Библиографическое описание:

Шустов В. В. Расширение набора арифметических операций до множества целых чисел в рамках общего действия // Молодой ученый. — 2010. — №7. — С. 19-24.

Рассмотрены  обратные  арифметические операции как отрицательные значения операционного параметра в общем действии a[n]kh. С использованием двух аксиом знака  расширено множество натуральных операций до множества целых операций. Показано, что все 7 арифметических операций могут быть представлены как числовые значения операционного параметра общего арифметического действия. Установлено свойство двойственности, имеющее место для ассоциативных и коммутативных операций при n= 1, 2, и позволяющее единообразно выводить свойства операций с целыми числами, дробями, логарифмами и корнями. Показана упорядоченность арифметических операций, соответствующая упорядоченности целых чисел.

Ключевые слова: обратные арифметические операции, аксиоматика общего действия, отрицательный номер операции, итерационный параметр, расширение числа операций

Введение

В работе [1] предложено представление прямых арифметических операций в числовой форме, согласно которого операциям сложения, умножения и возведения в степень поставлено в соответствие положительные целые числа 1, 2, 3 , соответствующие номеру операции n в арифметическом выражении a[n]kh. Это выражение  можно также рассматривать как запись общего арифметического действия, имеющего четыре параметра: начальный, операционный, итерационный и шаговый, обозначенные буквами a, n, k,h, соответственно. Общее арифметическое действие определено на расширенном множестве натуральных чисел, включающем число ноль.

Общее действие представляет собой рекурсивную функцию, представленную в инфиксной форме и определяемую набором итерационных и начальных аксиом. В аксиомах используется понятие функция следования, ставящая в соответствие своему аргументу – натуральному числу x  следующее натуральное число x',  и числовые константы 0 – ноль и 1 – единица, связанные соотношением     0' = 1, а также обозначение en - начальное значение n-ой операции. При этом используется  соглашение по умолчанию, что при значении итерационного параметра  k= 1 этот параметр может опускаться.

Итерационными аксиомами, определяющее общее действие, являются следующие равенства.

I1        a[1] 1 1 = a' .                           I1'               a + 1 = a' .

I2        a[1] 1 h' = (a[1] 1 h)' .              I2'               a + h' = (a + h)'.

I3             a[n']1 h = en [n] a h .               I3'          a[n+1]h = en [n] a h .      


I4        a[n] k' h = (a [n] k h) [n] 1 h.    I4'        a[n] k+1 h = (a [n] k h) [n]1 h .

 

Начальными аксиомами являются следующие равенства.

N1                  a[1]1 0 =  a .                  N1'           a + 0 = a .

N2                  a[0]k h =  a .

N3                  a[n]0 h =  a .

Аксиомы со штрихом отличаются от аксиом без штриха лишь символьным обозначением “+” операции сложения, соответствующей значению операционного параметра n = 1, и основным свойством начального значения операции en, выраженной аксиомой I5' .

В работе [1] исследованы общие и частные свойства общего действия при неотрицательных значениях его параметров.

Было бы интересно в рамках предложенного подхода рассмотреть обратные операции - вычитание, деление и логарифмирование, а также извлечение корня - и с другой стороны расширить множество значений операционного параметра в общем арифметическом действии до целых чисел.  Для этого необходимо ввести  понятие знака числа и дать определяющие его свойства аксиомы.

Аксиомы отрицательных чисел

Наряду   с   натуральными  или    положительными   целыми  числами  вида  n = 1, 2, 3… можно рассматривать и отрицательные целые числа вида  -n = -1, -2, -3… , которые получаются из положительных чисел приписыванием впереди знака  минус: “–”. Таким образом, для каждого положительного  числа существует, или, то же самое, можно построить,  отрицательное число.

Множество положительных, отрицательных целых чисел и числа нуль составляет множество целых чисел и обозначается как Z. Таким образом, в понятиях теории множеств [2]  Z равно объединению множеств N,  –N и {0}, т.е.  Z =  –N È {0} È  N .

Числа вида –n = -1, -2, -3,… можно также рассматривать как результат применения операции изменения знака “-” к натуральному числу n. К отрицательному  числу -n также можно применить операцию “–”. Принимается, что в этом случае получается исходное число n. Аналогично для отрицательного числа –n двойное применения операции отрицания дает в результате то же отрицательное число -n.

Первая знаковая аксиома целых  чисел может быть записана как

 Z1                                   -(-z)) = z .

Двукратное изменение знака числа z приводит к тому же самому числу z. Таким образом, множество значений знака числа бинарно: либо знака у числа нет - в этом случае число называется положительным,  либо знак есть - в этом случае число называется отрицательным. Применение операции изменения знака, выполненное четное число раз, не изменяет знак исходного числа, а выполненное нечетное число раз,  изменяет его.

Вторая знаковая аксиома целых  чисел может быть записана как

Z2                                   -z + z = 0

и выражена словами: сумма противоположных чисел равна нулю.

 

 Определение итерационного параметра при отрицательных его значениях

Расширим область определения итерационного параметра  общего  действия a[n]kh до множества целых чисел.

Формула для суммы m+k итерационных параметров m и k  из [1, с. 22]

                              a[n]m+ k h = (a[n]m h)[n]k h

при m = -k может быть записана как

                              a[n]-k + k h = (a[n]-k h)[n] k h .                          (1)

Левая часть (1) в силу аксиомы Z2 и аксиомы N3   (a[n]0 h a) будет равна      

                            a[n]-k + k  h = a[n]0 h = a

и, соответственно, (1) перепишется в виде

                                  (a[n]-kh)[n]kh = a,                                     (2)

что дает определение итерационного параметра при отрицательных его значениях.

 

Определение обратных операций

Пусть для общего арифметического действия известен результат c, но не известен начальный параметр x. Тогда говорят, что  x определяется уравнением

                                 x[n]kh = с .                                                  (3)

В силу формулы (2) корень уравнения (3) может быть представлен как

                                 x= с[n]-kh,

а выражение с[n]-kh может быть названо обратным арифметическим действием.

Таким образом,  можно сказать, что прямые арифметические операции  это общее арифметическое действие при натуральных значениях  итерационного параметра, а обратные операции - при отрицательных значениях этого параметра.

Учитывая, что обратные арифметические операции традиционно определяются соотношениями

                            (c -h) + h = c,

                            (c / h) * h = c,

                                hloghc     = c,

соответственно, для вычитания, деления и логарифмирования, которые могут быть переписаны в обозначениях  общего арифметического действия при k= 1 как

                                       (c - h)[1]h = c,

                               (c / h)[2]h = c,

                                loghc[3]h = c,

можно поставить в соответствие знакам обратных арифметических операций -, /, log соответствующие числа прямых операций и значение итерационного параметра k, равного –1.

Ниже представлена таблица соответствия символьного и числового представления обратных операций

Номер обратной операции

1

2

3

n

Название обратной операции

вычитание

деление

логарифми-рование

n-я опе-рация

Символьное обоз-начение операции

a-h

a/h

logha

нет

Числовое обоз-начение операции

a[1]-1h

a[2]-1h

a[3]-1h

a[n]-1h

 

Расширение множества натуральных операций до множества целых операций

По аналогии с отрицательным числом операций введем отрицательный номер операции. Примем по определению, что

                            a[-n]h= a[n]-1h ,                                         (4)

то есть действие с отрицательным номером операции есть действие с положительным ее номером и значением итерационного параметра k = -1.

 В случае, когда и операционный параметр отрицателен и итерационный параметр также отрицателен, примем соглашение, что

                           a[-n]-kh = a[n]kh  .                                      (5)

Правило знаков номера операции n и числа повторений операции k можно записать в виде таблицы

n\k

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

Заметим, что цепочка соотношений

                    a[-n]-k h = a[n]-(-k) h = a[n]k h

и цепочка соотношений

                    a[-n]-kh = a[-(-n)]h = a[n]kh

соответствуют второй знаковой аксиоме Z2 как для итерационного параметра k, так и для номера операции n.

Правило знаков может также быть записано в виде двух положений.

1. Знак операционного параметра можно изменить одновременно с изменением знака итерационного параметра без изменения результата действия.

2. Знак итерационного параметра  можно перенести на операционный параметр и наоборот.

Определение обратной операции для шагового параметра при n= 1, 2

Рассмотрим уравнение относительно шагового параметра

                             a[n]x= с .                                                (6)

Для n = 1, 2 в силу коммутативности операций сложения и умножения это уравнение эквивалентно уравнению

                           x[n]a= с,

и решение его представляется аналогично решению для начального параметра в виде

                                 x = с[n]-1 a       

или в соответствии с правилом знаков (4)  выражением

                               x= с[-n]a .

В этом случае одна и та же обратная операция применяется как к начальному параметру, так и к шаговому параметру общего действия.

В случае, когда n ³ 3 (возведение в степень и выше), прямая операция является некоммутативной, т.е. в общем случае при произвольных a, n, h

                                 a[n]h¹  h[n]a ,

поэтому обратная операция для шагового параметра не равна обратной операции для ее начального параметра.

Определение обратной операции для шагового параметра при n= 3

Пусть   имеем уравнение относительно  шагового параметра для операции  возведения в степень

                            a[3]x= с,                                                      (7)

что эквивалентно в обычных обозначениях уравнению

                            xa  = с.

Решением уравнения (7) является выражение

                      x= (1/a)[3]с .                                                        (8)

Действительно, подставляя выражение (8) в уравнение (7) и используя формулу  a[n+1](b[n+1]c) = (a*b)[n+1]c из работы [1, с. 25],  имеем для левой части (7) при n = 2

            a[3]((1/a)[3]с) = (a*1/a)[3]с = 1[3]с = с ,

что обращает  (7) в верное равенство.

В привычных обозначениях решение уравнения (7) записывается как

                        x= aÖс  .                                                               (9)

Из выражений (8) и (9) следует, что

                     aÖс = (1/a)[3]с .

Таким образом, операция определения величины шагового параметра по известным значениям начального параметра a и результата операции с,  называемая традиционно извлечением корня a-й степени из числа с, выражается через прямую операцию с обратным значением начального параметра прямой операции.

Ниже представлена единая таблица названий и обозначений прямых и обратных операций в числовом и символьном обозначениях при значениях итерационного параметра k= 1 (по умолчанию он не пишется) и k = -1.

Номер операции

Название операции

Символьное обозначение

Числовое обозначение операции (k = 1)

Числовое обозначение (k = -1)

n

n-я операция

нет

a[n]h

a[-n] -1 h

4

тетрация

ah

a[4]h

a[-4] -1 h

3

возведение в степень

ha

a[3]h

a[-3] -1 h

2

умножение

a*h

a[2]h

a[-2] -1 h

1

сложение

a+h

a[1]h

a[-1] -1 h

0

нулевая

нет

a[0]h

a[0] -1 h

-1

вычитание

a-h

a[-1]h

a[1] -1 h

-2

деление

a/h

a[-2]h

a[2] -1 h

-3

логарифмирование

logha

a[-3]h

a[3] -1 h

-n

-n-я операция

нет

a[-n]h

a[n] -1 h

Таким образом, все 7 известных арифметических операций представлены как определенные значения номера операции и  для операции извлечения корня – значения начального параметра в общем арифметическом действии.

В рамках рассмотрения обратных операций приобретает однозначность выбор начала нумерации операций сложения, умножения,  возведения в степень и далее. Нумерацию операций следует начинать не с 0, как сделано в работе [3], а с 1 как предложено в работе [4].

На основе предложенных в  [1] аксиом  и аксиом знака Z1, Z2 могут быть получены известные свойства обратных операций. Так, например, если к обеим частям равенства из [1, с. 25], верного при n = 1, 2

           (a[n+1]c)[n](b[n+1]c) = (a+ b)[n+1]c

применить обратную операцию, то получится равенство

((a[n+1]c)[n](b[n+1]c)) [n+1] -1c = ((a+ b)[n+1]c) [n+1] -1c .

Левая часть равенства при a x[n+1]-1c  и  b y[n+1]-1c будет равна

(x[n]y)[n+1]-1c, а правая часть равенства преобразуется как

(x[n+1] -1c + y[n+1] -1c) [n+1] 1-1c = x[n+1] -1c + y[n+1] -1c .

Окончательно, приравнивая правую и левую части, имеем

               (x[n]y)[n+1] -1c = x[n+1]-1c + y[n+1] -1c.

Это тождество при n= 1 соответствует равенству

                (x+y)/c= x/c+y/c  - известное свойство дроби 

и при n = 2 соответствует равенству

          (x[2]y)[3]-1c= x[3] -1c+ y[3] -1c , что в привычных обозначениях

             log c x*y = log c x + log c y

выражает одно из свойств логарифмов.

Необходимо отметить, что общее действие определено для всех  значений своих параметров только в неотрицательном диапазоне изменений этих параметров и в смысле теории алгоритмов [3] оно представляет собой при этих значениях параметров пример общерекурсивной функции. В тоже время, если какой либо параметр принимает отрицательное значение, то общее действие при каких-то значениях других параметров может быть не определено, т.е. при этих условиях общее действие представляет собой частично рекурсивную функцию. Типичный пример: как известно, не существует действительного числа x, такого, что x2 = -1, т.е. выражение (1/2)[3] (-1) не определено.

Также и выражение вида 1[3] –2 h= logh logh 1 не определено.

Таким образом, необходимо всякий раз исследовать вопрос о том, при каких значениях своих параметров общее действие определено и имеет смысл.

Заключение

В рамках общего арифметического действия и с использованием двух аксиом знака показано, что все четыре обратные действия: вычитание, деление и логарифмирование, а также извлечение корня, могут быть представлены как определенные числовые значения операционного параметра общего действия.

Расширено множество значений операционного и итерационного параметров общего арифметического действия с натурального ряда до множества целых чисел.

Показано, что свойства операций с целыми числами, дробями, логарифмами и корнями могут быть единообразно получены из аксиом, определяющих общее арифметическое действие и знаковых аксиом. Отмечено свойство двойственности, имеющее место для ассоциативных и коммутативных операций при n = 1, 2.

Показана естественная упорядоченность арифметических операций с указанием ее начала (нулевая операция) и взаимной обратимости операций сложения и вычитания, умножения и деления, возведения  в степень и логарифмирования, соответствующих противоположным числам 1 и –1, 2 и –2, 3 и –3.

 

Литература:

1. Шустов В.В. Общее действие и некоторые его свойства – М.: Изд. ЛКИ, 2008. – 64с.

2. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. Пер. с англ. Тайманова А.Д. - М.: 1970. - 416с.

3. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. - 2-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит. , 1986.- 386с.

4. Гудстейн Р.Л. Рекурсивный математический анализ. Пер. с англ. А.О. Слисенко. Под ред. Г.Е. Минца. – М.: Наука, 1970 - 472с.

 

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle