Библиографическое описание:

Оразов М. О представлении натуральных чисел в виде разности двух последовательностей // Молодой ученый. — 2011. — №8. Т.1. — С. 43-49.


The present work researches the density of sequence of natural numbers, belonging within a specified interval and presentable as a difference between members of two specified sequences of natural numbers U and V. Using the identical equation of N. P. Romanoff and the Romanoff-Erdцs inequality asymptotic formulae, characterising the quantity of natural numbers presentable as a difference of ak – bl, where a and b – natural numbers, k ≥ 2, l ≥ 2 – whole numbers, have been obtained. Asymptotic formulae for the quantity of natural numbers, not exceeding a specified limit and presentable as a difference u - ∂, (u U and V) in one way only, have been obtained.

В данной работе изучается плотность последовательности натуральных чисел, принадлежащих заданному интервалу и представимых в виде разности членов двух заданных последовательностей натуральных чисел и . С помощью тождества Н.П.Романова и неравенства Романова−Эрдоша получены асимптотические формулы, характеризующие количество натуральных чисел, представимых в виде разности , где и − натуральные числа, , − целые числа. Получены также асимптотические формулы для числа натуральных чисел, непревосходящих заданной границы и представимых в виде разности , ( и ) единственным образом.

Пусть и две последовательности натуральных чисел. Мы рассматриваем натуральные числа представимые в виде , где , (в дальнейшем включения и подразумевается если явно не оговорено противное).

Применим тождество Романова к множеству , образованному парами (), где , , и . Обозначим через и соответственно подсчитывающие функции последовательностей а через &#; число пар из . В этих обозначениях

Обозначим через число представлений натурального в виде разности , где , . Согласно тождеству Романова [1]

,

где

где

.

Пусть &#; число натуральных чисел , представимых в виде разности , где , а &#; число натуральных чисел , представимых в указанном виде единственным образом. В силу неравенства Романова&#;Эрдоша [1]

С другой стороны

Так как

то

Таким образом справедлива

Теорема 1. Имеют место соотношения

где .

Пусть означает число натуральных чисел, представимых в виде разности , где , а &#; число натуральных чисел, представимых в указанном виде единственным образом. Очевидно, . Поэтому при из теоремы 1 следует

Теорема 2. В условиях теоремы 1

и

, .

Ясно, что последний интеграл . С другой стороны, если , то

Если существует функция при , такая, что

и ,

то при имеем

и следовательно

Если при этом и ,

то

.

Таким образом, имеет место

Теорема 3. Пусть и &#; последовательности натуральных чисел такие, что

и существует функция (при ), такая, что

и .

Тогда при

и

.

Замечание. Как видно из определения величины ,

.

Последняя сумма симметрична относительно и . Поэтому наряду с оценкой

,

полученной выше, справедливо также неравенство

.

Отсюда следует, что утверждение теоремы 2 остается справедливым, если в вычитаемых членах заменить на .

Ввиду асимметрии исходной задачи относительно и , такая замена позволяет в ряде случаев получать новые результаты.

Применим теорему 2 к последовательностям степеней , , где и заданные целые числа &#;2.

Тогда

,

.

Как было доказано в работе [1], в этом случае , , для любого фиксированного .

По теореме 2

Если , то есть , то главный член не поглощается остатком, ввиду произвольной малости

В силу предыдущих замечаний второй остаточный член можно заменить на . Это соответствует оценке .

Согласно теореме 2, точно также получается и оценка . Поэтому справедлива следующая

Теорема 4. Пусть и неравные друг другу целые числа &#;2. Тогда число натуральных чисел, непревосходящих и представимых в виде разности , в котором уменьшаемое и вычитаемое также не превосходит , а также число натуральных чисел, непревосходящих и представимых в указанном виде единственным образом асимптотически равно

,

где &#; произвольно малое фиксированное положительное число.

Теоремы 2&#;4 относятся к случаю .

Рассмотрим теперь задачу о натуральных числах , представимых в форме , где и заданные целые числа, и натуральные числа , причем . Применим теорему 1. Главный член в этой теореме равен


Если , , то последнее выражение равно

Отсюда также, как при доказательстве предыдущей теоремы, имеем

Аналогичные равенства справедливы для .


Литература:
  1. Оразов М. Некоторые приложения неравенства Романова-Эрдоша.&#; Изв.АН Туркм.ССР, сер. физ.&#;техн., хим. и геолог. Наук 1 (1978), 3&#;9.

  2. Wirzing E. Eine Erweiter und der esten Romanow schen sotzes.&#; Math., 9(1958), 407&#;409.

  3. Бредихин Б.М. Остаточный член в асимптотической формуле для .&#; Изв. Высших учебных заведений СССР, Математика, 6(19), 1960, 40&#;49.


Основные термины: натуральных чисел, виде разности, число натуральных чисел, of natural numbers, указанном виде единственным, целые числа, последовательности натуральных чисел, виде единственным образом, натуральные числа, and presentable as, числа натуральных чисел, представлении натуральных чисел, последовательностей натуральных чисел, количество натуральных чисел, полугрупп натуральных чисел, have been obtained, виде разности членов, плотность последовательности натуральных, natural numbers presentable, sequence of natural

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle