Библиографическое описание:

Цветкова Е. Г., Царьков В. В. Решение задачи об управлении обучением студенческого коллектива // Молодой ученый. — 2010. — №11. Т.1. — С. 40-42.

Многочисленные модели процессов управления обучением описаны в литературе [2-5]. Для их качественного исследования может быть применен широкий спектр  методов оптимального управления. В то же время задачи управления не всегда могут быть решены аналитически, что приводит к необходимости разработки численных методов их решения. В настоящее время разработано большое количество численных методов решения задач оптимального управления и нелинейного программирования и работа по их созданию и совершенствованию продолжается. Вычислительные подходы к решению задач нелинейного программирования и поиска оптимального управления получили широкое освещение и систематизацию в работах Ю.Г.Евтушенко [1]. Целью данной работы является разработка и исследование численного алгоритма для решения задачи управления обучением студенческого коллектива, формализуемой как задача оптимального управления.

Рассмотрим модель распределения времени между овладением знаниями и развитием умений. Полагаем, что знание состоит из информации (чистого знания)  и  умения (способности использовать имеющиеся сведения для достижения новых целей, методически работать).  Пусть – объем сведений, накопленных студентом к моменту времени t (чистое знание),  – объем накопленных умений, навыков решать задачи, разбираться в излагаемом материале; – доля времени, отведенного на накопление знаний в промежутке времени . Полагаем, что увеличение  объема знаний студента пропорционально затраченному на это времени  и накопленным умениям:

,

(1)

где k1 > 0 – коэффициент, зависящий от индивидуальных особенностей учащегося.

Увеличение умений за то же время пропорционально затраченному на это времени ,  имеющимся умениям  и знаниям :

,

(2)

где  > 0 – коэффициент, также зависящий от индивидуальных особенностей.

Таким образом, учащийся тем быстрее приобретает умения, чем больше он уже знает и умеет; чем больше умеет, тем быстрее усваивает новые знания. В то же время заметим, что на правую часть уравнения (1) влияют только приобретенные в прошлом активные знания, примененные при решении задач и перешедшие в умения.

Задача заключается в поиске такого управления  из отрезка [0;1], которое обеспечит получение максимального объема знаний за заданный промежуток времени T. Сделаем замену переменных: , . В результате перейдем к системе, не содержащей неизвестных коэффициентов:

,   .

(3)

Таким образом, задача об управлении процессом обучения формализуется в виде задачи оптимального управления:

 

,

(4)

при динамических ограничениях:

,    ,

(5)

ограничениях на управление:

, ,

(6)

и граничных условиях:

,     .

(7)

 

 

Разобьем равномерно отрезок  точками , , полагая  , , , . Обозначим , , .  Используем формулы Эйлера аппроксимации производных: , , . Для вычисления интеграла в целевом функционале используем формулу левых прямоугольников.

Дискретная задача, аппроксимирующая (4)-(7) с точностью , имеет вид:

,

,      ,  

  .

(8)

Введем функцию

Из необходимых условий оптимальности L - функции получаем рекуррентные соотношения для вычисления импульсов, что позволяет сформулировать следующее утверждение.

Теорема.Пусть  – локально оптимальное решение задачи (8), тогда  определяются по формулам:

,

,    .

(9)

производная L-функции по управлению

С использованием метода проекции градиента с учетом формул (9) построено решение задачи при выборе параметров: , q=1000, T=1. Результаты численных расчетов приведены на рис.1-3, оптимальное значение функционала , количество итераций метода .

Рис. 1 - График

Рис. 2 - График

 

Рис. 3 - График

 

Результаты, полученные численно, вполне соответствуют эмпирическим представлениям об оптимальной организации учебного процесса. Модель определяет численные значения доли времени u(t), идущей на повышение знаний, и доли материала (1-u(t)), излагаемого на заключительных лекциях без проработки на семинарах.

Литература:

1.      Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.

2.      Неуймин Я.Г. Модели в науке и технике. История, теория, практика. - Л.: Наука, 1984. - 190 с.

3.      Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. - М.: Наука, 1981. - 488с.

4.      Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука, 1979. -296с.

5.      Орлов А.И. Математические модели отдельных сторон обучения математике. – В: «Сб. научно-методических статей по математике. (Проблемы преподавания математики в вузах.)» Вып.7. - М.: Высшая школа, 1978. С.28-34.

6.      Гольштейн Е.Г. Выпуклое программирование (элементы теории). – М.: Наука, 1970. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. – М.: Наука, 1969.



[1] Работа выполнена при финансовой поддержке ведущих научных школ (НШ-4096.2010.1)

Основные термины: оптимального управления, обучением студенческого коллектива, задачи управления, задачи оптимального управления, управления обучением, задачи управления обучением, задач оптимального управления, методов оптимального управления, задача оптимального управления, поиска оптимального управления, численных методов, объема знаний, методы оптимального управления, Математические задачи системного, процессов управления обучением, Орлов А.И, Решение краевой задачи, нелинейного программирования, управлении обучением студенческого, Решение задачи

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle