Библиографическое описание:

Филиппенко В. И. Спектральные разложения минимального квазидифференциального оператора // Молодой ученый. — 2011. — №3. Т.1. — С. 29-33.

Получено спектральное разложение симметрического квазидифференциального оператора, порожденного обобщенной квазидифференциальной операцией.

1. Пусть - - матрица, где - комплекснозначных функций, определенные на и удовлетворяющих следующим условиям:

(1) в интервале для индексов, удовлетворяющих неравенствам ; (2) - локально суммируемы, т. е. для ;

(3) в промежутке для индексов.
Определим квазипроизводные следующим образом:

.

Этот подход к определению квазипроизводных и соответствующего формально самосопряженного квазидифференциального выражения предложен в работе [1]. Будем считать, что функции и их квазипроизводные до - го порядка включительно абсолютно непрерывны на любом компактном подынтервале промежутка . Поскольку в дальнейшем будем рассматривать только симметрические дифференциальные выражения, то предположим, что матрица , кроме требований (1), (2) и (3), удовлетворяет также условию симметричности , где - матрица, сопряженная к матрице , - символ Кронекера. Легко убедиться, что , где - натуральное число. Предположим, что матрица совпадает с матрицей , если натуральное число - четно, и с матрицами , если натуральное число - нечетно. Можно считать, что скалярное квазидифференциальное выражение , где - мнимая единица, порождается матрицей . Квазидифференциальная операция определяет минимальный замкнутый симметрический оператор в гильбертовом пространстве .

Для любых функций и , к которым применима квазидифференциальная операция , имеет место обобщенная формула Лагранжа

, (1)

где . Интегрируя почленно левую и правую части формулы Лагранжа (1), получим формулу Грина ,

где . Заметим, что , где - скалярное произведение в -мерном евклидовом пространстве. - вектор-столбец, составленный из квазипроизводных . С помощью матрицы тождество Лагранжа можно переписать в виде .

Теорема 1. Пусть- матрица, удовлетворяющая условиям (1) – (3). -квазидифференциальное выражение., где - положительная функция на . Тогда для любого , любого и любых , существует единственное решение , заданное на , начальной задачи .

Доказательство в целом повторяет рассуждения, приведенные в монографии [2].

Теорема 2. Пусть , , матрица , удовлетворяет требованиям (1) – (3) и условию симметричности. Тогда для любых комплексных чисел существует функция , принадлежащая области определения оператора , такая что

2. Построим квазисамосопряженные расширения минимального квазидифференциального оператора . Предположим, что индексы дефекта оператора равны. Зафиксируем какое-либо невещественное число . Пусть - линейный оператор, отображающий дефектное подпространство в дефектное подпространство . Квазисамосопряженным расширением оператора , определяемым оператором , называется оператор , являющийся частью оператора и имеющий своей областью определения линейное многообразие элементов , где . Если - оператор, сопряженный оператору , отображающий в , то соответствующие квазисамосопряженные расширения и являются взаимно сопряженными. Охарактеризуем область определения оператора при помощи краевых условий. Пусть - какой-либо ортонормированный базис дефектного подпространства , а - ортонормированный базис в . Пусть в этих базисах оператору соответствует матрица . Следовательно, . Рассмотрим систему вектор-функций , полагая . На основании формулы Лагранжа для принадлежности вектор-функции к линейному многообразию необходимо и достаточно выполнение условия

(2.)

для всех . Согласно определению квазисамосопряженного расширения , откуда, в силу определения функций , поскольку , имеем .

3. Как известно, каждой спектральной функции оператора отвечает некоторая обобщенная резольвента . При помощи формулы обращения Стилтьеса спектральная функция однозначно восстанавливается по соответствующей ей обобщенной резольвенте ; для любых функций и из и любых вещественных и имеет место равенство:

. (3)

Равенство (3) позволяет построить формулу всех спектральных функций оператора . Пусть - какая-либо обобщенная резольвента оператора и - ее характеристическая матрица. При любых вещественных определим матрицу формулой

. (4)

Формула (4) имеет смысл при любом вещественном и является неубывающей матричной функцией. Так как регулярна в верхней комплексной полуплоскости и , то формула (4) имеет смысл при любом вещественном и является неубывающей матричной функцией. Матрицу называют спектральной функцией распределения оператора , соответствующей обобщенной резольвенте .

Пусть - гильбертово пространство -мерных векторных функций , которые будем рассматривать как одностолбцевые матричные функции; скалярное произведение в пространстве определяется формулой .

Теорема 3. Для любой функции из пространства имеет место равенство , где ; а несобственный интеграл сходится в смысле метрики пространства .

Сначала предположим, что функция из обращается в нуль вне какого либо конечного отрезка . При любом невещественном положим . Пусть и - произвольные вещественные числа. Введем в рассмотрение функцию .

При любом и, в силу представления . С другой стороны, принимая во внимание, формулы для ядра обобщенной резольвенты, получим:

(5)

Для любого фиксированного второй интеграл в правой части этого равенства стремится к нулю при . Так как регулярная в верхней полуплоскости матричная функция с неотрицательной мнимой частью то, переходя в равенстве (5) к пределу при при любом фиксированном получим:

.

Итак, при имеет предел и в смысле слабой сходимости в , и в смысле сходимости всюду в промежутке . Но, как известно, оба этих предела совпадают, так что имеет место равенство: .

Умножая скалярно обе части последнего равенства на и меняя затем в правой части порядок интегрирования, получим

Переходя здесь к пределу при и , получим соотношение

.

Теорема доказана для любой вектор функции из пространства , обращающейся в нуль вне конечного отрезка .

Для любой функции из доказательство теоремы получается с помощью некоторого предельного перехода, расширяющего носитель функции [3,4,5].


Литература:
  1. Everitt, W.N. Generalized symmetric ordinary differential expressions 1: The general theory / W.N. Everitt, A. Zettl // Nieuw Archief Vood Wiskunde, 1979. - V. 27, № 3. - P. 363 – 397.

  2. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. – М.: Наука, 1969. – 526 с.

  3. Филиппенко В.И. Обобщенные резольвенты неплотно заданного квазидифференциального симметрического оператора // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, 5 – 11 сентября 2006 года, Ростов-на-Дону, изд-во ООО «ЦВВР», 2006. – С. 167 – 169.

  4. Фетисов В.Г., Филиппенко В.И., Козоброд В.Н. Операторы и уравнения в линейных топологических пространствах. – Владикавказ: ВНЦ РАН, 2006. – 432 с.

  5. Филиппенко В.И. Обобщенные спектральные функции квазидифференциального оператора // Укр. математический конгресс – 2009 / Киев: www.imath, kiev.ua/~congress 2009.

Основные термины (генерируются автоматически): квазидифференциального оператора, минимального квазидифференциального оператора, определения оператора, натуральное число, симметрического квазидифференциального оператора, место равенство, спектральной функции оператора, неубывающей матричной функцией, квазидифференциального симметрического оператора, функции квазидифференциального оператора, обобщенная резольвента оператора, спектральных функций оператора, дефекта оператора равны, спектре квазидифференциального оператора, области определения оператора, симметрического дифференциального оператора, область определения оператора, Филиппенко В.И, Квазисамосопряженным расширением оператора, функцией распределения оператора.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle