Библиографическое описание:

Оразов М. О представлении натуральных чисел в виде разности двух последовательностей // Молодой ученый. — 2011. — №8. Т.1. — С. 43-49.


The present work researches the density of sequence of natural numbers, belonging within a specified interval and presentable as a difference between members of two specified sequences of natural numbers U and V. Using the identical equation of N. P. Romanoff and the Romanoff-Erdцs inequality asymptotic formulae, characterising the quantity of natural numbers presentable as a difference of ak – bl, where a and b – natural numbers, k ≥ 2, l ≥ 2 – whole numbers, have been obtained. Asymptotic formulae for the quantity of natural numbers, not exceeding a specified limit and presentable as a difference u - ∂, (u U and V) in one way only, have been obtained.

В данной работе изучается плотность последовательности натуральных чисел, принадлежащих заданному интервалу и представимых в виде разности членов двух заданных последовательностей натуральных чисел и . С помощью тождества Н.П.Романова и неравенства Романова−Эрдоша получены асимптотические формулы, характеризующие количество натуральных чисел, представимых в виде разности , где и − натуральные числа, , − целые числа. Получены также асимптотические формулы для числа натуральных чисел, непревосходящих заданной границы и представимых в виде разности , ( и ) единственным образом.

Пусть и две последовательности натуральных чисел. Мы рассматриваем натуральные числа представимые в виде , где , (в дальнейшем включения и подразумевается если явно не оговорено противное).

Применим тождество Романова к множеству , образованному парами (), где , , и . Обозначим через и соответственно подсчитывающие функции последовательностей а через &#; число пар из . В этих обозначениях

Обозначим через число представлений натурального в виде разности , где , . Согласно тождеству Романова [1]

,

где

где

.

Пусть &#; число натуральных чисел , представимых в виде разности , где , а &#; число натуральных чисел , представимых в указанном виде единственным образом. В силу неравенства Романова&#;Эрдоша [1]

С другой стороны

Так как

то

Таким образом справедлива

Теорема 1. Имеют место соотношения

где .

Пусть означает число натуральных чисел, представимых в виде разности , где , а &#; число натуральных чисел, представимых в указанном виде единственным образом. Очевидно, . Поэтому при из теоремы 1 следует

Теорема 2. В условиях теоремы 1

и

, .

Ясно, что последний интеграл . С другой стороны, если , то

Если существует функция при , такая, что

и ,

то при имеем

и следовательно

Если при этом и ,

то

.

Таким образом, имеет место

Теорема 3. Пусть и &#; последовательности натуральных чисел такие, что

и существует функция (при ), такая, что

и .

Тогда при

и

.

Замечание. Как видно из определения величины ,

.

Последняя сумма симметрична относительно и . Поэтому наряду с оценкой

,

полученной выше, справедливо также неравенство

.

Отсюда следует, что утверждение теоремы 2 остается справедливым, если в вычитаемых членах заменить на .

Ввиду асимметрии исходной задачи относительно и , такая замена позволяет в ряде случаев получать новые результаты.

Применим теорему 2 к последовательностям степеней , , где и заданные целые числа &#;2.

Тогда

,

.

Как было доказано в работе [1], в этом случае , , для любого фиксированного .

По теореме 2

Если , то есть , то главный член не поглощается остатком, ввиду произвольной малости

В силу предыдущих замечаний второй остаточный член можно заменить на . Это соответствует оценке .

Согласно теореме 2, точно также получается и оценка . Поэтому справедлива следующая

Теорема 4. Пусть и неравные друг другу целые числа &#;2. Тогда число натуральных чисел, непревосходящих и представимых в виде разности , в котором уменьшаемое и вычитаемое также не превосходит , а также число натуральных чисел, непревосходящих и представимых в указанном виде единственным образом асимптотически равно

,

где &#; произвольно малое фиксированное положительное число.

Теоремы 2&#;4 относятся к случаю .

Рассмотрим теперь задачу о натуральных числах , представимых в форме , где и заданные целые числа, и натуральные числа , причем . Применим теорему 1. Главный член в этой теореме равен


Если , , то последнее выражение равно

Отсюда также, как при доказательстве предыдущей теоремы, имеем

Аналогичные равенства справедливы для .


Литература:
  1. Оразов М. Некоторые приложения неравенства Романова-Эрдоша.&#; Изв.АН Туркм.ССР, сер. физ.&#;техн., хим. и геолог. Наук 1 (1978), 3&#;9.

  2. Wirzing E. Eine Erweiter und der esten Romanow schen sotzes.&#; Math., 9(1958), 407&#;409.

  3. Бредихин Б.М. Остаточный член в асимптотической формуле для .&#; Изв. Высших учебных заведений СССР, Математика, 6(19), 1960, 40&#;49.


Обсуждение

Социальные комментарии Cackle