Библиографическое описание:

Снежко В. Л., Хусни С. И. Статистическая обработка результатов гидравлического эксперимента // Молодой ученый. — 2011. — №8. Т.1. — С. 83-86.

Обеспечение надежности и безопасности функционирования объектов и систем в настоящее время является одной из основных задач, стоящих перед инженерно-технической практикой. Особенности работы напорных трубопроводов, будь то гидротехнические водоводы, водовыпуски плотинных гидроузлов или трубопроводы систем водоснабжения следует учитывать не только во время эксплуатации, но и на этапе проектирования и расчета. Надежность напорного трубопровода - это не только отсутствие внезапных отказов, часто называемых авариями, но и постепенных отказов, которые можно интерпретировать как отклонения от расчетных параметров функционирования. Снижение напора вследствие ухудшения пропускной способности трубопровода может вызвать нарушение условий водоподачи; занижение коэффициента расхода системы на этапе проектирования часто приводит к неоправданной установке дополнительного насосного оборудования или перерасходу воды; смещение гидравлических характеристик водопропускных сооружений гидроузлов в лучшем случае влечет за собой ухудшение экологии зарегулированных водотоков. В гидротехнике своевременное обнаружение и технологически правильное устранение именно постепенного отказа напорного водовода может предотвратить внезапный отказ, последствия которого часто бывают катастрофичны.

При выполнении гидравлических исследований сопротивлений напорных турбулентных потоков можно выделить три основных класса задач [4]:

  • Определение коэффициента Дарси, эквивалентной шероховатости стенок модельного трубопровода и зоны гидравлических сопротивлений, в которой работает исследуемый водовод.

  • Определение коэффициентов единичных местных сопротивлений и сравнение полученных значений со справочными данными (если это возможно), выяснение зоны гидравлических сопротивлений, в которой работает изучаемый элемент трубопроводной арматуры.

  • Определение коэффициента сопротивления узла, состоящего из нескольких местных сопротивлений, расположенных в пределах участка стабилизации (зоны влияния местного сопротивления), и зоны гидравлических сопротивлений, в которой работает изучаемый узел.

В пределах указанных задач, как правило, измеряют расход воды, проходящий через модель, исследуют распределение скоростей по высоте поперечного сечения и длине трубопровода, снимают давление и строят пьезометрические линии, определяют длины влияния местных сопротивлений и т.д. В любом случае основное условие проведения эксперимента по определению гидравлических сопротивлений в напорных потоках – выполнение исследований в некотором диапазоне чисел Рейнольдса (отвечающем критериям подобия), на котором возможно отследить динамику функций &#;=f(Re) и &#;=f(Re) и получить статистически достоверные регрессионные уравнения для определения соответствующих коэффициентов сопротивлений.

При работе в квадратичной области гидравлических сопротивлений эмпирические зависимости &#;=f(Re) и &#;=f(Re) серии должны быть параллельны оси абсцисс, то есть быть постоянными и не зависеть от числа Рейнольдса [1]. Если есть основания предполагать наличие квадратичной зоны, то объем выборочных исследований определяется достаточно просто, так как конечная цель эксперимента – получение оценки среднего значения изучаемого параметра и границ его доверительного интервала с заданным уровнем надежности &#; (часто &#;=95%). При этом величина 1-&#; не должна быть больше суммарной ошибки косвенных измерений.

По теореме Чебышева определить генеральную среднюю возможно по данным случайной выборки. Эту теорему дополняет теорема Ляпунова, которая позволяет рассчитать максимальную ошибку выборочной средней. При достаточно большом числе независимых наблюдений в генеральной совокупности с конечной средней и ограниченной дисперсией [2]:

P (| Хв - Хг | <t &#; ) = Ф (t)

Где Ф – интеграл Лапласа или удвоенная нормированная функция Лапласа

Ф(t)=

Величина t &#;&#; называется предельной ошибкой выборки :

,

где – предельная (максимально возможная) ошибка средней; &#; – величина средней квадратической стандартной ошибки.

В зависимости от принятой вероятности &#; определяется значение коэффициента кратности t по удвоенной нормированной функции Лапласа в случае выборки большого объема (если в серии будет исследовано больше, чем 30 уровней), отдельные значения которой приведены в Таблице 1.

Таблица 1

Значения коэффициента кратности средней ошибки t для выборки большого объема (n>30)

Надежность

Уровень надежности

&#; = Ф(t)

Коэффициент кратности средней ошибки t

Прикидочная

0,504

0,68

Ориентировочная

0.605

0,85

0,702

1,04

0,803

1,29

Приближенная

0,901

1,65

Обыкновенная

0,95

1,96

0,955

2.0

Повышенная

0,97

2,17

0.98

2,33

0.99

2,59


Для любого значения &#; величина t также может быть получена с помощью функции нормального стандартного распределения (которая реализуется функцией НОРМСТОБР(&#;) Microsoft Excel [3]).

В условиях большой выборки (n>30) величина средней ошибки выборки для простого случайного отбора рассчитывается по формулам:

при случайной повторной выборке

при случайной бесповторной выборке,

здесь &#; – среднее квадратическое отклонение для генеральной совокупности, которое неизвестно, но в условиях большой выборки (n>30) может быть заменено выборочной дисперсией s. Тогда ошибки простой случайной выборки будут определяться следующие ошибки:

Средняя ошибка для средней при случайной повторной выборке:

(1)

при случайной бесповторной выборке:

(2)

Предельная ошибка для средней при случайной повторной выборке:

(3)

при случайной бесповторной выборке:

(4)

Тогда доверительный интервал для генеральной средней при простом случайном отборе будет записан в виде .

Объем выборки для простого случайного повторного отбора следует определять по формуле:

(5)

Объем выборки для простого случайного бесповторного отбора определяют по формуле:

(6)

Если в генеральной совокупности единицы располагаются случайным образом по отношению к изучаемому признаку, то механический (систематический) отбор можно рассматривать как разновидность случайного бесповторного отбора и для оценки ошибки систематической выборки и определения ее объема использовать формулы простого бесповторного случайного отбора.

В практике гидравлического эксперимента часто встречаются случаи, когда планируется выполнить наблюдения менее чем на 30 уровнях в пределах одной серии, тогда выборка будет считаться малой (n<30) и использование для нее значений t, приведенных в Таблице 1, и формул 1 – 6 неправомерно.

Дисперсию малой выборки s следует вычислять по формуле, включающей поправку Бесселя. Предельная ошибка для средней при случайной бесповторной выборке малого объема:

Средняя ошибка для средней при случайной бесповторной выборке малого объема:

Вероятность того, что генеральная средняя находится в определенных границах будет равна:

,

где S(t) – значение функции Стьюдента, определяемое по формуле

По таблице распределения Стьюдента в зависимости от значения функции S(t) и числа степеней свободы (n-1) определяют значение коэффициента t. Для любого значения &#; величина t также может быть получена с помощью статистической функции Microsoft Excel СТЬЮДРАСПРОБР(1-&#;; n-1) [3].

Поскольку коэффициент доверия t при малых выборках является функцией t=f(&#;, n-1), а объем выборки для серии будет функцией n=f(t, N, s, ) определение предварительного объема выборки для заданной вероятности &#; так, как это производилось в случае больших выборок, затруднительно. В данном случае можно, предварительно задавшись объемом выборки n и уровнем надежности &#;, вычислить S(t) и предельную ошибку для средней при бесповтороной выборке . В случае, если величина является допустимой, можно попробовать уменьшить объем выборки и повторить расчет, в противном случае объем выборки увеличивают и снова проводят вычисления.

Для предварительного определения объема выборки при работе модели в квадратичной области сопротивлений или количества уровней независимого фактора в серии, которые следует изучить экспериментально, необходимо ответить на три вопроса:

  • С какой доверительной вероятностью (с каким уровнем надежности) &#; мы хотим оценить среднее значение &#; или &#;.

  • Какое отклонение от среднего нас устраивает (какова предельная ошибка для среднего значения коэффициента гидравлического сопротивления).

  • Планируется извлечение большой выборки (более 30-ти уровней) или малой выборки (n-1).

В результате статистической обработки проведенной серии находят фактические границы доверительного интервала для принятой ранее вероятности &#;, если они устраивают исследователя (оказываются достаточно узкими), то серию считают завершенной, в противном случае требуется исследование дополнительных уровней независимого фактора, которые в комбинационном квадрате отмечаются в виде окрашенной ячейки со знаком «-».

Следует отметить, что определение объема выборочных наблюдений изложенными выше способами можно выполнить, только оперируя точностью непосредственно измеряемых величин – расхода или напора. Коэффициенты гидравлического сопротивления являются величинами, измеряемыми косвенно, и их ошибки, формирующиеся из комбинации ошибок непосредственно измеряемых величин, будут значительно больше [5]. Например, в экспериментальных исследованиях авторов при предельной случайной относительной ошибке определения расхода 1% предельная случайная относительная ошибка в определении коэффициента гидравлического трения &#; составляла 3,3%.


Литература:

1. Альтшуль А.Д. Местные гидравлические сопротивления при движении вязких жидкостей. М., 1962. 250 с.

2. Вадзинский Р. Статистические вычисления в среде Excel. Библиотека пользователя. – СПб.: Питер, 2008. – 608 с.

3. ГОСТ Р 50779.21-2004. Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Ч.1. Нормальное распределение. М.: ИПК Изд-во стандартов, 2004. 48 с.

4. Снежко В.Л. Современные способы обработки данных в исследованиях гидравлических сопротивлений турбулентных потоков. Научно-технический вестник Поволжья. №1, 2011.С 179-18.

5. Тейлор, Джон. Введение в теорию ошибок   / Дж. Тейлор; Пер. с англ. П. Г. Деденко. М.: Мир , 1985 - 272 с.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle