ошибки состоит из двух составляющих: вектора смещения и случайной составляющей . На основании [6,9] можно заключить, что последовательность норм при увеличении j монотонно убывает, а последовательность при увеличении j является монотонно возрастающей. Таким образом, ошибку решения можно уменьшить не только за счет выбора параметра регуляризации, но и путем компенсации смещения регуляризованного решения. При этом формально решение совпадает с «гладким» регуляризованным по А.Н.Тихонову решением при замене . Однако как по алгоритму построения, так и по своей интерпретации «гладкое» решение не связано с возможностью уменьшения ошибки решения.

Уравнение (7) можно также решить методом калмановской фильтрации. Для этого динамическую модель процесса, соответствующего рассматриваемой задаче, представим в виде:

, (10)

, (11)

где - i-я строка матрицы .

В этой модели вектор измерения является одномерным, т.е. скалярной величиной, а сама последовательность измерений ограничена числом проекций N=n+&#;.

Из общих уравнений фильтра Калмана [1,5] следует, что оценка , минимизирующая среднеквадратическую ошибку оценивания, определяется рекуррентным соотношением

(12)

а матрица коэффициентов усиления вычисляется по формулам

(13)

(14)

где - диагональные элементы корреляционной матрицы , характеризирующие дисперсии помехи измерения в i-х точках.

Отметим один важный момент, возникающий при использовании фильтра Калмана в форме (12)-(14). Неточность задания матриц , и ошибки вычисления могут вызвать расходимость фильтра. Суть этого явления заключается в том, что элементы матрицы стремятся к нулю и информация о векторе , заключенная в новых измерениях , не участвует в формировании оценки . Это резко увеличивает ошибку оценивания по сравнению с расчетными значениями матрицы . Здесь для предотвращения процесса расходимости целесообразно использовать адаптивные алгоритмы фильтрации по последовательности скалярных измерений и с обратной связью по обновляемой последовательности [10].

В заключение отметим, что приведенный алгоритм калмановской фильтрации может успешно использоваться при решении задачи оценивания управляющей последовательности в случае как многократного, так и однократного измерения правой части операторного уравнения (7). При этом алгоритм одновременно строит оптимальную устойчивую оценку вектора решения и вычисляет ковариационную матрицу ошибки решения.

На основе многочисленных модельных примеров показана состоятельность искомых оценок, обладающих свойствами асимптотической сходимости. Практическая реализация приведенных алгоритмов в условиях конкретного технологического объекта управления в сочетании с алгоритмами адаптивной идентификации, основанными на теории оценивания, показали свою эффективность.


Литература:

  1. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. - М.: Наука, 1987. - 712 с.

  2. Егупов Н.Д., Пупков К.А. Методы классической и современной теории автоматического управления. Учебник в 5 томах. - М.: Издательство МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2004.

  3. Алиев Р.А. Принцип инвариантности и его применение для проектирования промышленных систем управления. – М.: Энергоатомиздат, 1985. – 128 с.

  4. Дроздов И.В., Мирошник И.В., Скорубский И.В. Системы автоматического управления с микроЭВМ. -Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1989. - 284 с.

  5. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах. / Под ред. К. Т. Леондеса Пер. с англ., - М.: Мир, 1980. - 407 с.

  6. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г., Седельников А.И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. – Новосибирск: Наука, 1984.

  7. Федотов А.М. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. - Новосибирск : Наука, 1982. - 192 с.

  8. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1979. – 285 с.

  9. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. - М.: Наука, 1987. - 240 с.

  10. Огарков М.А. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов. –М.: Энергоатомиздат, 1990. -208 с.



Обсуждение

Социальные комментарии Cackle