Библиографическое описание:

Клименко О. А. Аппарат теории кооперативных игр в моделировании социально-экономических процессов // Молодой ученый. — 2010. — №3. — С. 53-55.

Естественный отбор, конкуренция и бескомпромиссный закон эволюции «выживает сильнейший» долгое время считались движущими силами развития, в том числе и общественного. Однако совместное исследование португальских и бельгийских ученых показало, что кооперация, которую биологи незаслуженно отодвинули на последнее место в списке движущих сил эволюции, в случае с людьми является самой эффективной как для отдельно взятого индивида, так и для всего общества в целом.

Стоящие перед человечеством глобальные проблемы экологии, энергетики, борьбы с голодом, предотвращения и разрешения конфликтов могут решаться эффективнее в условиях кооперации государств.

Чаще всего явление кооперации рассматривается в отношении экономических процессов. Важность развития кооперирования объясняется, прежде всего, постоянной тенденцией повышения капиталоемкости выпуска новой продукции. Кооперация производства дает возможность сократить время подготовки производства новых товаров и уменьшить их капиталоемкость. По данным ЕЭК ООН, межгосударственные соглашения о техническом сотрудничестве и обмене узлами и деталями на базе кооперирования в среднем приблизительно на 14-20 месяцев уменьшают время подготовки производства новой продукции по сравнению с организацией его исключительно собственными силами, а также на 50-70% снижают стоимость освоения нового производства.

Как известно, теория игр является разделом теории принятия решений и занимается конфликтными ситуациями, в которых сталкиваются интересы участников. Одним из разделов теории игр является теория кооперативных игр, для которых основным вопросом является не выбор оптимальных стратегий, а установление разумного распределения выигрышей или расходов между участниками. Игрокам иногда полезно обмениваться информацией до выбора стратегий о своих намерениях или принципах поведения, осуществлять совместные (коллективные) действия, делиться выигрышами во имя общих интересов и т.д. Все это может приводить к образованию коалиций (подмножеств всех игроков), предпринимающих совместные действия (коалиций действия) или имеющих общие интересы (коалиций интересов). Игры, в которых члены коалиции могут обмениваться между собой выигрышем, называются играми с трансферабельной полезностью (ТП-играми) или играми с побочными платежами. В отличие от них, игры, в которых игроки могут образовывать только информационные коалиции, называются играми с нетрансферабельной полезностью (НТП-играми) или играми без побочных платежей.

Наиболее часто используемыми решениями кооперативных игр являются С-ядро, N-ядро, вектор Шепли, переговорное множество, K-ядро. Понятия решений в кооперативных играх так или иначе связаны с идеей устойчивости дележей, т.е. отсутствием у игроков мотивов или возможностей к нарушению сложившегося соглашения о распределении выигрышей. Таким решением может выступать С-ядро кооперативной игры (множество всех недоминируемых дележей), т.к. любой дележ из С-ядра устойчив в том смысле, что нет ни одной коалиции, которая одновременно хотела и могла изменить исход игры, поэтому ядро вполне может быть принято в качестве решения кооперативной игры. Другим примером решения является N-ядро, которое реализует эгалитарный подход в распределении кооперативной прибыли (справедливым считается распределение выигрыша, максимизирующее доход наименее удовлетворенного члена общества). Одно из наиболее распространенных понятий решения - вектор Шепли, компоненты которого есть математическое ожидание выигрыша игрока в условиях некоторой рандомизированной схемы. Вектор Шепли соответственно реализует утилитарный подход к решению задачи распределения выигрыша (или затрат).

Приведем некоторые примеры задач, решаемые с использованием аппарата теории кооперативных игр.

1. Выбор оптимальной цены.

Предположим, что некоторая сторона имеет достаточно сырья для того, чтобы продавать его другим предприятиям, которые могут быть объединены в сообщество или считаются в нем равными. Требуется определить, по какой цене следует продавать сырье. Эта задача может рассматриваться как кооперативная игра n+1 лиц [2].

2. Другим интересным приложением теории игр n лиц к проблемам общественных наук была попытка оценить априорные распределения сил при различных способах голосования в законодательных органах. Решение парламента считается принятым, если число голосов, поданных за него, превышает некоторую квоту, которая определяется конкретной процедурой голосования, например, "простое большинство голосов" (для принятия решения требуется более 50% голосов "за"). При наличии трех или более партий в парламенте, возможно, что ни одна из них не обладает числом голосов, достаточным для проведения законопроекта или принятия решения; таким образом, чтобы эффективно функционировать, партиям необходимо вступать в коалиции. Наибольший интерес вызывают коалиции, которые могут обеспечить необходимое большинство голосов. Такие коалиции называются выигрывающими. Чем больше коалиций, которые данная партия делает выигрывающими, тем больше у нее возможностей влиять на исход голосования. При этом сила влияния партий напрямую не зависит от числа ее голосов. Поэтому вводятся индексы влияния, измеряющие степень влияния партии в парламенте на основании числа коалиций, которые партия делает выигрывающими.Важные результаты в этой области представлены в работах следующих авторов: Shapley L.S., Deegan J., Packel E.W., Hoede C., Bakker R., Penrose L.S., Shubik M., Brams S.F., Affuso P.J.

Аналогично, с помощью аппарата теории кооперативных игр можно вычислить априорное распределение сил в практических ситуациях, которые могут быть смоделированы кооперативной игрой с главным игроком (носителем игры), например, в Совете Безопасности Организации Объединенных Наций. Как известно, Совет Безопасности состоит из пятнадцати членов: 5 постоянных и 10 избираемых, при этом каждый из пяти постоянных членов имеет право вето. Для проведения решения за него должно быть подано девять голосов при отсутствии вето. Для оценки влияния каждого участника этой организации  могут быть использованы различные подходы, самым известным из которых является индекс Шепли-Шубика

,

согласно которому индекс влияния каждого из постоянных членов совета , временных членов .

В условиях жесткой конкуренции, особенно в период экономического кризиса малым предприятиям для выживания выгодно объединиться в более крупную форму,  например, концерн. Естественно, что при объединении возникнет вопрос о распределении расходов и доходов между участниками коалиции. Для таких ситуаций можно составить модели на основе кооперативной игры.

3. Распределение дохода.

Объединение предприятий имеет некоторое количество (обозначим L) ресурса, причем i-му предприятию требуется li количество ресурса i=1,…,n. Тогда его доход составит cili. Пусть все предприятия рентабельны, т.е. ci-c>0, где c – цена ресурса. Требуется распределить доход. Данную ситуацию можно представить в виде кооперативной игры с трансферабельной полезностью:

, xi=0, , ,

где v(S) – доход коалиции S, если у нее есть приоритетное право использования ресурса. Для нахождения v(S) необходимо решить задачу дискретного программирования (так называемая задача о ранце). Далее,

а) если имеется избыток ресурса, т.е.  , то  и игра несущественна, т.к. ;

б) если , то в случае существования C-ядра можно взять любой дележ из него, иначе в качестве решения можно взять, например, N-ядро.

Рассмотрим на примере, как с помощью  коррекции можно получить такое решение, которое будет одновременно устойчивым и «справедливым».

Пусть N={1,…,n} представляет собой множество потенциально возможных потребителей общественной службы или объекта коллективного пользования. Каждый потребитель может быть обслужен либо нет, например, либо подключается к локальной системе водоснабжения, либо нет.

Затраты суммируются в общую функцию затрат c(S), где S – любая коалиция агентов, а c(S) – минимальные затраты на обслуживание S наиболее эффективным способом. Распределение затрат есть вектор (x1,…,xn) такой, что x1+…+xn= c(N). Другими словами мы хотим обслужить всех потребителей и хотим поделить соответствующие затраты.

Пример такой проблемы из области планирования капиталовложений – строительство соседними муниципалитетами совместной системы водоснабжения. Рассмотрим числовой пример с тремя агентами. Пусть величины затрат для трех городов A, B, C таковы: v({A})=120, v({B})=140, v({C})=120, v({A,B})=170, v({A,C})=160, v({B,C})=190, v({A,B,C})=255.

Переформулировав условие задачи в терминах выигрышей, получим систему:
; ; ; ; ; i=1,2,3

C-ядро данной игры существует и представляет собой треугольник, с центром (51,7; 41,7; 31,7). Возвращаясь к вопросу распределения затрат, получим следующий дележ (68,3; 98,3; 88,3). Эта точка является N-ядром, которое можно считать некоторым разумным компромиссом. Вектор Шепли (73,3; 98,3; 83,3) в данной игре не принадлежит C-ядру, хотя и находится не очень далеко от его  центра (это расстояние можно легко вычислить). Возникает вопрос: а каково расстояние от вектора Шепли до C-ядра и как нужно изменить условия данной игры, чтобы вектор Шепли принадлежал ядру.

Для того чтобы ответить на первый вопрос необходимо решить задачу

при следующих ограничениях: 

; ;

В поставленной задаче получаем расстояние от вектора Шепли до C-ядра 8,3333 условных единицы и ближайшую точку ядра (45; 45; 35).

Чтобы переместить вектор Шепли в C-ядро можно рассмотреть следующую задачу коррекции:

в результате чего будет получена игра , в которой можно будет выбрать в качестве решения устойчивый и относительно справедливый дележ.

Практический смысл коррекции может быть следующим: допустим, имеется предприятие-производитель, которое намерено часть функций передать сторонней организации, например, логистической компании, предприятию-подрядчику на изготовление каких-либо частей агрегата и т.п. Есть возможность выбора партнера. Очевидно, что носителем игры является предприятие-производитель.  Если фирмы, претендующие на участие в коалиции, предоставляют одинаковые услуги, то выигрыш от объединения тоже будет приблизительно равным. Однако в условиях конкуренции некоторые фирмы могут расширить спектр предоставляемых услуг  и тем самым повысить  свою ценность при образовании коалиции.  В ходе таких изменений может быть получено весьма удобное решение, которое одновременно является и С-ядром, и вектором Шепли и N-ядром.

 

Литература

1.      Горелик В.А., Фомина Т.П. Элементы теории игр. – Липецк: ЛГТУ, 1999. – 128 с.

2.      Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр. – М.: Наука, 1981. – 336 с.

3.      Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели. М., 1991.

4.      Янковский Н.А. Повышение эффективности внешнеэкономической деятельности крупного производственного комплекса [Электронный ресурс]: монография. –  http://pharm.stirol.net/lib/mon/index.html (дата обращения: 04.02.10).

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle