Библиографическое описание:

Исраилов С. В., Гагаева Х. Л., Сагитов А. А., Юшаев С. С. О разрешимости одной функциональной краевой задачи // Молодой ученый. — 2009. — №2. — С. 37-38.

Для интегро-дифференциальных уравнений

                           (1)

изучается задача с функциональным условием:

                                                                               (2)

Предполагается, что функции  дифференцируемы и для них выполнены условия

Делается замена

                                                                     (3)

из которой последовательным дифференцированием получаем

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

                                                               

Тогда уравнение (1) с функциональным условием (2) приводится к дифференциальному уравнению - порядка

                                                    (4)

с граничными условиями

                                                (5)

т.е. получится двухточечная краевая задача (4), (5), как частный случай задачи Валле-Пуссена, которая изучена во многих работах . Если в (2) положить  или  и т.д.  то в место условий (5) получаются различные вариации других граничных условий в точках  и , также являющиеся частными случаями задачи Валле-Пуссена.

Из метода получения для задачи (1), (2) задачи (4), (5) следует, что и задачу (4), (5) используя замену (2) можно свести к функциональной задаче (1), (2) или к ее разновидностям. Поэтому можно считать, что доказана следующая

Т е о р е м а. Для разрешимости функциональной задачи (1), (2) при выше приведенных ограничениях для функции  необходимо и достаточно, чтобы была разрешима задача (4), (5).

Предложенную идею можно использовать и при получении условий разрешимости интегро-дифференциального уравнения вида

и некоторых интегро-дифференциально-алгебраических уравнений с различными граничными условиями

 

Литература:

 

1. Исраилов С.В., Юшаев С.С. Многоточечные и функциональные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Нальчик.: «Эль-Фа». 2004. С.440.

2. Исраилов С.В., Юшаев С.С. Преобразование одних краевых задач для ОДУ в другие. // Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Тезисы третьей Международной научной конференции. Махачкала. 2007. С. 45-47.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle