Библиографическое описание:

Филиппенко В. И. Об индексе дефекта и спектре квазидифференциального оператора четвертого порядка // Молодой ученый. — 2011. — №4. Т.1. — С. 19-24.

При разделении переменных в динамической краевой задаче, описывающей малые колебания неоднородного стержня, жестко закрепленного на правом конце и подвергаемого действию следящей силы на правом конце, возникает спектральная задача четвертого порядка. Спектральные свойства таких задач, вообще говоря, могут отличаться от спектральных свойств аналогичных задач второго порядка. Например, спектр задачи о малых колебаниях стержня в отличие от задачи о малых колебаниях струны может не быть простым. Поэтому результаты, полученные для задач Штурма – Лиувилля, нельзя автоматически применять к задачам четвертого порядка.

Пусть – формально самосопряженная квазидифференциальная операция четвертого порядка:,

где, - мнимая единица. Операция задана на полуоси . В дальнейшем при некоторых предположениях о поведении коэффициентов квазидифференциальной операции найдем асимптотику решений дифференциального уравнения

, (1)

когда . Установим индекс дефекта минимального симметричного оператора , порожденного операцией в гильбертовом пространстве ; изучим природу спектра самосопряженного расширения оператора .

1. Следуя Ф. С. Рофе-Бекетову, определим квазипроизводные следующим образом:

.

При этом .

Теперь сведем уравнение (1) к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Из определения квазипроизводых следует, что

.

Если положить то уравнение (1) будет эквивалентно системе квазидифференциальных уравнений

(2)

где

.

Будем считать, что для всех а, функции суммируемы в интервале , т.е. их модули медленно меняются на бесконечности. Эти условия на коэффициенты выражения , позволяют получить асимптотические формулы для решений уравнения (1) и их квазипроизводных по схеме, предложенной в начале 50-х годов прошлого века И. М. Рапопортом [1] (см. также [2, 3]).

Представим матрицу в виде суммы двух матриц ­и , имеющих вид

, ,

и найдем собственное значение матрицы , т.е. корни характеристического уравнения , где - единичная матрица размерности . Раскрывая этот определитель, получим уравнение

. (3)

Решая это уравнение, найдем собственные значения матрицы :

,

Значения корней выбираются так, чтобы при положительных значениях функции и принимали вещественные, а функции и – чисто мнимые значения.

Найдем матрицу такую, что

(4)

где - диагональная матрица, диагональными элементами которой являются собственные значения матрицы . Равенство (4) означает, что столбцы матрицы являются собственными векторами матрицы , отвечающими собственным значениям . Следовательно, матрица имеет вид

.

Элементы матрицы можно найти, решая уравнение .

Перепишем это уравнение в виде

Следовательно, можно считать, что

Таким образом, матрица имеет вид

.

Теперь обычным способом находим обратную матрицу

.

Так как в рассматриваемом случае выполняются все условия теоремы о преобразовании системы линейных квазидифференциальных уравнений первого порядка к – диагональному виду (см., например, [1]), то подстановка приводит систему (2) к виду

(5)

где элементы матрицы суммируемы по переменной в интервале , а элементы матрицы являются непрерывными функциями переменной . Если все функции в интервале сохраняют знак то система (5) имеет четыре линейно независимых решения вида

,

где

Преобразование переводит решения - диагональной системы (5) в некоторые решения системы (2). Учитывая вид матрицы , находим, что решения уравнения (1) и их квазипроизводные удовлетворяют, если , следующим асимптотическим формулам:

(6)

.

2. Найдем индекс дефекта минимального оператора , порожденного дифференциальной операцией в гильбертовом пространстве (см., например [4]). Из суммируемости функций и на промежутке следует непрерывность функций и , а также существование пределов и .

Тогда, если , то из уравнения (3) получим уравнение

, (7)

где . Выберем невещественное число так, чтобы все корни уравнения (7) имели различные вещественные части. Расположим их по убыванию вещественных частей . Так как уравнение (7) содержит только четные степени , то одновременно с его корнем будет также ; поэтому можно считать, что вещественные части корней - положительные, а вещественные части корней - отрицательны. Поскольку функция непрерывна и то, начиная с некоторого значения , вещественные части становятся положительными, а вещественные части функций становятся отрицательными. Отсюда следует, что функции не принадлежат пространству , а функции принадлежит пространству .

Докажем, что при и

. (8)

Действительно,

.

Так как в рассматриваемом случае , то из последнего соотношения следует формула (8).

Линейная комбинация вида не принадлежит пространству , если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Если – первый из коэффициентов отличный от нуля, то, устремляя , получим .

Поскольку , то и . Следовательно, , тогда . Это значит, что индекс дефекта оператора есть (2,2). Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если для некоторого функции - принадлежат и для любых , то уравнение (1) имеет четыре линейно независимых решения , которые удовлетворяют, установленным выше, формулам (6). Индекс дефекта оператора есть (2,2).

Пусть - самосопряженное расширение оператора L0. Так как индекс дефекта оператора L0 есть (2,2), то самосопряженный оператор определяется системой краевых условий в точке , которые, следуя А.В. Штраусу, можно представить в виде

, (9)

где - некоторая прямоугольная матрица, состоящая из двух строк и четырех столбцов, такая что , где

.

Пусть. Найдем собственные значения самосопряженного оператора , расположенные на отрицательной полуоси

Соответствующая собственная функция должна принадлежать и поэтому, при соответствующей нумерации , является линейной комбинацией функций и , т. е. .

Кроме того, собственная функция должна удовлетворять условию (9), которое теперь можно представить в виде

. (10)

Эта система имеет нетривиальное решение относительно и тогда и только тогда, когда обращается в нуль определитель

.

Пусть - нуль этого определителя. Тогда соответствующая собственная функция оператора представима формулой

,

в которой содержатся коэффициенты , являющиеся нетривиальными решениями системы (10) соответствующими . Кратность собственного значения определяется рангом матрицы определителя в точке . То, что отрицательные , не совпавшие ни с одним из собственных значений оператора , не принадлежат спектру этого оператора, следует из ограниченности при этих l резольвенты оператора , где - тождественный оператор.

Пусть - симметрический квазидифференциальный оператор с индексом дефекта , а - его самосопряженное расширение. Если при некотором вещественном значении спектрального параметра его дефектное число оператора меньше , то принадлежит спектру самосопряженного оператора . Если, кроме того, не является собственным значением оператора , то принадлежит непрерывной части спектра оператора . Пусть теперь . В этом случае , а функции , не принадлежат . Более того, никакая нетривиальная линейная комбинация не принадлежит

Действительно, если, то . Если , то функция имеет вид .

Предположим, что тогда получим

и поэтому функция не принадлежит пространству. В этом случае, когда , требуемое соотношение можно получить, используя ограниченность сверху при любом фиксированном функции .

Теорема 2. Если коэффициенты дифференциального выражения удовлетворяют условиям: , то непрерывная часть спектра самосопряженного оператора заполняет всю положительную полуось , а на отрицательной полуоси может находиться только дискретная часть спектра самосопряженного оператора .

Замечание. В случае, когда коэффициенты тождественно равны нулю, получаем хорошо известную ситуацию суммируемых коэффициентов.


Литература:
  1. Рапопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. – Киев: Изд-во АН УССР, 1954.
  2. Everitt W. N. Fourth order singular differential equations // Math. Ann. – 1963. – V. 149. – P. 230 – 340.
  3. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. – М.: Наука, 1969. – 526 с.
  4. Плеснер А.И. Спектральная теория линейных операторов. – М.: Наука, 1965. – 624 с.
Основные термины: дефекта оператора, квазидифференциального оператора, индекс дефекта оператора, вещественные части, минимального квазидифференциального оператора, индекс дефекта минимального, собственные значения матрицы, дефекта минимального оператора, Индекс дефекта оператора, спектре квазидифференциального оператора, Спектральные разложения минимального, вещественные части корней, минимального симметричного оператора, собственная функция оператора, разложения минимального квазидифференциального, самосопряженное расширение оператора, оператора первого порядка, собственная функция должна, части спектра оператора, расширения оператора

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle