Библиографическое описание:

Давыдова М. Ю. Нестандартные задачи в школьном курсе математики // Молодой ученый. — 2011. — №8. Т.2. — С. 101-104.

Неслучайно известный немецкий ученый-математик Карл Фридрих Гаусс однажды сказал, что «математика – царица наук», которая безраздельно властвует над людьми, формируя их ум. Любой учитель-практик согласится с нами, что если ребенку не дается математика, то он отстает и по всем другим предметам, поэтому в школе одной из первостепенных дисциплин является математика. Главная цель которой – всемерно содействовать развитию познавательных возможностей у учащихся. Не секрет, что обучение математике строится по принципу обучению решению задач. Умение решать задачи – один из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала, поэтому любой экзамен по математике, любая проверка знаний содержит в качестве основной части подбор задач, следовательно, роль задач в обучении математики невозможно переоценить. Через задачу легко ввести проблемную ситуацию, решая которую ребенок по-новому начинает глядеть на жизнь. Применять математические знания в жизненных ситуациях учат соответствующие практические задачи. (Например: Рыночная цена картофеля, в связи с ненастной погодой, повысилась на 20%. Через некоторое время цена картофеля на рынке понизилась на 20%. Когда картофель стоил дешевле: до повышения или после снижения цены и на сколько процентов? или такой вариант: Из 20 кг яблок получается 16 кг яблочного пюре. Сколько пюре получится из 45 кг яблок?). В связи с этим в обучении математики задачам всегда отводилась и отводится решающая, роль. Задачи становятся средством обучения не только предмета, но и самой жизни. Исторически сложилось, что на ранних этапах развития математики решение задач было целью обучения. Ученик должен был заучить образцы и затем подводить под эти образцы решения задач. В основном решались типовые, стандартные задачи, принадлежащие классам алгоритмически разрешимых задач, то есть таких, для которых существует общий метод (алгоритм) решения. Многообразные ситуации, возникающие на математическом и нематематическом материале, приводят нас как к стандартным, так и нестандартным задачам, алгоритм решения которых либо неизвестен, либо не существует.

В последние десятилетия, в связи с возросшей потребностью общества в творческих людях, способных нетрадиционно решать существующие проблемы, постепенно произошли изменения в обучении математики, которые приводят к необходимости учить детей решению не только стандартных, но и нестандартных задач, которые нельзя отнести к классу алгоритмически разрешимых. Стратегия современного образования стала опираться на реализацию личных планов и предоставление возможностей всем учащимся проявить свой творческий потенциал. Именно благодаря нестандартной задаче это стало возможно, так как возникает потребность в вариативном поиске решения. Разрешив систему специально подобранных задач, ученик знакомится с существенными элементами новых алгоритмов, овладевает новыми техническими элементами.

Итак, как видно из приведённого выше обзора в области образования и обучения математике, задача является основным звеном внутри процесса обучения, а тем более такого, как проблемное и развивающее. Исходя из этого, давайте подробнее остановимся на задачах школьного курса математики, которые условно можно разделить на два основных вида: стандартные и нестандартные.

Большинство школьных задач стандартные, для их решения требуется лишь умение работать «по образцу», то есть знание определенного алгоритма, с помощью которого можно решить данный тип задач. Проблемы, возникающие при решении таких задач, носят чисто технический характер, методика их преодоления хорошо известна – это тренировка, то есть «натаскивание» в решении однотипных упражнений. Практически все школьники легко обучаются решать задачи этого типа. Ребенок быстро привыкает подбирать нужный «шаблон», подставлять нужные числа и производить арифметические вычисления. И, если в учебнике нет подбора задач другого типа, на этом его мыслительный процесс может остановиться, ребенку, как правило, уже и не хочется «напрягать» мозги, ему нравится легко справляться с материалом и быть успевающим учеником.

Но не все задачи подгоняются под стандарт, некоторые из них трудно отнести к какому-либо определенному типу. Встречая же задачи другого плана, нестандартные, на математических олимпиадах, конкурсах или на вступительных тестах в вузы, ученики не знают, что делать, объясняя это тем, что «таких задач они в школе не решали».

Что же такое нестандартные задачи? Здесь и далее под нестандартными задачами мы будем подразумевать – задачи, для решения которых не существует готового образца. Нужно известные способы расчетов выстроить именно в том порядке, который и приведет к решению. Систематическое применение задач такого типа способствует умственному развитию и формированию математических представлений у обучающегося.

Как правило, такие задачи вызывают у неподготовленного школьника негатив, нежелание работать, эмоциональное напряжение. Ребята, привыкшие решать только стандартные примеры, как правило, отказываются воспринимать материал, заявляя, что это ненужная информация; а родители, которые привыкли, чтобы у ребенка всегда было выполнено домашнее задание, стремятся ему помочь, решают за него, тем самым неосознанно наносят вред развитию умственных способностей своего любимого чада.

Что может заставить школьника задуматься, начать размышлять над тем или иным математическим заданием, вопросом, задачей, когда эти задания «сложны» для него? Во всяком случае не принуждение? Не всегда могут активизировать мысль ученика и словесные просьбы и убеждения. Основным источником побуждения школьника к умственному труду может послужить интерес. Привлечь внимание детей, вызвать их удивление – это лишь начало возникновения интереса, и добиться этого сравнительно легко. Труднее удержать интерес к математике и сделать его достаточно стойким.

Один из вариантов – это поддерживать интерес различными заданиями, различными способами, приемами решения этих заданий, постепенно воспитывать интерес к самой деятельности, интерес к математике как к науке, который перерастает в интерес к процессу самой мыслительной деятельности, к новым знаниям. Материал, преподносимый учителем, должен быть понятен каждому ученику, иначе он не вызовет желания работать, так как будет лишен для него смысла. Для поддержания стойкого интереса во всяком новом должны быть определенные элементы старого, известного детям. Только при условии установления связи нового со старым возможны проявления сообразительности и догадки. Если ученик догадывается хоть на четверть о решении задания, он будет пытаться найти правильный ответ, если же в его сознании не возникает даже намека на ход решения, то он в лучшем случае обратится к кому-нибудь за помощью, в худшем – спишет готовое решение.

В связи с этим характерной особенностью практики является многообразие и разноплановость, возникающих ситуаций. При этом в случае необходимости математического исследования, в создавшихся ситуациях возникает закономерный вопрос о выборе методов решения или исследования, бывают редкие случаи, когда ученики находят такой оригинальный путь решения, который не был предусмотрен учителем.

Естественно, в рамках учебника для общеобразовательной школы невозможно охватить все многообразие математических примеров, но задача преподаватель хотя бы приоткрыть школьнику дверь в мир математики, намекнуть ему, что за ней скрывается.

В системе же профильного обучения такие задачи для физико-математических классов начинают играть все более значительную роль. Именно, благодаря ним, не выходя за рамки школьной программы, становится возможным познакомить учащихся с современными разделами математики, в частности такими, как:

  • методы линейного программирования на примере «Задачи коммивояжера» и «Транспортной задачи» с небольшим числом ограничений;

  • теории образующих и дискретных групп;

  • структурной лингвистики;

  • теории конечных автоматов;

  • теорией графов и т.д.

Нестандартным задачам принадлежит ключевая роль в развитии у учащихся целостного восприятия истории развития математики и философского аспекта математики. Изучая математику, на уроке следует отметить, что многие исторические задачи, сыгравшие огромную роль в развитии математики, носят так же нетрадиционный характер. Например, знаменитый «парадокс лжеца» (известный более тысячи лет) заложил основу современной алгебры логики (отрицание отрицания); сформулированный ещё в Древнем Египте вопрос о квадратуре круга, решению которому большое внимание уделял Евклид, предопределил понятие иррациональности. Древнегреческая антиномия Зенона «Ахиллес и Черепаха» фактически является философски – поэтическим определением бесконечно-малого и парадокс «кучи» – бесконечно большого.

Итак, задачи, попадающие в выше обозначенный класс, имеют ряд характерных особенностей, в частности таких, как:

- неопределенность математической модели, то есть, не известен математический аппарат, необходимый для поиска решения;

- универсальность, то есть возможность решения задачи не зависимо от возраста.

Ярким примером этому может служить следующая задача [1] (пример: Прогуливаясь как-то с приятелем по Кони-Айленд, я набрел на довольно забавный аттракцион. На полках были расставлены, десять кукол, на каждой из которой было обозначено число очков 25; 27; 3;12; 6; 15; 9; 30; 21; 19. Требовалось попасть в них небольшими мячиками. Зазывала объяснял: «Бросайте мячик столько раз, сколько захотите, по центу за каждый бросок и подходите к куклам так близко, как пожелаете. Складывайте очки на сбитых вами куклах, и, как только сумма окажется равной 50, не больше и не меньше, вы получите великолепную сигару с золотым ободком стоимостью 25 центов». Наши деньги кончились прежде, чем мы поняли, как следует играть, и мы заметили, что большинство игравших курило столько же 25-центовых сигар, сколько и мы. Сможете ли вы показать, каким образом нужно играть, чтобы выбить ровно 50 очков?). Эту задачу можно предложить как ученику среднего звена, так учащимся выпускных классов. Анализируя подходы решения, можно сказать, что старшеклассники не всегда находят рациональный метод решения, порой они идут по сложному пути. (Кстати, задача интересна ещё и с литературной точки зрения, текст задачи представлен в форме занимательного юмористического рассказа.).

Другой вариант изложения по сути той же задачи взят из школьного учебника «Математики» Л. Г. Петерсона:

Из набора 25; 27; 3;12; 6; 15; 9; 30; 21; 19 составьте сумму 50 меньшим числом слагаемых.

Очевидно, что данные задачи не требуют знаний, выходящих за границы начальной школы, но поиск и обоснование решения вызывает заметные затруднения даже у выпускников школы.

Также характерными особенностями нестандартных задач является:

- интеграция, то есть включение в условия задачи данных из различных отраслей знаний;

- комплексность или системность математической модели, то есть использования для решения различных разделов математики.

К этому типу можно отнести задачи по стереометрии, где одновременно используются методы аналитической и проекционной геометрии.

Необходимо отметить, что в некоторых случаях задача воспринимается учащимися как нестандартная только исходя из условия.

Так, например, известная задача на построение. «На прямой а найти такую точку, чтобы сумма расстояний от двух заданных точек, лежащих по одну сторону от а, до искомой точки была наименьшей».

При изучении темы симметрии данная задача не вызывает у учащихся заметных затруднений, но представленная в другой форме, например, в такой: «Найти место установки понижающего трансформатора для обеспечения питанием двух потребителей от линии электропередачи напряжением 6кВ, чтобы количество опор и длина провода была минимальной», провоцирует учеников на нерациональный способ решения, заключающийся в составлении целевой функции с последующим ее исследованием на оптимум.

Исходя из перечисленных особенностей задач, можно предложить условную классификацию нестандартных задач, относительно условий.

Формализованные задачи – задачи, в которых задана математическая модель.

Неформализованные задачи – задачи, в которых не задана математическая модель, среди которых можно выделить неформализованные по форме и неформализованные по содержанию.

Пример: неформализованные по форме.

Медведь с базара плюшки нес,

Но на лесной опушке

Он половину плюшки съел

И плюс ещё полплюшки.

Шел, шел, уселся отдохнуть

И под «ку-ку» кукушки,

Вновь половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Стемнело, он ускорил шаг,

Но на крыльце избушки

Он снова пол-остатка съел

И плюс ещё полплюшки.

С пустой кошелкою – увы!

Он в дом вошел уныло.

Хочу, чтоб мне сказали вы:

А сколько плюшек было?

Задачи такого плана, отвлекая ребенка от главного в условии, заставляют учиться отметать при решении проблемы ненужную информацию.

Неформализованные по содержанию:

Около дома посажены липы и березы, причем их общее количество больше 14. Если увеличить вдвое количество лип, а количество берез увеличить на 18, то берез станет больше, чем лип. Если же увеличить вдвое количество берез, не изменяя количество лип, то лип все равно будет больше, чем берез. Сколько лип и сколько берез было посажено? (или например: Две ракеты летят навстречу друг другу, одна со скоростью 900 миль/час, а другая - со скоростью 2100 миль/час. Их стартовая площадка находится на расстоянии 1817 миль одна от другой. Посчитайте, какое расстояние будет между ракетами за минуту до столкновения. [2].

Как правило, в ходе обучения в школе у учащихся формируется стереотип: «все данные условия должны быть использованы в ходе решения». Хотя характерной чертой практики является многообразие, разнородность, а зачастую, и противоречивость исходной информации, и, как следствие, нестандартные задачи, отражающие действие, могут содержать:

1) избыточные данные;

2) противоречивые данные;

3) недостаточность данных.

То есть, рассматривая условия нестандартных задач, ученик может столкнуться с такими моментами: не все данные в условии нужны для решения или данных не хватает и, вследствие этого, задача не имеет решения, что само по себе необычно для школьника, который привык, что все задачи имеют конкретный ответ. Случается, что данные условия противоречат друг другу, что тоже приводит к отсутствию «ответа». А такой ответ как «отсутствие решения» может его обескуражить, поэтому обучающийся должен быть готов к различным вариантам решения. Знакомясь в ходе обучения с нестандартными задачами, ученик развивает логическое мышление и интуицию, что немало важно для жизни.

Примеры нестандартных задач последнее время все чаще встречаются не только в специальной литературе, но и все большее место занимают в традиционных учебниках, в том числе и в учебниках ориентированных на общеобразовательные программы, так как проблема воспитания всесторонне развитой личности – одна из первостепеннейших целей образования.

Сформулированные нестандартные условия обуславливают необходимость нетрадиционных путей их решения, ведь решение нестандартных задач – это сложный процесс, требующий не только знаний фактического материала, но и умения обобщать и систематизировать его. Универсального метода для решения нестандартной задачи пока не существует (хотя имеется литература, в которой описаны методические принципы обучения решению таких задачи), так как каждая в какой-то степени неповторима, а как только вырабатывается какой-то алгоритм при решении, задача перестает быть нестандартной, поэтому для их решения характерно применение метода проб и ошибок. Эти поисковые пробы могут закончиться догадкой, которая представляет собой нахождение пути искомого решения. Однако обобщение опыта работы многих учителей позволяет сформулировать некоторые методические приемы решения нестандартных задач.

Итак, работая над нестандартной задачей целесообразно обратить внимание на такие этапы:

  1. внимательное изучение условия задачи;

  2. поиск плана (идеи) решения;

  3. разделение задачи на подзадачи;

  4. решение одной задачи несколькими способами;

  5. критический анализ результата решения.

Последовательное осуществление обучению применять эти этапы при решении задач позволяет добиваться определенных успехов. Обнаружить это возможно, когда учащиеся решают предложенные им новые, ранее не встречавшиеся задачи, совершенно оригинальным способом, не похожим на рассмотренные раньше.


Литература:

  1. Лойд С. Математическая мозаика для детей и взрослых. – М.: Рипол, 1995.
  2. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. – М.: Мир, 1999.
  3. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачи. — М., 1989.
  4. Яковлева Е. Л. Психологические условия развития творческого потенциала у детей школьного возраста. Вопросы психологии. — № 5, 1994.
  5. Колмогоров А. Н . Математика наука и профессия. – М.: Наука,1988.

  6. Пойа Д. Как решать задачу. – М., 2005.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle