Библиографическое описание:

Медведев А. В., Емельянов А. А., Клишин А. В. Математическая модель асинхронного двигателя в неподвижной системе координат с переменными iR-fR // Молодой ученый. — 2010. — №4. — С. 8-24.

Обобщенная асинхронная машина показана на рис. 1 [1] ÷ [3]:

rs, ls, lms – параметры статорной обмотки,

rr, lr, lmr – параметры роторной обмотки,

|lmsr|=|lmrs|=|lm| – коэффициенты взаимоиндуктивности.

 

 

 

 

Рис.1. Обобщённая асинхронная машина

 

Основные уравнения математической модели АД в мгновенных значениях переменных:

                      

           

             

             

      

         

         

1. Вектор потокосцепления статора АД

Вектор потокосцепления статора является центральным понятием при математическом  моделировании асинхронного двигателя, который в дальнейшем будут использован в замкнутых системах векторного управления.

Пространственный вектор потокосцепления статора:

,                                                                  (13)

где         , ,  - единичные пространственные векторы.

Уравнения (7) ÷ (9) представим по трем столбцам соответствующих индуктивностей:

                                                            

Первое уравнение умножим на единичный пространственный вектор , второе – на , и последнее уравнение - на . С целью уменьшения громоздкости получаемых выражений вначале произведем суммирование отдельно по вертикальным столбцам, а затем приведем сумму в соответствии с формулой (13).

Мгновенные значения токов в АД:

   

,

где    .

где

Обозначим ; ; ; .

Окончательно, вектор потокосцепления статора[1] ÷ [3]:

                                                                         (14)

2. Вектор потокосцепления ротора АД

                                      ,                                (15)

    

    

    

  

Уравнения (16) ÷ (18) представим по трём столбцам соответствующих индуктивностей:

                                                            

Первое уравнение умножим на , второе – на , третье – на . Вначале произведем суммирование отдельно по вертикальным столбцам, а затем приведем полную сумму в соответствии с формулой (15).

,

где                                                                                                                                            

Обозначим ; ; ; .

Окончательно, вектор потокосцепления ротора:

                                                                          (19)

 

3. Векторные уравнения АД в различных системах координат

Основные уравнения асинхронного двигателя в векторной форме имеют вид:

                                                       

                                                                                                     

                                                                                         

                                                                                       

Сделаем существенное замечание по полученным обобщенным векторам. В уравнении (20) векторы , ,  записаны в неподвижной системе координат статора, но в некоторых задачах их необходимо привести к системе координат связанных с ротором. Рассмотрим схему преобразования одного из векторов, например,  из одной системы координат в другую. Поясним это преобразование на следующем рис.2.

Рис.2. Система координат S, R, K.

 – неподвижная система координат статора ;  – система координат, связанная с ротором,  – произвольная система координат,  - угол сдвига к и .

 – обобщенный вращающийся вектор напряжения статора.

 и  – этот же вращающийся вектор напряжения статора в системах координат ротора  и  соответственно.

Связь между векторами в разных системах координат:

Система уравнений (20) – (23) примет следующий вид:

                                             ,                                                 (24)

где , ,  – записаны в не подвижной системе координат статора .

                                                                                             (25)

где , ,  – обобщённые вектора роторных величин в роторной системе координат R.

                                              ,                                    (26)

где , , – векторы потокосцепления и ток статора в неподвижной системе координат S, а  – в роторной системе координат сдвинутой в неподвижной системе на угол .

                                                                                (27)

где , , – векторы потокосцепления и ток ротора в роторной системе координат R, а  – в неподвижной системе координат .

 

3.1 Рассмотрим приведение вышеприведённых уравнений к неподвижной системе координат статора

Уравнение (20) уже записано в статорной системе координат, поэтому показываем процесс приведения следующего уравнения. Для этого умножим обе части уравнение (21) на :

                                             .

В соответствии с вышерассмотренной схемой приведения векторов из одной системы координат в другую, получим:

                                              и .

Выражение  преобразуем к следующему виду:

Окончательно .

                                                                         (28)

В выражении  представим:  тогда

                                             .                                             (29)

В уравнении (27) умножим обе части на :

                                             ,

                                             .                                            (30)

Окончательно уравнения (24) ÷ (27) в статорной системе координат примет следующий вид:

3.2 Выполним приведение уравнений (24) ÷ (27) к роторной системе координат

Умножим обе части уравнение (24) на :

                                          

Уравнение (25) перепишем без изменений, т.к. оно уже записано в роторной системе координат:

                                            

Уравнение (26) умножим обе части на :

,

                                            

В уравнении (27) выразим , тогда

,

                                            

Окончательно в роторной системе координат уравнения (24) ÷ (27) имеют следующий вид:

                                            

                                                                                                                                                              

3.3 Приведение уравнений (24) ÷ (27) к системе координат вращающейся с произвольной скоростью

Уравнение (24) умножим на  и сразу выразим :

,

,

.

Уравнение (25) умножим на :

,

              .

Уравнение (26) умножим на , тогда

, т.к. , то

                                    .

Уравнение (27) умножим на , тогда

                                    .

Для системы координат вращающейся с произвольной скоростью  система уравнений:

                                                                          (31)

                                                             (32)

                                                                                           (33)

                                                                                           (34)

                                                                                                     (35)

Зададим базовые величины (параметры):

; ,

где  - номинальные действующее фазное напряжение двигателя;  - номинальный фазный ток двигателя.

; ; ; ;.

Обозначим относительные величины (параметры):

;; ; ;  ; ,

где  – механическая скорость вращения вала;  - число пар полюсов.

; ;  ;; ; ;

В уравнении (31) сделаем следующие преобразования, обе части разделим на :

.

В квадратных скобках выделены соответствующие относительные величины.

Аналогичные преобразования произведем в (32) уравнении:

,

Для уравнения (33), умножим обе части уравнения на :

,

Аналогично в уравнении (34), умножим обе части на :

,

В уравнении (35) обе части разделим на :

,

Система уравнения асинхронного двигателя с коротко замкнутым. ротором:

                                                   (36)

                                                                        (37)

                                                                                                  (38)

                                                                                                  (39)

Определим электромагнитный момент через векторное произведение [1, c. 238]:

Выразим из уравнения (39) :

В уравнение (38) подставим :

Обозначим , , , тогда

.

В уравнение (36) исключим  и :

Из уравнения (37) выразим :

.

Подставим в предыдущее уравнение:

Обозначим , , где ,

В итоге получилось два уравнения:

                                      (40)

                                                                                     (41)

В уравнении (40) разделим обе части на  и обозначим :

Рассмотрим процессы в неподвижной системе координат, , :

                                      (42)

                                                                                    (43)

Вещественную ось обозначим , мнимую через - . Пространственные вектора в этом случае разложим по осям:

; ; .

Подставим эти значения в уравнения (42) ÷ (43) и, приравняв отдельно вещественные и мнимые части, получим:

С учетом электромагнитных моментов [1, c. 238] система уравнений в операторной форме  примет вид:

                          (44)

                            (45)

                                                                            (46)

                                                                            (47)

                                                                                               (48)

                                                                   (49)

Структурная схема для уравнения(44):

Структурная схема для уравнения(45):

Структурная схема для уравнения(46):

Структурная схема для уравнения(47):

Структурная схема для уравнения (48):

Структурная схема для уравнения (49):

Для моделирования выберем АКЗ со следующими паспортными данными и параметрами: , , , , , , , , , , , .

Значения безразмерных коэффициентов в уравнениях, рассчитанные по выражениям, приведенным выше:

Коэффициент

Значение

262.36

6.4

0.97

0.97

0.0152

0.0165

0.203

200

Модель АКЗ, построенная по уравнениям (44) ÷ (49), представленная на рис. 3.

На вход модели в момент времени подаются напряжения , , (), тем самым реализуя прямой пуск.

Осциллоскопы измеряют относительные значения электромагнитного момента и скорости. Результаты моделирования представлены на рис. 4. Они показывают, что при прямом пуске вначале наблюдается значительные колебания момента. Такие же колебания наблюдаются в токе и скорости. Кроме того они показывают, что при приложении момента нагрузки наблюдается уменьшение скорости.

Рисунок 3. Модель АКЗ в неподвижной системе координат с переменными

Рисунок 4. Результаты моделирования, относительные значения электромагнитного момента и скорости

 

Литература

1.    Шрейнер Р.Т. Математическое моделирование электроприводов

переменного тока с полупроводниковыми преобразователями частоты. Екатеринбург: УРО РАН, 2000. 654 с.

2.    Герман-Галкин С.Г. Компьютерное моделирование полупроводниковых систем Matlab 6.0: Учебное пособие. – Спб.: Корона принт. 2001. – 320с., ил.

3.    Ковач К.П., Рац И. Переходные процессы в машинах переменного тока/Пер. с нем. М.Л.: Госэнергоиздат, 1963. 735 с.: ил.

Основные термины (генерируются автоматически): системе координат, неподвижной системе координат, системе координат статора, Математическая модель асинхронного, модель асинхронного двигателя, произвольной системе координат, роторной системе координат, система координат, координат s, системы координат, системах координат, системе координат связанных, системе координат s, системе координат сдвинутой, статорной системе координат, система координат статора, системах координат ротора, Система координат s, вектор напряжения статора, разных системах координат.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle