Пусть 
— компактное связанное множество, 
- гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на 
и 
— одномерное комплексное пространство. Обозначим 
Рассмотрим ограниченную самосопряженную блочно операторную матрицу 
, действующую в гильбертовом пространстве 
и задающуюся как
,
где матричные элементы 
определяются по формулам
Здесь 
— фиксированное вещественное число, 
— вещественнозначные непрерывные (ненулевые) функции на 
. Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования. Отметим, что оператор 
можно рассмотреть как некомпактное возмущение оператора 
, рассмотренного в работе [1], где изучен число собственных значений оператора 
. Там факты приведены без доказательства. В данной работе, в отличие от работы [1], во первых рассматривается компактный оператор, во вторых дано строгое математическое доказательства результатов о простых и бесконечно кратных собственных значений оператора .
Теорема 1. Число 
является бесконечно кратным собственным значением оператора 
.
Доказательство. Рассмотрим уравнение 
относительно 
, которое эквивалентно системе уравнений
. (1)
Можно показать, что элементы подпространства
являются решениями системы уравнений (1). Видно, что
. Это означает, что число является бесконечно кратным собственным значением оператора . Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Оператор 
может иметь не более чем 2 отрицательных и не более чем 1 положительных простых собственных значений.
Доказательство. Уравнение 
на собственные значения оператора 
эквивалентно системе уравнений
(2)
Так как 
из второго уравнения (2) находим, что
(3)
где число 
определена по формуле
. (4)
Подставляя выражение (3) для 
в первое уравнение системы (2) и в равенство (4) имеем, что
(5)
Здесь через 
обозначена норма в 
. Положим
Система уравнений (5) имеет решение тогда и только тогда, когда детерминант этой системы равен нулю, т. е. когда 
.
Таким образом, изучение собственных значений оператора 
мы привели к изучению нулей полинома 
степени 3. Заметим, что если 
и 
линейно зависимы, тогда 
. Следовательно,
и 
.
Пользуясь неравенством 
получим, что
.
Возможны три случая: 1) 
и 
ортогональны; 2) 
и 
параллельны; 3) 
и 
не ортогональны и не параллельны.
1) Пусть 
и 
ортогональны. Тогда 
. В этом случае числа
являются нулями полинома 
, т. е. собственными значениями оператора 
. Отметим, что числа 
являются нулями полинома 
в случае, когда 
и 
не ортогональны.
2) Пусть 
и 
параллельны. Тогда 
В этом случае полином 
записывается в виде
Отсюда видно, что числа
и 
являются нулями полинома 
, т. е. собственными значениями оператора 
. Заметим, что числа 
являются нулями полинома 
в случае когда 
и 
не параллельны.
3) Пусть 
и 
не ортогональны и не параллельны. Тогда имеем, что 
Положим 
Тогда можно показать, что существует точки 
, 
, 
которые являются нулями полинома 
. Так как 
есть полином степени 3, эти нули являются простыми. Видно, что 
и 
. Теорема 2 доказана.
Следствие. Для спектра оператора 
имеет место равенство
.
Литература:
-
Р. Н. Мирзакобилов. Описание множества собственных значений одной блочной операторной матрицы размера
. Молодой учёный. –2016, –№ 13, –С. 50–52.
